Esercizio 11angolo tra due vettori e area di un parallelogramma

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1. Prodotto scalare e angolo

Il prodotto scalare con le componenti

I versori degli assi sono perpendicolari tra loro e di modulo $1$, quindi nel prodotto scalareCon le componenti: a·b = ax bx + ay by + az bz, perché i prodotti tra versori diversi valgono zero e quelli tra versori uguali valgono uno.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → restano solo i prodotti delle componenti omologhe:

$$\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 3 - 8 + 2 = -3\ \text{m}^2$$

L'unità è m² perché si moltiplicano due lunghezze. Il risultato è negativo: dalla definizione $\vec a \cdot \vec b = ab\cos\theta$, con $a, b > 0$, vuol dire $\cos\theta < 0$, cioè angolo ottuso tra i due vettori.

I moduli

$$a = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14} = 3{,}742\ \text{m} \qquad b = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21} = 4{,}583\ \text{m}$$

L'angolo

Uguagliando la definizione al valore calcolato con le componenti:

$$\cos\theta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{a\,b} = \frac{-3}{3{,}742 \cdot 4{,}583} = \frac{-3}{17{,}15} = -0{,}175 \quad \Longrightarrow \quad \theta = 100{,}1°$$

Qui l'arcocoseno della calcolatrice dà direttamente l'angolo giusto, perché l'angolo tra due vettori sta sempre tra $0°$ e $180°$, proprio l'intervallo in cui l'arcocoseno restituisce i valori.

La proiezione

La componente di $\vec b$ lungo la direzione di $\vec a$ è il prodotto scalare di $\vec b$ con il versore $\hat a = \vec a / a$:

$$b_{\parallel a} = \vec b \cdot \hat a = \frac{\vec a \cdot \vec b}{a} = \frac{-3}{3{,}742} = -0{,}80\ \text{m}$$

Il segno meno dice che l'"ombra" di $\vec b$ sulla retta di $\vec a$ punta nel verso opposto ad $\vec a$, coerente con l'angolo ottuso.

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2. Prodotto vettoriale e area

Il determinante

Si sviluppa il determinante simbolicoPrima riga i versori, seconda le componenti di a, terza quelle di b; si sviluppa lungo la prima riga ricordando il segno meno davanti al termine in j.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → lungo la prima riga:

$$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$$

• componente $x$: $a_y b_z - a_z b_y = (-2)(2) - (1)(4) = -4 - 4 = -8$;
• componente $y$: $a_z b_x - a_x b_z = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5$;
• componente $z$: $a_x b_y - a_y b_x = (3)(4) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14$.

$$\vec a \times \vec b = (-8\,\hat\imath - 5\,\hat\jmath + 14\,\hat k)\ \text{m}^2$$

Verifica della perpendicolarità

Due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo:

$$(\vec a \times \vec b) \cdot \vec a = (-8)(3) + (-5)(-2) + (14)(1) = -24 + 10 + 14 = 0 \ ✓$$ $$(\vec a \times \vec b) \cdot \vec b = (-8)(1) + (-5)(4) + (14)(2) = -8 - 20 + 28 = 0 \ ✓$$

È un ottimo controllo da fare sempre: un errore di segno nello sviluppo del determinante lo farebbe fallire.

L'area

Il modulo del prodotto vettoriale è l'area del parallelogrammaab sinθ: la base a per l'altezza b sinθ del parallelogramma costruito sui due vettori.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → costruito sui due vettori:

$$A_{\text{par}} = |\vec a \times \vec b| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 25 + 196} = \sqrt{285} = 16{,}9\ \text{m}^2$$

e il triangolo con lati $\vec a$ e $\vec b$ ne è la metà: $A_{\text{tri}} = 8{,}44\ \text{m}^2$.

Controllo con la definizione: $a\,b\sin\theta = 3{,}742 \cdot 4{,}583 \cdot \sin 100{,}1° = 17{,}15 \cdot 0{,}985 = 16{,}9\ \text{m}^2$ ✓. Si noti che $\sin 100{,}1° > 0$: il modulo del prodotto vettoriale è sempre positivo, anche con angolo ottuso.

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3. Momento e lavoro di una forza

Momento rispetto all'origine

Il momento di una forzaM = r × F, con r il vettore che va dal polo al punto di applicazione: misura quanto la forza tende a far ruotare attorno al polo.Momento angolare e momento di una forza → rispetto a $O$ è $\vec M = \vec r \times \vec F$, con $\vec r = \overrightarrow{OP} = (0{,}5;\ 0;\ 0)$ m. Entrambi i vettori stanno nel piano $xy$, quindi sopravvive solo la componente zPer due vettori del piano xy il prodotto vettoriale vale (ax by − ay bx) k.Prodotto scalare e prodotto vettoriale →:

$$\vec M = (r_x F_y - r_y F_x)\,\hat k = (0{,}5 \cdot 3 - 0 \cdot 2)\,\hat k = 1{,}5\,\hat k\ \ \text{N}\cdot\text{m}$$

Positivo, cioè uscente dal foglio: la forza tende a far ruotare in senso antiorario attorno a $O$. Controllo con "forza per braccio": $|\vec F| = \sqrt{4 + 9} = 3{,}61$ N forma con $\vec r$ (che è lungo $x$) l'angolo $\arctan\frac32 = 56{,}3°$, quindi $M = r F\sin\theta = 0{,}5 \cdot 3{,}61 \cdot 0{,}832 = 1{,}5$ N·m ✓. Solo la componente $F_y$, perpendicolare a $\vec r$, contribuisce: $F_x$ è lungo la retta per $O$ e non fa ruotare.

Lavoro

Il lavoro di una forza costanteW = F · Δr: conta solo la componente della forza lungo lo spostamento.Lavoro e potenza → è il prodotto scalare della forza per lo spostamento:

$$W = \vec F \cdot \Delta\vec r = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 0 = 11\ \text{J}$$

(N·m = J). Positivo perché forza e spostamento formano un angolo acuto: $\cos\theta = \frac{11}{3{,}61 \cdot 4{,}12} = 0{,}740$, $\theta = 42{,}3°$.

Momento e lavoro hanno entrambi unità N·m, ma sono grandezze diverse: il momento è un vettore (prodotto vettoriale), il lavoro uno scalare (prodotto scalare). Per questo il lavoro si scrive in joule e il momento si lascia in N·m.

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Risultati

Errori comuni

• Sbagliare il segno della componente $y$ del prodotto vettoriale: è $a_z b_x - a_x b_z$, non $a_x b_z - a_z b_x$. Il controllo della perpendicolarità lo scopre subito.
• Prendere il valore assoluto del prodotto scalare: il segno è un'informazione (angolo acuto o ottuso).
• Scrivere il momento come $\vec F \times \vec r$: verrebbe $-1{,}5\,\hat k$, con il verso di rotazione sbagliato.