Vettori: componenti, somma e modulo

Inizio del capitolo sui vettori, lo strumento matematico che serve per descrivere il moto nel piano e nello spazio e tutte le forze. Prima: Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →, dove bastava un numero con segno. Seguito: Prodotto scalare e prodotto vettorialeIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale →, Derivata e integrale di un vettoreUn vettore che dipende dal tempo si deriva e si integra componente per componente. La derivata di un versore è perpendicolare al versore e vale dφ/dt per il versore normale: per questo la derivata di un vettore ha una parte parallela (cambia il modulo) e una perpendicolare (cambia la direzione).Derivata e integrale di un vettore →. Esercizio: Esercizio 10 · spostamenti di un escursionista.

Grandezze scalari e vettoriali

Una grandezza scalare è descritta da un solo numero con la sua unità: la massa $m = 2\ \text{kg}$, il tempo $t = 3\ \text{s}$, la temperatura. Per altre grandezze un numero non basta. Dire "mi sono spostato di $5$ km" non dice dove sono arrivato: serve sapere anche in che direzione (per esempio lungo la retta nord-sud) e in che verso lungo quella direzione (verso nord o verso sud). Grandezze di questo tipo si chiamano vettoriali: spostamento, velocità, accelerazione, forza, quantità di moto.

Un vettore $\vec a$ è caratterizzato da tre cose:

1. il modulo $|\vec a|$, indicato anche con $a$ senza freccia: un numero $\ge 0$ con la sua unità (la "lunghezza" della freccia);
2. la direzione: la retta su cui giace la freccia;
3. il verso: quale dei due sensi di percorrenza di quella retta.

Si disegna come una freccia; due frecce con stesso modulo, direzione e verso rappresentano lo stesso vettore anche se partono da punti diversi (il vettore si può traslare liberamente). Nei libri si scrive anche in grassetto, $\mathbf a$.

Nel moto rettilineo tutto questo era nascosto nel segno: su una retta la direzione è fissata e il verso è dato dal segno $+$ o $-$. Nel piano le direzioni possibili sono infinite e il segno non basta più.

Operazioni geometriche

Prodotto per un numero. Se $\lambda$ è un numero reale, $\lambda \vec a$ è il vettore con:

• modulo $|\lambda|\,|\vec a|$ (la freccia si allunga o si accorcia di un fattore $|\lambda|$);
• stessa direzione di $\vec a$;
• stesso verso se $\lambda > 0$, verso opposto se $\lambda < 0$.

In particolare $-\vec a = (-1)\vec a$ è il vettore opposto: stessa lunghezza, verso contrario.

Somma (regola del parallelogramma o "punta-coda"). Per sommare $\vec a$ e $\vec b$ si trasla $\vec b$ in modo che la sua coda coincida con la punta di $\vec a$: la somma $\vec a + \vec b$ è la freccia che va dalla coda di $\vec a$ alla punta di $\vec b$. Equivalente: si mettono le due frecce con la coda nello stesso punto e si disegna il parallelogramma che hanno come lati; la somma è la diagonale che parte dalla coda comune.

Significato fisico: se cammino di $\vec a$ e poi di $\vec b$, mi trovo dove mi avrebbe portato un unico spostamento $\vec a + \vec b$.

La somma è commutativa ($\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$: i due percorsi lungo i lati del parallelogramma arrivano allo stesso vertice) e associativa.

Differenza. $\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)$. Con le due frecce applicate nello stesso punto, $\vec a - \vec b$ è la freccia che va dalla punta di $\vec b$ alla punta di $\vec a$ (infatti $\vec b + (\vec a - \vec b) = \vec a$).

Attenzione: i moduli non si sommano. In generale $|\vec a + \vec b| \ne |\vec a| + |\vec b|$. Vale solo la disuguaglianza triangolare

Proprietà (disuguaglianza triangolare). $$\big|\,|\vec a| - |\vec b|\,\big| \;\le\; |\vec a + \vec b| \;\le\; |\vec a| + |\vec b|$$

con il massimo quando i vettori sono paralleli e concordi, il minimo quando sono paralleli e discordi. Esempio: due forze da $3$ N e $4$ N danno una forza totale tra $1$ N e $7$ N; se sono perpendicolari, $5$ N (Pitagora).

