Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione

Inizio della cinematica, la parte della meccanica che descrive come si muove un corpo senza chiedersi perché (le cause del moto, le forze, sono l'oggetto della dinamica: Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →). Prima: Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioniUna grandezza fisica è definita da come la si misura; ogni misura è numero più unità. Sistema Internazionale, prefissi, conversioni e analisi dimensionale per controllare le formule.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni →. Seguito: Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →. Esercizio: Esercizio 5 · accelerazione che varia nel tempo.

Punto materiale e sistema di riferimento

Punto materiale. Un corpo si tratta come un punto (con una massa, ma senza dimensioni) quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze che percorre e non interessa come ruota su se stesso. Un'automobile che percorre $100$ km è un punto materiale; la stessa automobile che parcheggia no. Negli esercizi la frase "un blocchetto di dimensioni trascurabili" significa proprio: trattalo come un punto.

Sistema di riferimento. La posizione di un punto ha senso solo rispetto a qualcosa: si sceglie un'origine $O$, degli assi orientati con un'unità di lunghezza, e un orologio con un istante zero. Il moto dipende dal riferimento: un passeggero seduto in treno è fermo rispetto al treno e si muove rispetto ai binari (lo si approfondisce in Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamentoLo stesso moto visto da due riferimenti, uno fisso e uno mobile: la velocità assoluta è velocità relativa più velocità di trascinamento; l'accelerazione assoluta è relativa più trascinamento più Coriolis (2ω×v'). Se il riferimento mobile trasla a velocità costante si hanno le trasformazioni di Galileo e le accelerazioni coincidono.Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento →).

Nel moto rettilineo il punto si muove lungo una retta: basta un asse $x$, con un'origine e un verso positivo scelti da noi. La posizione è un numero con segno: $x = 3\ \text{m}$ vuol dire $3$ metri dall'origine nel verso positivo, $x = -2\ \text{m}$ vuol dire $2$ metri dalla parte opposta.

Legge oraria e diagramma orario

La legge oraria è la funzione $x(t)$ che dice in che posizione si trova il punto in ogni istante $t$. Il suo grafico, con il tempo in ascissa e la posizione in ordinata, è il diagramma orario.

Attenzione: il diagramma orario non è la traiettoria. La traiettoria è sempre la stessa retta (l'asse $x$); il diagramma orario è una curva nel piano $(t, x)$ che racconta quando il punto passa da ogni posizione.

Esempio guida. Una pallina lanciata verso l'alto lungo l'asse $x$ verticale (verso positivo in su), con

$$x(t) = 1 + 4t - t^2 \qquad (x \text{ in metri}, \ t \text{ in secondi})$$

La pallina parte da $x = 1$ m, sale fino a $x = 5$ m (raggiunta a $t = 2$ s) e poi ridiscende. (I coefficienti $4$ e $-1$ nascondono delle unità: $4\ \text{m/s}$ e $-1\ \text{m/s}^2$, in modo che ogni termine sia una lunghezza.)

Velocità media

Tra due istanti $t_1$ e $t_2$ il punto passa dalla posizione $x_1 = x(t_1)$ alla posizione $x_2 = x(t_2)$. Lo spostamento è $\Delta x = x_2 - x_1$ e l'intervallo di tempo è $\Delta t = t_2 - t_1$. La velocità media è

Definizione (velocità media). $$\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \qquad [\text{m/s}]$$

Esempio. Con $x(t) = 1 + 4t - t^2$: tra $t=0$ e $t=2$ s si va da $x=1$ m a $x=5$ m, quindi $\bar v = \frac{5-1}{2-0} = 2\ \text{m/s}$.

Ha un segno: $\bar v > 0$ se in quell'intervallo il punto, complessivamente, è avanzato nel verso positivo; $\bar v < 0$ se è arretrato.

Graficamente $\bar v$ è la pendenza (coefficiente angolare) della retta secante che unisce i punti $(t_1, x_1)$ e $(t_2, x_2)$ del diagramma orario.

