Esercizio 116carica puntiforme dentro un guscio conduttore

---

a) Cariche indotte

Nel metallo del guscio ($R_i<r<R_e$) il campo è nullo; una superficie gaussiana sferica in questa zona deve avere flusso nullo, quindi contiene carica totale nulla. Contiene $q$ e la carica $q_i$ della superficie interna:

$$q + q_i = 0 \quad\Longrightarrow\quad q_i = -q = -3{,}0\ \text{nC}$$

Il guscio è neutro nel complesso, quindi la sua superficie esterna ha $q_e = -q_i = +3{,}0$ nC. Le densità (carica divisa area):

$$\sigma_i = \frac{-3{,}0\cdot 10^{-9}}{4\pi(0{,}10)^2} = -2{,}39\cdot 10^{-8}\ \text{C/m}^2 \qquad \sigma_e = \frac{+3{,}0\cdot 10^{-9}}{4\pi(0{,}15)^2} = +1{,}06\cdot 10^{-8}\ \text{C/m}^2$$

b) Campo

Per simmetria sferica, con Gauss $E(r)\cdot 4\pi r^2 = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$.

• $r = 5{,}0$ cm (nella cavità): $Q_{\text{int}} = q$, $E = k\dfrac{q}{r^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}0025} = 1{,}08\cdot 10^{4}\ \text{N/C}$, uscente.
• $r = 12$ cm (nel metallo): $E = 0$.
• $r = 20$ cm (fuori): $Q_{\text{int}} = q + q_i + q_e = +3{,}0$ nC, $E = k\dfrac{q}{r^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}04} = 674\ \text{N/C}$, uscente.

Controllo con il teorema di Coulomb: appena dentro la superficie interna, $E = |\sigma_i|/\varepsilon_0 = 2{,}39\cdot 10^{-8}/8{,}854\cdot 10^{-12} = 2{,}70\cdot 10^{3}$ V/m, che è anche $kq/R_i^2 = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-9}/0{,}01 = 2696$ V/m ✓.

c) Potenziali

Il potenziale di riferimento è nullo all'infinito. Partendo da fuori e scendendo:

• Guscio ($R_i\le r\le R_e$): essendo un conduttore, ha potenziale costante, uguale a quello della superficie esterna, calcolato come quello di una carica $+3{,}0$ nC al centro: $$V_g = k\frac{q}{R_e} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}15} = 180\ \text{V}$$
• Fuori ($r = 20$ cm): $V = kq/r = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-9}/0{,}20 = 135\ \text{V}$.
• Nella cavità: il potenziale si ottiene dal guscio sommando $\int E\,dr$ da $r$ a $R_i$ con $E = kq/r^2$: $$V(r) = V_g + kq\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_i}\right)$$ con $r = 5{,}0$ cm: $V = 180 + 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-9}\cdot(20 - 10) = 180 + 27{,}0\cdot 10 = 450\ \text{V}$.

(Equivalentemente, $V(r) = kq\left(\frac1r - \frac1{R_i} + \frac1{R_e}\right) = 26{,}96\cdot(20 - 10 + 6{,}67) = 449\ \text{V}$.)

d) Guscio a terra

Collegando il guscio a terra, il suo potenziale diventa $0$ e la carica $+3{,}0$ nC sulla superficie esterna passa a terra (resta $q_i = -3{,}0$ nC dentro, imposta dalla carica $q$). Fuori il campo è nullo e il potenziale è nullo. Nella cavità il campo non è cambiato, ma il riferimento sì:

$$V(5{,}0\ \text{cm}) = 0 + kq\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_i}\right) = 26{,}96\cdot(20 - 10) = 270\ \text{V}$$

Il guscio a terra scherma l'esterno dalla carica interna: fuori $E=0$.

---

Risultati

Errori comuni

• Dire che il campo esterno è nullo perché il guscio è conduttore: se il guscio è isolato e neutro, fuori c'è il campo di $q$.
• Calcolare il potenziale nella cavità come $kq/r$: bisogna sommare il contributo del guscio (costante).
• Non cambiare la carica esterna quando si mette a terra il guscio: la carica sulla superficie esterna sparisce.