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Note per Studenti Esercizio 121 · rete mista di quattro resistori

Esercizio 121rete mista di quattro resistori

In questa pagina 5

Testo. Un generatore ideale da V=24 VV = 24\ \text{V} alimenta una rete di quattro resistori: R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega in serie con il parallelo di R2=20 ΩR_2 = 20\ \Omega e R3=30 ΩR_3 = 30\ \Omega, e questo gruppo in serie con R4=15 ΩR_4 = 15\ \Omega. Determinare:

a) la resistenza equivalente e la corrente erogata dal generatore;

b) la tensione, la corrente e la potenza dissipata in ciascun resistore, e il controllo sull'energia;

c) la corrente erogata se il resistore R3R_3 si interrompe (ramo aperto).

Teoria: Resistori in serie e in parallelo - Fisica 1Resistori in serie hanno la stessa corrente e le tensioni si sommano: R = R1 + R2 + ... Resistori in parallelo hanno la stessa tensione e le correnti si sommano: 1/R = 1/R1 + 1/R2 + ... Una rete mista si riduce a un solo resistore equivalente un passo alla volta, poi si torna indietro per ricavare correnti, tensioni e potenze di ciascun resistore.Resistori in serie e in parallelo - Fisica 1 →, Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1La corrente elettrica i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione del conduttore nell'unità di tempo (ampere); ha il verso del moto delle cariche positive. In un conduttore ohmico V = R i, con R = ρ L / A. La potenza dissipata per effetto Joule è P = V i = R i² = V² / R e l'energia in un tempo t è P t.Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1 →.

a) Resistenza equivalente e corrente totale

Si riduce la rete un passo alla volta partendo dal parallelo (il gruppo più "interno"):

R23=R2R3R2+R3=20⋅3050=12 ΩR_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{20\cdot 30}{50} = 12\ \Omega

(minore di 20 Ω20\ \Omega, il più piccolo dei due, come deve essere). Ora R1R_1, R23R_{23} e R4R_4 sono in serie:

Req=R1+R23+R4=10+12+15=37 ΩR_{eq} = R_1 + R_{23} + R_4 = 10 + 12 + 15 = 37\ \Omega

La corrente del generatore, che è anche la corrente in R1R_1, in R4R_4 e nel gruppo R23R_{23} (tutti in serie):

i=VReq=2437=0,649 Ai = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24}{37} = 0{,}649\ \text{A}

b) Resistore per resistore

Serie (R1R_1 e R4R_4): corrente i=0,649i = 0{,}649 A.

V1=R1i=10⋅0,649=6,49 VV4=R4i=15⋅0,649=9,73 VV_1 = R_1 i = 10\cdot 0{,}649 = 6{,}49\ \text{V} \qquad V_4 = R_4 i = 15\cdot 0{,}649 = 9{,}73\ \text{V}

Parallelo (R2R_2 e R3R_3): la tensione ai capi del gruppo è

V23=R23 i=12⋅0,649=7,78 VV_{23} = R_{23}\,i = 12\cdot 0{,}649 = 7{,}78\ \text{V}

(controllo: V1+V23+V4=6,49+7,78+9,73=24,0V_1 + V_{23} + V_4 = 6{,}49 + 7{,}78 + 9{,}73 = 24{,}0 V ✓). I due resistori hanno ciascuno questa tensione, e le correnti sono

i2=V23R2=7,7820=0,389 Ai3=V23R3=7,7830=0,259 Ai_2 = \frac{V_{23}}{R_2} = \frac{7{,}78}{20} = 0{,}389\ \text{A} \qquad i_3 = \frac{V_{23}}{R_3} = \frac{7{,}78}{30} = 0{,}259\ \text{A}

con somma 0,389+0,259=0,6490{,}389 + 0{,}259 = 0{,}649 A =i= i ✓ (nel ramo di resistenza minore passa più corrente).