Nell'esempio guida:

• tra $t = 0$ e $t = 2$ s: $\bar v = \frac{5 - 1}{2 - 0} = 2\ \text{m/s}$ (sale);
• tra $t = 0$ e $t = 4$ s: $\bar v = \frac{1 - 1}{4} = 0$, anche se la pallina si è mossa eccome: è tornata al punto di partenza, quindi lo spostamento complessivo è nullo.

Velocità media e velocità scalare media. Lo spazio effettivamente percorso tra $0$ e $4$ s è $4 + 4 = 8$ m (su di $4$ m e giù di $4$ m). Il rapporto $\frac{8\ \text{m}}{4\ \text{s}} = 2\ \text{m/s}$ si chiama velocità scalare media ed è sempre $\ge 0$; in fisica, salvo avviso contrario, "velocità media" è quella con lo spostamento, $\Delta x / \Delta t$.

Velocità istantanea

La velocità media dice poco su cosa succede in un singolo istante. Si prende un intervallo $\Delta t$ sempre più piccolo attorno a $t$: la velocità istantanea è il limite della velocità media,

Definizione (velocità istantanea). $$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$

cioè la derivata della legge oraria. Graficamente la secante diventa la retta tangente al diagramma orario nel punto $(t, x(t))$, e $v(t)$ è la sua pendenza:

• $v > 0$: il diagramma sale, il punto si muove nel verso positivo dell'asse;
• $v < 0$: il diagramma scende, il punto si muove nel verso negativo;
• $v = 0$: tangente orizzontale, il punto è fermo in quell'istante (di solito sta invertendo il moto).

Esempio. Con $x(t) = 1 + 4t - t^2$: $v(t) = 4 - 2t$, quindi $v(3) = 4 - 6 = -2\ \text{m/s}$ (la pallina sta scendendo).

Il valore assoluto $|v|$ si chiama modulo della velocità (è quello che segna il tachimetro di un'auto).

Nell'esempio guida, derivando termine per termine:

$$v(t) = \frac{d}{dt}(1 + 4t - t^2) = 4 - 2t \qquad [\text{m/s}]$$

A $t = 0$ la pallina sale a $4$ m/s; a $t = 2$ s $v = 0$ (è nel punto più alto, quota $5$ m); a $t = 3$ s $v = -2$ m/s (scende).

Accelerazione media e istantanea

Allo stesso modo si misura quanto rapidamente cambia la velocità. L'accelerazione media tra $t_1$ e $t_2$ è

$$\bar a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1} \qquad [\text{m/s}^2]$$

e l'accelerazione istantanea è la derivata della velocità, cioè la derivata seconda della legge oraria:

Definizione (accelerazione). $$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}$$

Esempio. Con $v(t) = 4 - 2t$: $a = \frac{dv}{dt} = -2\ \text{m/s}^2$, costante; da $t=1$ s a $t=3$ s la velocità passa da $2$ a $-2$ m/s, $\bar a = \frac{-2-2}{2} = -2\ \text{m/s}^2$.

L'unità m/s² si legge "metri al secondo, al secondo": un'accelerazione di $2\ \text{m/s}^2$ significa che ogni secondo la velocità cambia di $2$ m/s.

Nell'esempio guida $a(t) = \frac{d}{dt}(4 - 2t) = -2\ \text{m/s}^2$, costante: la velocità diminuisce di $2$ m/s ogni secondo.

Accelerare e rallentare. Il segno di $a$ da solo non dice se il punto va più veloce o più piano. Conta il confronto tra i segni di $a$ e di $v$:

Il percorso inverso: dalle accelerazioni alla legge oraria

Spesso si conosce l'accelerazione (perché la dinamica dirà $a = F/m$) e si vuole la legge oraria. Si fa il percorso inverso della derivata, cioè si integra.

