Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni

Primo argomento del corso. Serve in ogni esercizio: ogni risultato numerico va scritto con la sua unità di misura, e il controllo delle dimensioni è il modo più rapido per scoprire un errore in una formula. Seguito: Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →.

Cosa fa la fisica

La fisica descrive i fenomeni naturali con leggi espresse da relazioni matematiche tra grandezze misurabili. Il procedimento è sempre lo stesso:

1. si osserva un fenomeno e si scelgono le grandezze che lo descrivono (per un sasso che cade: la quota e il tempo);
2. si misurano, e si cerca una relazione tra i valori (la quota diminuisce come il quadrato del tempo);
3. si propone una legge, che deve prevedere il risultato di esperimenti nuovi; se una previsione viene smentita dalla misura, la legge va corretta.

Una teoria (per esempio la meccanica di Newton) è un insieme di poche leggi da cui se ne ricavano molte altre. Ogni teoria ha un campo di validità: la meccanica di Newton funziona benissimo per oggetti che si muovono molto più lentamente della luce e che sono molto più grandi di un atomo, cioè per tutto quello che si vede in questo corso.

Grandezza fisica e misura

Una grandezza fisica è una proprietà di un corpo o di un fenomeno che si può misurare, cioè confrontare con un campione della stessa specie scelto come unità. La grandezza è definita proprio dal procedimento con cui la si misura (definizione operativa): la lunghezza è ciò che si misura con un metro, il tempo ciò che si misura con un orologio.

Il risultato di una misura è sempre

Formula (risultato di una misura). $$\text{valore} = \text{numero} \times \text{unità}, \qquad \text{per esempio} \quad L = 2{,}5\ \text{m}$$

cioè: la lunghezza $L$ contiene $2{,}5$ volte il campione "metro". Un numero senza unità non è una misura: "$L = 2{,}5$" non dice niente, perché $2{,}5$ metri e $2{,}5$ centimetri sono lunghezze diversissime.

Esempio. La stessa lunghezza si scrive $L = 2{,}5\ \text{m} = 250\ \text{cm}$: cambiando unità cambia il numero, non la lunghezza. Per questo $L = 2{,}5$ senza unità non è una misura.

Le grandezze si dividono in:

• scalari: descritte da un solo numero (con unità): massa, tempo, temperatura, energia;
• vettoriali: servono anche una direzione e un verso: spostamento, velocità, forza. Si vedranno in Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →.

Il Sistema Internazionale (SI)

Si sceglie un piccolo gruppo di grandezze fondamentali, ciascuna con una sua unità; tutte le altre (derivate) si ottengono da queste con le formule che le definiscono. Le grandezze fondamentali del SI usate in questo corso:

(Le altre due fondamentali, ampere e candela, servono in elettromagnetismo e in ottica.)

Grandezze derivate che si incontreranno, con la loro definizione:

Le unità con nome proprio (newton, joule…) sono solo abbreviazioni: scrivere $1\ \text{N}$ o $1\ \text{kg}\,\text{m/s}^2$ è la stessa cosa.

Multipli, sottomultipli e notazione scientifica

Numeri molto grandi o molto piccoli si scrivono come $a \times 10^n$ con $1 \le a < 10$ (notazione scientifica): la massa della Luna è $7{,}3 \times 10^{22}\ \text{kg}$, la costante di gravitazione è $6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$. Le potenze di $10$ più usate hanno un prefisso:

Attenzione alle unità al quadrato e al cubo: il prefisso va elevato insieme all'unità. Per esempio

Formula (prefissi al quadrato e al cubo). $$1\ \text{dm}^3 = (10^{-1}\ \text{m})^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3 \qquad 1\ \text{cm}^2 = (10^{-2}\ \text{m})^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$$

Esempio. Negli esercizi di termodinamica i volumi sono spesso dati in $\text{dm}^3$ (litri): $50\ \text{dm}^3 = 50 \times 10^{-3}\ \text{m}^3 = 0{,}05\ \text{m}^3$.

Conversioni di unità

Per cambiare unità si moltiplica per una frazione che vale $1$ (numeratore e denominatore sono la stessa grandezza scritta in due unità diverse), scegliendola in modo che l'unità vecchia si semplifichi.

Esempio: $90\ \text{km/h}$ in m/s. Si sa che $1\ \text{km} = 1000\ \text{m}$ e $1\ \text{h} = 3600\ \text{s}$:

$$90\ \frac{\text{km}}{\text{h}} = 90\ \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} \cdot \frac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}} = \frac{90\,000}{3600}\ \frac{\text{m}}{\text{s}} = 25\ \text{m/s}$$

Formula (da km/h a m/s). Regola pratica: da km/h a m/s si divide per $3{,}6$, da m/s a km/h si moltiplica per $3{,}6$ (perché $\frac{1000}{3600} = \frac{1}{3{,}6}$).

