Leggi di Newton

Inizio della dinamica: la cinematica descriveva il moto (Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →, Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →), ora si studia perché un corpo si muove in un certo modo. Le cause sono le forze, e il legame tra forze e moto è dato dalle tre leggi di Newton. Seguito: Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso →, Reazioni vincolari, forza peso e peso apparenteLa forza peso è m g, verso il basso. Un vincolo (piano, guida) esercita una reazione che si ricava da F = m a: la componente normale può solo spingere, e si annulla quando il corpo si stacca. Il peso apparente è la reazione del pavimento, diversa da m g se si accelera (ascensore).Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente →. Tutti gli esercizi del capitolo partono da qui, per esempio Esercizio 20 · due blocchetti uniti da un'asta su un piano inclinato.

Che cos'è una forza

Una forza è l'azione di un corpo su un altro che ne può cambiare lo stato di moto (o deformarlo). Esempi: la Terra attira un sasso (forza peso), una molla compressa spinge, un tavolo sostiene un libro, un filo tira.

• La forza è un vettore (Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →): conta quanto è intensa (modulo), in che direzione e in che verso agisce. Spingere un carrello in avanti o di lato non ha lo stesso effetto.
• Unità SI: il newton, $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\,\text{m/s}^2$ (la forza che dà a $1$ kg un'accelerazione di $1\ \text{m/s}^2$). Per avere un'idea: il peso di una mela da $100$ g è circa $1$ N.
• Se su un corpo agiscono più forze $\vec F_1, \vec F_2, \dots$, il loro effetto complessivo è quello della risultante $\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \dots$, la somma vettoriale (principio di sovrapposizione).

Prima legge: principio d'inerzia

Un corpo su cui non agiscono forze (o su cui la risultante delle forze è nulla) resta fermo, se era fermo, o si muove di moto rettilineo uniforme, se era in moto.

Detto in altro modo: non serve una forza per mantenere un moto, serve una forza per cambiarlo. È il contrario dell'intuizione quotidiana (un carrello spinto prima o poi si ferma), ma il carrello si ferma perché c'è una forza, l'attrito (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →); su un piano di ghiaccio continuerebbe molto più a lungo.

La tendenza di un corpo a mantenere la sua velocità si chiama inerzia: è quella che spinge in avanti i passeggeri quando l'autobus frena.

Sistemi di riferimento inerziali

La prima legge non vale in ogni riferimento. Su un autobus che frena, una pallina appoggiata sul pavimento comincia a rotolare in avanti senza che nessuno la spinga: per chi sta sull'autobus la pallina accelera senza forze. La prima legge quindi serve anche da definizione:

Un sistema di riferimento inerziale è un riferimento in cui vale il principio d'inerzia.

Ogni riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un riferimento inerziale è anch'esso inerziale; un riferimento che accelera o ruota non lo è. La Terra non è esattamente inerziale (ruota su se stessa e attorno al Sole), ma per i moti di laboratorio, che durano pochi secondi su pochi metri, lo è con ottima approssimazione. Tutto ciò che segue vale nei riferimenti inerziali; come si fa nei riferimenti accelerati si vede in Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparentiIn un riferimento accelerato o rotante la legge di Newton vale solo aggiungendo forze apparenti: −m·a_t (trascinamento, con la centrifuga) e −2m·ω×v' (Coriolis). Non sono interazioni tra corpi e non hanno reazione. Esempi: ascensore, pendolo su un vagone, blocco su una piattaforma, giostra, Terra.Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti →.

Seconda legge: $\vec F = m\vec a$

In un riferimento inerziale, la risultante $\vec F$ delle forze che agiscono su un punto materiale e la sua accelerazione $\vec a$ sono legate da $$\vec F = m\,\vec a$$ dove $m$ è la massa (inerziale) del punto.

Cosa dice:

1. L'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza risultante. Non della velocità: un sasso lanciato in alto va verso l'alto, ma la sua accelerazione (e la forza peso) punta verso il basso.
2. A parità di forza, più massa vuol dire meno accelerazione: $a = F/m$. La massa misura l'inerzia, cioè quanto un corpo "resiste" ai cambiamenti di velocità. Spingere con la stessa forza un carrello vuoto e uno pieno dà accelerazioni diverse.
3. È un'equazione vettoriale, quindi equivale a tre equazioni scalari, una per ogni componente: $$F_x = m\,a_x \qquad F_y = m\,a_y \qquad F_z = m\,a_z$$ Le componenti si trattano separatamente: la forza lungo $x$ cambia solo la velocità lungo $x$.

Forza nulla non vuol dire velocità nulla: $\vec F = 0$ significa $\vec a = 0$, cioè velocità costante (prima legge come caso particolare). Un corpo è in equilibrio statico se è fermo e la risultante è nulla; i problemi "il sistema rimane fermo, trovare le forze" si risolvono con $\vec F = 0$.

Esempio. Un carrello di massa $m = 20$ kg viene tirato con una forza orizzontale di $50$ N, su un pavimento senza attrito. Accelerazione: $a = \frac{50\ \text{N}}{20\ \text{kg}} = 2{,}5\ \text{m/s}^2$. Partendo da fermo, dopo $4$ s la velocità è $v = a t = 10\ \text{m/s}$ (Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →): una forza costante produce un moto uniformemente accelerato.

Dalla forza alla legge oraria. La seconda legge è un'equazione differenziale: $m\frac{d^2x}{dt^2} = F$. Se la forza è costante si integra subito (moto uniformemente accelerato); se dipende dalla velocità o dalla posizione si ottengono moti diversi: Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso → dà il Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente →, la Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica → dà il Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →. Per conoscere il moto servono anche le condizioni iniziali (posizione e velocità iniziali).