Esempio. Con $|\vec a| = 3$ e $|\vec b| = 4$ il modulo della somma sta tra $|3-4| = 1$ (vettori opposti) e $3+4 = 7$ (vettori concordi); se sono perpendicolari vale $\sqrt{9+16} = 5$.

Versori

Un versore è un vettore di modulo $1$ (adimensionale): serve solo a indicare una direzione e un verso. Il versore di un vettore $\vec a \ne \vec 0$ si ottiene dividendolo per il suo modulo:

Definizione (versore). $$\hat a = \frac{\vec a}{|\vec a|} \qquad \Longrightarrow \qquad \vec a = |\vec a|\,\hat a$$

Esempio. $\vec a = (3, 4)$ m ha $|\vec a| = 5$ m, quindi $\hat a = \left(\frac35, \frac45\right) = (0{,}6;\ 0{,}8)$, adimensionale e di modulo $1$.

Questa scrittura separa le due informazioni: $|\vec a|$ dice quanto (con l'unità di misura), $\hat a$ dice dove.

Componenti cartesiane

Si sceglie un sistema di assi cartesiani ortogonali $x, y, z$ e si chiamano $\hat\imath, \hat\jmath, \hat k$ i versori dei tre assi (modulo $1$, diretti nel verso positivo di ciascun asse). Ogni vettore si scompone in modo unico come somma di tre vettori paralleli agli assi:

$$\vec a = a_x\,\hat\imath + a_y\,\hat\jmath + a_z\,\hat k \qquad\text{in breve}\qquad \vec a = (a_x, a_y, a_z)$$

I numeri $a_x, a_y, a_z$ sono le componenti di $\vec a$: sono le proiezioni della freccia sugli assi, e hanno un segno (positivo se la proiezione punta nel verso dell'asse). Hanno la stessa unità di misura del vettore.

Nel piano: componenti da modulo e angolo

Nel piano $xy$, se $\vec a$ ha modulo $a$ e forma un angolo $\theta$ con il semiasse positivo delle $x$ (misurato in senso antiorario), dalla trigonometria del triangolo rettangolo che ha la freccia come ipotenusa:

Formula (componenti da modulo e angolo). $$a_x = a\cos\theta \qquad a_y = a\sin\theta$$

Esempio. $a = 10$ m a $\theta = 30°$ dall'asse $x$: $a_x = 10\cos30° = 8{,}66$ m, $a_y = 10\sin30° = 5$ m.

Il coseno va con il cateto adiacente all'angolo, il seno con quello opposto. Se l'angolo è dato rispetto a un altro asse (capita spesso: "inclinata di $30°$ rispetto alla verticale") i ruoli di seno e coseno si scambiano: conviene sempre fare il disegno e chiedersi quale cateto è adiacente all'angolo dato.

Dalle componenti a modulo e angolo

Al contrario, note le componenti, il modulo si trova con Pitagora e l'angolo con la tangente:

Formula (modulo e angolo dalle componenti). $$a = |\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \qquad \tan\theta = \frac{a_y}{a_x}$$

e nello spazio $|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ (Pitagora applicato due volte).

Attenzione al quadrante. La calcolatrice dà $\arctan$ tra $-90°$ e $90°$, ma due vettori opposti hanno la stessa tangente. Si guardano i segni delle componenti: se $a_x < 0$ bisogna aggiungere $180°$ al risultato della calcolatrice.

Esempio. $\vec a = (-3, 4)$ m. Modulo $\sqrt{9 + 16} = 5$ m. $\arctan\frac{4}{-3} = -53{,}1°$, ma il vettore ha $a_x < 0$ e $a_y > 0$, quindi sta nel secondo quadrante: $\theta = -53{,}1° + 180° = 126{,}9°$. Controllo: $5\cos 126{,}9° = -3{,}0$ ✓, $5\sin 126{,}9° = 4{,}0$ ✓.