Esempio. $54\ \text{km/h} = 54/3{,}6 = 15\ \text{m/s}$; al contrario $20\ \text{m/s} = 20 \cdot 3{,}6 = 72\ \text{km/h}$.

Esempio: un angolo in radianti. Un angolo giro è $360° = 2\pi$ rad, quindi $1° = \frac{\pi}{180}$ rad e $30° = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524$ rad. Nelle formule della fisica (velocità angolare, moto armonico) gli angoli vanno sempre in radianti.

Regola d'oro negli esercizi: prima di sostituire i numeri si convertono tutti i dati in unità SI (metri, kilogrammi, secondi). Così il risultato esce automaticamente in unità SI, senza fattori nascosti.

Dimensioni e analisi dimensionale

La dimensione di una grandezza dice come è fatta in termini delle grandezze fondamentali, indipendentemente dall'unità scelta. Si scrive tra parentesi quadre:

Formula (dimensioni delle grandezze meccaniche). $$[v] = [L][T]^{-1} \qquad [a] = [L][T]^{-2} \qquad [F] = [M][L][T]^{-2} \qquad [E] = [M][L]^2[T]^{-2}$$

Esempio. Energia cinetica $\frac12 m v^2$: $[M]\,([L][T]^{-1})^2 = [M][L]^2[T]^{-2} = [E]$, cioè $1\ \text{J} = 1\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}^2$.

Per esempio una velocità ha sempre dimensione "lunghezza diviso tempo", sia che la si misuri in m/s sia in km/h.

Principio di omogeneità. In ogni formula fisica corretta:

1. i due membri di un'uguaglianza hanno la stessa dimensione;
2. si possono sommare o sottrarre solo grandezze della stessa dimensione (non ha senso sommare metri e secondi);
3. gli argomenti di funzioni come $\sin$, $\cos$, $e^{(\cdot)}$, $\ln$ sono numeri puri (adimensionali). Per questo in $e^{-t/\tau}$ la costante $\tau$ deve essere un tempo, e in $\cos(\omega t)$ la grandezza $\omega$ deve avere dimensione $[T]^{-1}$.

Esempio. In $x = v\,t$ con $v$ in m/s e $t$ in s: $[v][T] = [L][T]^{-1}[T] = [L]$, una lunghezza ✓. La formula $x = v\,t^2$ darebbe $[L][T]$, che non è una lunghezza: errore.

A cosa serve: controllare un risultato. Se alla fine di un esercizio si trova una formula, se ne controllano le dimensioni prima di sostituire i numeri: se non tornano, c'è un errore di sicuro.

Esempio. Un corpo lasciato cadere da fermo da un'altezza $h$ arriva a terra con velocità $v = \sqrt{2gh}$ (lo si vedrà in Moto verticale dei graviSenza aria ogni corpo vicino al suolo cade con la stessa accelerazione g = 9,81 m/s² verso il basso: è un moto uniformemente accelerato. Tempo di salita v0/g, quota massima v0²/2g, velocità d'arrivo sqrt(2gh).Moto verticale dei gravi →). Controllo:

$$[\sqrt{gh}] = \sqrt{[L][T]^{-2} \cdot [L]} = \sqrt{[L]^2[T]^{-2}} = [L][T]^{-1} = [v] \quad ✓$$

Il fattore $2$ è un numero puro e non ha dimensione. Se per errore si fosse scritto $v = 2gh$, il controllo darebbe $[L]^2[T]^{-2}$, che non è una velocità: errore scoperto.

L'analisi dimensionale non dice nulla sui fattori numerici: $\sqrt{gh}$ e $\sqrt{2gh}$ hanno la stessa dimensione, e solo una delle due è giusta.

Cifre significative

Ogni misura ha un'incertezza, e il numero di cifre con cui si scrive un risultato deve rispecchiarla. Negli esercizi i dati hanno in genere 2 o 3 cifre significative ($m = 0{,}3\ \text{kg}$, $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$): il risultato si arrotonda a 2 o 3 cifre. Scrivere $v = 1{,}5652475\ \text{m/s}$ quando i dati hanno due cifre è sbagliato; si scrive $v \approx 1{,}57\ \text{m/s}$. Nei calcoli intermedi però conviene tenere tutte le cifre e arrotondare solo alla fine, per non accumulare errori.

Errori comuni

• Dimenticare l'unità nel risultato, o lasciare dati misti (cm e m, g e kg, km/h e m/s) nella stessa formula.
• Convertire male le unità al cubo: $1\ \text{dm}^3$ è $10^{-3}\ \text{m}^3$, non $10^{-1}\ \text{m}^3$.
• Usare i gradi dentro formule che vogliono i radianti (velocità angolare, legge oraria del moto armonico). Le calcolatrici vanno messe in modalità RAD quando l'argomento è $\omega t$.
• Sommare grandezze di dimensione diversa: è il segnale di un errore di algebra in un passaggio precedente.