Terza legge: azione e reazione

Se un corpo A esercita su un corpo B una forza $\vec F_{AB}$, allora B esercita su A una forza $\vec F_{BA}$ uguale in modulo e direzione e opposta in verso, con la stessa retta d'azione: $$\vec F_{BA} = -\vec F_{AB}$$

Le forze vengono sempre a coppie. Esempi:

• la Terra attira il sasso con la forza peso $m\vec g$; il sasso attira la Terra con $-m\vec g$ (che però sposta la Terra in modo impercettibile, perché la sua massa è enorme);
• il blocchetto preme sulla piattaforma verso il basso, la piattaforma spinge il blocchetto verso l'alto; se tra i due c'è attrito, l'attrito che la piattaforma fa sul blocchetto è opposto a quello che il blocchetto fa sulla piattaforma (lo si usa in Esercizio 22 · blocchetto su piattaforma mobile tirato da un filo).

Le due forze della coppia agiscono su corpi diversi, quindi non si annullano tra loro. Un errore classico: "il libro sul tavolo è fermo perché peso e reazione del tavolo sono azione e reazione". Falso: peso (Terra sul libro) e reazione normale (tavolo sul libro) agiscono entrambe sul libro e si bilanciano per la seconda legge, perché il libro ha accelerazione nulla. La reazione del peso è la forza del libro sulla Terra; la reazione della normale è la forza del libro sul tavolo.

Massa inerziale e peso

La massa che compare in $\vec F = m\vec a$ si chiama massa inerziale: si misura confrontando le accelerazioni che una stessa forza dà a corpi diversi ($m_1 / m_2 = a_2 / a_1$). È una grandezza scalare, positiva, additiva (due corpi attaccati hanno massa $m_1 + m_2$), e si misura in kg.

Il peso invece è una forza, $\vec P = m\vec g$, misurata in newton: un corpo di $10$ kg pesa circa $98$ N. Nel linguaggio comune si dice "pesa $10$ chili", ma in fisica massa e peso vanno tenuti distinti: sulla Luna la massa è la stessa, il peso è circa un sesto (Reazioni vincolari, forza peso e peso apparenteLa forza peso è m g, verso il basso. Un vincolo (piano, guida) esercita una reazione che si ricava da F = m a: la componente normale può solo spingere, e si annulla quando il corpo si stacca. Il peso apparente è la reazione del pavimento, diversa da m g se si accelera (ascensore).Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente →). Che la massa che compare nel peso sia la stessa di quella inerziale non è ovvio: lo si discute in Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →.

Le quattro forze fondamentali

Le forze che si incontrano nei problemi (peso, normale, attrito, tensione, forza elastica, resistenza del mezzo) sono tutte manifestazioni di quattro sole interazioni fondamentali.

Le forze di contatto di tutti i giorni nascono dalla repulsione elettromagnetica tra gli atomi delle superfici che si toccano: quando si appoggia un libro su un tavolo, le nubi di elettroni dei due materiali si respingono. Su scala macroscopica contano solo la gravitazionale e l'elettromagnetica, perché le due nucleari hanno raggio d'azione subatomico.

Metodo per risolvere un problema di dinamica

Quasi tutti i problemi del capitolo si risolvono con gli stessi passi.

1. Scegliere i corpi da studiare uno alla volta (blocchetto, piattaforma, massa appesa…).
2. Diagramma di corpo libero: per ciascun corpo si disegnano tutte e sole le forze che agiscono su di lui: il peso, e una forza per ogni cosa che lo tocca (piano d'appoggio: reazione normale e attrito; filo: tensione; molla: forza elastica). Non si disegnano le forze che il corpo fa sugli altri, né "la forza del moto" (non esiste).
3. Scegliere gli assi in modo furbo: uno nella direzione in cui il corpo si muove (o si muoverebbe), l'altro perpendicolare. Su un piano inclinato si prende l'asse $x$ lungo il piano: l'accelerazione lungo l'altro asse è nulla (Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato →).
4. Proiettare $\vec F = m\vec a$ sugli assi: una equazione scalare per asse e per corpo, con i segni presi dagli assi.
5. Aggiungere i vincoli: un corpo che resta appoggiato ha accelerazione nulla perpendicolarmente al piano; due corpi collegati da un filo teso inestensibile hanno accelerazioni di uguale modulo (Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole →); un corpo fermo rispetto a un altro ha la sua stessa accelerazione.
6. Contare equazioni e incognite, risolvere in lettere, controllare le dimensioni e i casi limite, solo alla fine sostituire i numeri.

Controllo dei casi limite. Una formula trovata deve dare risultati sensati in casi noti. Per esempio l'accelerazione su un piano inclinato $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$ con $\theta = 90°$ e $\mu = 0$ deve dare $a = g$ (caduta libera): $g(1 - 0) = g$ ✓.

Riassunto

Errori comuni

• Mettere nel diagramma una "forza nella direzione del moto": un corpo che sale per inerzia non ha nessuna forza verso l'alto, ha solo il peso (che lo rallenta).
• Sommare azione e reazione sullo stesso corpo: agiscono su corpi diversi.
• Dimenticare forze di contatto (normale, attrito) o, al contrario, inventarne: ogni forza deve avere un "chi la esercita".
• Confondere massa (kg) e peso (N).
• Usare $\vec F = m\vec a$ in un riferimento accelerato (sull'autobus che frena, su una piattaforma che accelera) senza aggiungere le forze apparenti.