Esercizio 122partitore di tensione con carico

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a) Partitore a vuoto

I due resistori sono in serie: corrente $i = V_0/(R_1 + R_2) = 12/2000 = 6{,}0$ mA. La tensione su $R_2$:

$$V_u = R_2\,i = V_0\,\frac{R_2}{R_1 + R_2} = 12\cdot\frac{1{,}0}{2{,}0} = 6{,}0\ \text{V}$$

(Conviene lavorare in kΩ e mA: $\text{k}\Omega\cdot\text{mA} = \text{V}$.)

b) Con un carico

Il carico $R_L$ è in parallelo a $R_2$ (stessi due nodi). Il gruppo ha resistenza

$$R_{2L} = \frac{R_2 R_L}{R_2 + R_L} = \frac{1{,}0\cdot 1{,}0}{2{,}0} = 0{,}50\ \text{k}\Omega$$

e questo è in serie con $R_1$. Il partitore diventa

$$V_u = V_0\,\frac{R_{2L}}{R_1 + R_{2L}} = 12\cdot\frac{0{,}50}{1{,}0 + 0{,}50} = 4{,}0\ \text{V}$$

Collegare il carico ha fatto scendere la tensione da $6{,}0$ a $4{,}0$ V: il carico "sottrae" corrente e abbassa la resistenza della parte inferiore del partitore. Il partitore funziona come previsto solo se il carico non lo disturba, cioè se $R_L\gg R_2$.

c) Carico minimo per restare entro il $5\%$

Si vuole $V_u\ge 5{,}7$ V. Chiamando $R_p$ il parallelo $R_2\parallel R_L$, la condizione è

$$V_0\,\frac{R_p}{R_1 + R_p}\ge 5{,}7 \quad\Longrightarrow\quad 12\,R_p \ge 5{,}7\,(R_1 + R_p) \quad\Longrightarrow\quad R_p \ge \frac{5{,}7\,R_1}{12 - 5{,}7} = \frac{5{,}7\cdot 1{,}0}{6{,}3} = 0{,}905\ \text{k}\Omega$$

Il parallelo di $R_2$ e $R_L$ deve essere almeno $0{,}905$ k$\Omega$. Da $\dfrac{1}{R_p} = \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_L}$:

$$\frac{1}{R_L} = \frac{1}{0{,}905} - \frac{1}{1{,}0} = 1{,}105 - 1{,}000 = 0{,}105\ \text{mS} \quad\Longrightarrow\quad R_L\ge 9{,}5\ \text{k}\Omega$$

Il carico deve essere almeno circa dieci volte $R_2$ perché la tensione cali meno del $5\%$.

d) Potenze nel caso b

Il generatore vede $R_{eq} = R_1 + R_{2L} = 1{,}5$ k$\Omega$, quindi eroga

$$i = \frac{12}{1500} = 8{,}0\ \text{mA} \qquad P_0 = V_0\,i = 12\cdot 8{,}0\cdot 10^{-3} = 96\ \text{mW}$$

• $R_1$: percorso da tutta la corrente, $P_1 = R_1 i^2 = 1000\cdot(8{,}0\cdot 10^{-3})^2 = 64\ \text{mW}$.
• Su $R_2$ e $R_L$ c'è $V_u = 4{,}0$ V: $P_2 = V_u^2/R_2 = 16/1000 = 16\ \text{mW}$ e $P_L = V_u^2/R_L = 16\ \text{mW}$.

Totale $64 + 16 + 16 = 96$ mW $= P_0$ ✓. Metà della potenza è persa in $R_1$.

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Risultati

Errori comuni

• Usare il partitore con $R_2$ al posto del parallelo $R_2\parallel R_L$ quando c'è un carico.
• Sommare $R_L$ e $R_2$ come se fossero in serie: sono in parallelo.
• Mescolare kΩ con A (o Ω con mA): o tutto in unità base, o kΩ con mA.
• Concludere che il carico non influisce: influisce sempre, tanto meno quanto più è grande.