Operazioni con le componenti

Il vantaggio enorme delle componenti è che le operazioni sui vettori diventano operazioni sui numeri, componente per componente. Con $\vec a = (a_x, a_y, a_z)$ e $\vec b = (b_x, b_y, b_z)$:

Formula (somma e prodotto per un numero con le componenti). $$\vec a + \vec b = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) \qquad \lambda\vec a = (\lambda a_x,\ \lambda a_y,\ \lambda a_z)$$

Esempio. $\vec a = (2, -1, 3)$ e $\vec b = (1, 4, 0)$: $\vec a + \vec b = (3, 3, 3)$ e $2\vec a = (4, -2, 6)$.

Perché funziona: $\vec a + \vec b = a_x\hat\imath + a_y\hat\jmath + a_z\hat k + b_x\hat\imath + b_y\hat\jmath + b_z\hat k$, e raccogliendo i termini con lo stesso versore si ottiene $(a_x + b_x)\hat\imath + \dots$

Due vettori sono uguali se e solo se hanno tutte le componenti uguali. Un'equazione vettoriale come $\vec F_1 + \vec F_2 = m\vec a$ equivale quindi a tre equazioni scalari, una per asse: è esattamente quello che si farà in dinamica (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →), proiettando le forze sugli assi.

Esempio numerico. Due forze: $\vec F_1$ di modulo $10$ N a $30°$ dall'asse $x$, $\vec F_2$ di modulo $6$ N lungo il verso negativo dell'asse $y$.

1. Componenti: $\vec F_1 = (10\cos 30°,\ 10\sin 30°) = (8{,}66;\ 5{,}00)$ N; $\vec F_2 = (0;\ -6)$ N.
2. Somma: $\vec F = (8{,}66 + 0;\ 5{,}00 - 6) = (8{,}66;\ -1{,}00)$ N.
3. Modulo: $|\vec F| = \sqrt{8{,}66^2 + 1^2} = \sqrt{75{,}0 + 1{,}0} = 8{,}72$ N (minore di $10 + 6 = 16$ N, come previsto dalla disuguaglianza triangolare).
4. Angolo: $\tan\theta = \frac{-1{,}00}{8{,}66}$, $\theta = -6{,}6°$ (quarto quadrante, componenti $x > 0$, $y < 0$: la calcolatrice dà già l'angolo giusto).

Vettore posizione e spostamento

Il vettore posizione $\vec r$ di un punto $P$ è la freccia che va dall'origine $O$ a $P$: le sue componenti sono le coordinate di $P$, $\vec r = x\hat\imath + y\hat\jmath + z\hat k$. Se il punto passa da $P_1$ (posizione $\vec r_1$) a $P_2$ (posizione $\vec r_2$), lo spostamento è

Formula (spostamento). $$\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1 = (x_2 - x_1)\,\hat\imath + (y_2 - y_1)\,\hat\jmath + (z_2 - z_1)\,\hat k$$

cioè la freccia da $P_1$ a $P_2$, che non dipende dall'origine scelta (cambiando origine, $\vec r_1$ e $\vec r_2$ cambiano dello stesso vettore e la differenza resta uguale). È il punto di partenza di Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →.

Esempio. Da $P_1 = (1, 2)$ m a $P_2 = (4, 6)$ m: $\Delta\vec r = (3, 4)$ m, di modulo $\sqrt{9+16} = 5$ m.

Riassunto

Errori comuni

• Sommare i moduli invece dei vettori: $3$ N $+ 4$ N fa $7$ N solo se le forze sono parallele e concordi.
• Scambiare seno e coseno quando l'angolo è misurato da un asse diverso da $x$: il coseno va sempre con il cateto adiacente all'angolo dato.
• Sbagliare il quadrante dell'angolo con l'arcotangente quando $a_x < 0$.
• Dimenticare il segno delle componenti: un vettore che punta verso il basso ha componente $y$ negativa (con l'asse $y$ verso l'alto), anche se il suo modulo è positivo.
• Scrivere un vettore uguale a uno scalare (per esempio $\vec v = 5$ m/s): o si scrive il modulo $v = 5$ m/s, o il vettore con le componenti.