Velocità. Dato che $\frac{dv}{dt} = a(t)$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale

Formula (velocità dall'accelerazione). $$v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(t')\,dt'$$

dove $v_0 = v(t_0)$ è la velocità iniziale. (La variabile di integrazione si chiama $t'$ per non confonderla con l'estremo $t$.)

Esempio. Con $a = -2\ \text{m/s}^2$ e $v_0 = 4\ \text{m/s}$: $v(t) = 4 + \int_0^t(-2)\,dt' = 4 - 2t$, quindi $v(3) = -2\ \text{m/s}$.

Posizione. Allo stesso modo, da $\frac{dx}{dt} = v(t)$:

Formula (posizione dalla velocità). $$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t')\,dt'$$

con $x_0 = x(t_0)$ la posizione iniziale.

Esempio. Con $v(t') = 4 - 2t'$ e $x_0 = 1$ m: $x(t) = 1 + 4t - t^2$, quindi $x(2) = 1 + 8 - 4 = 5$ m.

Perché servono le condizioni iniziali. Conoscere l'accelerazione non basta: due palline con la stessa accelerazione ma lanciate con velocità diverse, o da posizioni diverse, fanno moti diversi. Ogni integrazione introduce una costante, e le due costanti sono proprio $v_0$ e $x_0$. Per questo i testi degli esercizi dicono sempre "inizialmente il corpo è fermo" ($v_0 = 0$) o "parte con velocità $v_0$ dalla posizione…".

Significato grafico. L'integrale è un'area con segno: lo spostamento tra $t_1$ e $t_2$ è l'area sotto il grafico di $v(t)$ (contata negativa dove $v < 0$), e la variazione di velocità è l'area sotto il grafico di $a(t)$.

Verifica sull'esempio guida. Con $a = -2\ \text{m/s}^2$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$, $x_0 = 1\ \text{m}$, $t_0 = 0$:

$$v(t) = 4 + \int_0^t (-2)\,dt' = 4 - 2t, \qquad x(t) = 1 + \int_0^t (4 - 2t')\,dt' = 1 + 4t - t^2$$

Si ritrova la legge oraria di partenza. Un caso con accelerazione che cambia nel tempo, dove le formule del moto uniformemente accelerato non bastano, è svolto nell'Esercizio 5 · accelerazione che varia nel tempo.

Velocità in funzione della posizione

A volte l'accelerazione è data in funzione della posizione, $a(x)$ (succede con le molle: Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →), oppure interessa la velocità in un certo punto e non in un certo istante. Con la regola della derivata di funzione composta:

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}$$

Quindi $v\,dv = a\,dx$, e integrando tra la posizione iniziale $x_0$ (dove la velocità è $v_0$) e una posizione $x$:

Formula (velocità in funzione della posizione). $$\int_{v_0}^{v} v'\,dv' = \int_{x_0}^{x} a(x')\,dx' \quad \Longrightarrow \quad v^2 = v_0^2 + 2\int_{x_0}^{x} a(x')\,dx'$$

Esempio. Con $a = -5\ \text{m/s}^2$ costante e $v_0 = 20\ \text{m/s}$: $v^2 = 400 - 10\,(x-x_0)$; dopo $30$ m è $v^2 = 100$, cioè $v = 10\ \text{m/s}$.

Se l'accelerazione è costante l'integrale vale $a(x - x_0)$ e si ottiene la formula $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$, usatissima: Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →.

Riassunto

Errori comuni

• Confondere il diagramma orario con la traiettoria: la curva $x(t)$ di un moto rettilineo non vuol dire che il punto si muova su una curva.
• Dimenticare il segno di velocità e accelerazione: dipende dal verso scelto per l'asse. Scelto il verso, va tenuto fino alla fine dell'esercizio.
• Pensare che $a < 0$ voglia dire "rallenta": rallenta solo se $v > 0$ (vedi la tabella sopra).
• Dimenticare le condizioni iniziali quando si integra: $\int a\,dt$ dà la variazione di velocità, non la velocità.