Esercizio 109due piani carichi e un protone

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Impostazione

Ogni piano indefinito produce un campo uniforme di modulo $|\sigma|/(2\varepsilon_0)$, perpendicolare al piano, uscente se $\sigma>0$ ed entrante se $\sigma<0$. Si scrive il campo con il segno lungo $x$ e si sommano i due contributi zona per zona.

Valori: $\dfrac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} = \dfrac{6{,}0\cdot 10^{-9}}{2\cdot 8{,}854\cdot 10^{-12}} = 338{,}8\ \text{N/C}$ e $\dfrac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0} = 112{,}9\ \text{N/C}$.

a) Campo nelle tre zone

Il campo è uniforme in ogni zona e salta attraversando un piano di $\sigma/\varepsilon_0$ (attraversando il piano 1: da $-225{,}9$ a $+451{,}8$, salto $677{,}7 = \sigma_1/\varepsilon_0$ ✓; attraversando il piano 2: da $451{,}8$ a $225{,}9$, salto $-225{,}9 = \sigma_2/\varepsilon_0$ ✓).

b) Protone abbandonato fermo contro il piano 1

Fra i piani $E = 451{,}8$ N/C verso $+x$: sul protone ($q=+e$) la forza ha lo stesso verso, quindi parte verso il piano 2 con accelerazione costante

$$a = \frac{eE}{m_p} = \frac{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 451{,}8}{1{,}673\cdot 10^{-27}} = 4{,}33\cdot 10^{10}\ \text{m/s}^2$$

Lo spazio da percorrere è $d = 0{,}10$ m, moto uniformemente accelerato da fermo (Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →):

$$v = \sqrt{2ad} = \sqrt{2\cdot 4{,}33\cdot 10^{10}\cdot 0{,}10} = 9{,}3\cdot 10^{4}\ \text{m/s} \qquad t = \frac{v}{a} = \frac{9{,}3\cdot 10^{4}}{4{,}33\cdot 10^{10}} = 2{,}15\cdot 10^{-6}\ \text{s}$$

Controllo con l'energia: il lavoro del campo vale $eEd = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 451{,}8\cdot 0{,}10 = 7{,}24\cdot 10^{-18}$ J ($45{,}2$ eV), e $\tfrac12 m_p v^2 = \tfrac12\cdot 1{,}673\cdot 10^{-27}\cdot(9{,}3\cdot 10^{4})^2 = 7{,}24\cdot 10^{-18}$ J ✓ (Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →).

Il peso del protone ($1{,}6\cdot 10^{-26}$ N) è del tutto trascurabile.

c) Campo nullo all'esterno

Fuori dai piani i campi si cancellano quando le due densità hanno lo stesso modulo e segno opposto: $\sigma_2 = -\sigma_1 = -6{,}0$ nC/m$^2$. Allora tra i piani

$$E = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} + \frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} = \frac{6{,}0\cdot 10^{-9}}{8{,}854\cdot 10^{-12}} = 678\ \text{N/C}$$

È il campo di un condensatore piano. Con $\sigma_2 = -2{,}0$ (caso del problema) il campo non è confinato: il piano 2 neutralizza solo in parte il piano 1.

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Risultati

Errori comuni

• Usare $\sigma/\varepsilon_0$ per ogni piano (valore del campo tra due piani uguali e opposti, non di un solo piano).
• Dare lo stesso verso ai campi dei due piani anche fuori: il piano negativo ha campo entrante.
• Dimenticare che il campo di un piano non dipende dalla distanza, quindi nelle zone esterne è uniforme.