Esercizio 108due fili carichi paralleli

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Impostazione

Il campo di un filo infinito a distanza $r$ è radiale, di modulo $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r) = 2k|\lambda|/r$, uscente se $\lambda>0$, entrante se $\lambda<0$. Sull'asse $x$ il campo di ciascun filo è lungo $x$. Convenzione: positivo il verso $+x$. Per un punto a ascissa $x$, a distanza $|x - x_i|$ dal filo $i$, il contributo con il segno è

$$E_i = \frac{2k\lambda_i}{|x - x_i|}\cdot\operatorname{sgn}(x - x_i)$$

(uscente se $\lambda_i>0$: nello stesso verso di $x - x_i$.)

Costante: $2k = 1{,}7975\cdot 10^{10}\ \text{N m}^2/\text{C}^2$.

a) Punto medio, $x = 0{,}15$ m

Il filo 1 è positivo e sta a sinistra: campo uscente da lui, cioè verso $+x$: $$E_1 = \frac{2k\lambda_1}{0{,}15} = \frac{1{,}7975\cdot 10^{10}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}15} = +359{,}5\ \text{N/C}$$

Il filo 2 è negativo e sta a destra: campo entrante verso di lui, cioè ancora verso $+x$: $$E_2 = \frac{2k|\lambda_2|}{0{,}15} = \frac{1{,}7975\cdot 10^{10}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}15} = +119{,}8\ \text{N/C}$$

I due campi si sommano (cariche di segno opposto, punto tra i fili):

$$E = 359{,}5 + 119{,}8 = 479{,}3\ \text{N/C} \quad\text{verso } +x$$

b) Punto di campo nullo

Si esaminano le tre zone.

• Tra i fili ($0<x<0{,}30$): i due campi sono concordi (come in a): somma mai nulla.
• A sinistra del filo 1 ($x<0$): il filo 1 dà campo verso $-x$, il filo 2 (negativo) dà campo verso $+x$. Ma il punto è più vicino al filo 1, che ha anche densità maggiore: prevale sempre il filo 1. Non c'è zero.
• A destra del filo 2 ($x>0{,}30$): il filo 1 dà campo verso $+x$, il filo 2 verso $-x$. I moduli possono uguagliarsi perché il filo 2 è più vicino (ma ha densità minore).

Imponendo l'uguaglianza dei moduli (dopo aver semplificato $2k$):

$$\frac{\lambda_1}{x} = \frac{|\lambda_2|}{x - 0{,}30} \quad\Longrightarrow\quad 3{,}0\,(x - 0{,}30) = 1{,}0\,x \quad\Longrightarrow\quad 2x = 0{,}90 \quad\Longrightarrow\quad x = 0{,}45\ \text{m}$$

Controllo: in $x = 0{,}45$: $E_1 = 1{,}7975\cdot 10^{10}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-9}/0{,}45 = 119{,}8$ N/C verso $+x$; $E_2 = 1{,}7975\cdot 10^{10}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-9}/0{,}15 = 119{,}8$ N/C verso $-x$ ✓.

c) Forza su $q = +2{,}0$ nC nel punto medio

$$F = qE = 2{,}0\cdot 10^{-9}\cdot 479{,}3 = 9{,}6\cdot 10^{-7}\ \text{N}$$

verso $+x$ (verso il filo negativo), parallela al campo perché $q>0$.

d) Campo in $x = 0{,}60$ m

Il punto è a destra di entrambi: dal filo 1 dista $0{,}60$ m, dal filo 2 dista $0{,}30$ m.

$$E = \frac{2k\lambda_1}{0{,}60} - \frac{2k|\lambda_2|}{0{,}30} = \frac{1{,}7975\cdot 10^{10}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}60} - \frac{1{,}7975\cdot 10^{10}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}30} = 89{,}9 - 59{,}9 = +30{,}0\ \text{N/C}$$

verso $+x$: oltre $x = 0{,}45$ m domina il filo 1 e, molto lontano, il campo tende a quello di un filo con densità totale $\lambda_1 + \lambda_2 = +2{,}0$ nC/m (campo uscente).

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Risultati

Errori comuni

• Usare la formula del campo di una carica puntiforme ($1/r^2$) per un filo infinito (che va come $1/r$).
• Cercare il punto di campo nullo tra i due fili: lì, con densità di segno opposto, i campi sono concordi.
• Dimenticare il segno di $\lambda_2$ nel verso del campo (entrante).