Potenze (P=R i2P = R\,i^2 oppure V iV\,i):

resistore tensione corrente potenza
R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega 6,496{,}49 V 0,6490{,}649 A 4,214{,}21 W
R2=20 ΩR_2 = 20\ \Omega 7,787{,}78 V 0,3890{,}389 A 3,033{,}03 W
R3=30 ΩR_3 = 30\ \Omega 7,787{,}78 V 0,2590{,}259 A 2,022{,}02 W
R4=15 ΩR_4 = 15\ \Omega 9,739{,}73 V 0,6490{,}649 A 6,316{,}31 W
totale 15,5715{,}57 W

Controllo con l'energia: la potenza erogata dal generatore è Vi=24⋅0,649=15,57V i = 24\cdot 0{,}649 = 15{,}57 W, uguale alla somma delle potenze dissipate ✓.

c) Ramo R3R_3 interrotto

Se R3R_3 si apre non passa più corrente in quel ramo: restano R1R_1, R2R_2, R4R_4 in serie.

Req′=10+20+15=45 Ωi′=2445=0,533 AR'_{eq} = 10 + 20 + 15 = 45\ \Omega \qquad i' = \frac{24}{45} = 0{,}533\ \text{A}

La corrente erogata diminuisce (da 0,6490{,}649 a 0,5330{,}533 A) perché è sparita una strada per la corrente; la resistenza equivalente è aumentata. La potenza totale scende da 15,615{,}6 a 24⋅0,533=12,824\cdot 0{,}533 = 12{,}8 W.

Risultati

grandezza valore
a) ReqR_{eq} 37 Ω37\ \Omega
a) corrente del generatore 0,649 A0{,}649\ \text{A}
b) tensioni su R1R_1, R23R_{23}, R4R_4 6,496{,}49, 7,787{,}78, 9,73 V9{,}73\ \text{V}
b) correnti in R2R_2 e R3R_3 0,3890{,}389 e 0,259 A0{,}259\ \text{A}
b) potenza totale 15,57 W15{,}57\ \text{W}
c) corrente con R3R_3 aperta 0,533 A0{,}533\ \text{A}

Errori comuni

  • Sommare R2R_2 e R3R_3 come se fossero in serie.
  • Fermarsi a 1/R231/R_{23} senza invertire.
  • Applicare ai resistori in parallelo la stessa corrente invece della stessa tensione.
  • Dimenticare che la corrente totale passa per R1R_1 e R4R_4, ma si divide in R2R_2 e R3R_3.

Versione ripasso

Testo. Generatore da 2424 V; R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega in serie con R2=20 ΩR_2 = 20\ \Omega in parallelo a R3=30 ΩR_3 = 30\ \Omega, in serie con R4=15 ΩR_4 = 15\ \Omega. ReqR_{eq} e corrente; tensione, corrente e potenza di ogni resistore; corrente se R3R_3 si interrompe.

Soluzione

(Resistori in serie e in parallelo - Fisica 1Resistori in serie hanno la stessa corrente e le tensioni si sommano: R = R1 + R2 + ... Resistori in parallelo hanno la stessa tensione e le correnti si sommano: 1/R = 1/R1 + 1/R2 + ... Una rete mista si riduce a un solo resistore equivalente un passo alla volta, poi si torna indietro per ricavare correnti, tensioni e potenze di ciascun resistore.Resistori in serie e in parallelo - Fisica 1 →)

  • R23=20⋅30/50=12 ΩR_{23} = 20\cdot 30/50 = 12\ \Omega; Req=10+12+15=37 ΩR_{eq} = 10 + 12 + 15 = 37\ \Omega; i=24/37=0,649i = 24/37 = 0{,}649 A.
  • V1=6,49V_1 = 6{,}49 V, V23=7,78V_{23} = 7{,}78 V, V4=9,73V_4 = 9{,}73 V (somma 2424 V); i2=0,389i_2 = 0{,}389 A, i3=0,259i_3 = 0{,}259 A (somma ii).
  • Potenze: 4,21+3,03+2,02+6,31=15,574{,}21 + 3{,}03 + 2{,}02 + 6{,}31 = 15{,}57 W =Vi= Vi.
  • R3R_3 aperto: Req′=45 ΩR'_{eq} = 45\ \Omega, i′=0,533i' = 0{,}533 A (la corrente erogata diminuisce).

Errori tipici: R2+R3R_2 + R_3 in serie; dimenticare di invertire; stessa corrente nel parallelo.

Teoria collegata