Resistori in serie e in parallelo - Fisica 1

Dopo Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1La corrente elettrica i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione del conduttore nell'unità di tempo (ampere); ha il verso del moto delle cariche positive. In un conduttore ohmico V = R i, con R = ρ L / A. La potenza dissipata per effetto Joule è P = V i = R i² = V² / R e l'energia in un tempo t è P t.Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1 →. Esercizi: Esercizio 121 · rete mista di quattro resistori, Esercizio 122 · partitore di tensione con carico, Esercizio 123 · due lampadine in serie e in parallelo.

Le due regole di partenza

Un circuito è fatto di un generatore e di resistori collegati da fili di resistenza trascurabile. Due principi di conservazione governano tutto.

• La carica non si accumula: in un nodo (punto in cui si incontrano più fili) la somma delle correnti entranti è uguale alla somma di quelle uscenti.
• L'energia per unità di carica si conserva: percorrendo un percorso chiuso, la somma delle variazioni di potenziale è nulla; la tensione di un generatore ideale è pari alla somma delle cadute di tensione $R\,i$ sui resistori che ne sono alimentati.

Resistori in serie

Sono collegati uno dopo l'altro, senza nodi tra loro: la stessa corrente $i$ li attraversa tutti (non ci sono vie alternative, e la carica non si accumula).

La tensione totale è la somma delle cadute:

$$V = R_1 i + R_2 i + R_3 i = (R_1 + R_2 + R_3)\,i$$

Formula (resistenza equivalente in serie). $$R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$$

È maggiore del più grande. La tensione si divide in proporzione alle resistenze (partitore di tensione):

$$V_k = V\,\frac{R_k}{R_1 + R_2 + \dots + R_n}$$

La potenza dissipata da ciascun resistore è $R_k i^2$: a corrente uguale, dissipa di più la resistenza maggiore.

Resistori in parallelo

Sono collegati agli stessi due nodi: hanno la stessa tensione $V$ ai capi. La corrente totale si divide tra i rami e si somma:

$$i = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} + \frac{V}{R_3} = V\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right)$$

Formula (resistenza equivalente in parallelo). $$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$$

Per due resistori: $R_{eq} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (prodotto su somma). Per $n$ resistori uguali a $R$: $R_{eq} = R/n$. Il risultato è minore del più piccolo: aggiungere un ramo offre alla corrente una strada in più. La corrente si divide in modo inversamente proporzionale alle resistenze (partitore di corrente); per due rami:

$$i_1 = i\,\frac{R_2}{R_1 + R_2} \qquad i_2 = i\,\frac{R_1}{R_1 + R_2}$$

Nel ramo di resistenza minore passa più corrente. La potenza dissipata è $V^2/R_k$: a tensione uguale dissipa di più la resistenza minore.

Esempio. $6\ \Omega$ in parallelo con $3\ \Omega$: $R_{eq} = \dfrac{6\cdot 3}{9} = 2\ \Omega$ (minore di $3\ \Omega$). Con $V = 12$ V le correnti sono $2{,}0$ A e $4{,}0$ A, totale $6{,}0$ A $= 12/2$ ✓.

Reti miste

Una rete con serie e parallelo si risolve così.

1. Ridurre: si cercano i gruppi chiaramente in serie o in parallelo e si sostituiscono con la loro resistenza equivalente, ripetendo finché resta un solo resistore.
2. Corrente totale: $i = V/R_{eq}$.
3. Tornare indietro: si "apre" ogni passo della riduzione, calcolando tensioni (con $V = Ri$) e correnti (con i partitori) di ogni resistore.
4. Controllare: la somma delle potenze dissipate $\sum R_k i_k^2$ deve uguagliare la potenza erogata $V i$ (conservazione dell'energia).

Esempio. Generatore da $12$ V su $R_1 = 4\ \Omega$ in serie con il parallelo di $6\ \Omega$ e $3\ \Omega$ ($2\ \Omega$): $R_{eq} = 4 + 2 = 6\ \Omega$, $i = 12/6 = 2{,}0$ A. La tensione su $R_1$ è $4\cdot 2 = 8$ V, sul parallelo restano $12 - 8 = 4$ V (e infatti $2\ \Omega\cdot 2$ A $= 4$ V), quindi nei rami $4/6 = 0{,}67$ A e $4/3 = 1{,}33$ A. Potenze: $4\cdot 4 = 16$ W $+ 6\cdot 0{,}67^2 + 3\cdot 1{,}33^2 = 16 + 2{,}67 + 5{,}33 = 24$ W $= 12\cdot 2$ ✓.

Perché si usa il parallelo nelle case

Gli apparecchi domestici sono tutti in parallelo alla stessa presa: ciascuno riceve la tensione nominale, e se uno si spegne o si guasta gli altri continuano a funzionare. In serie, invece, le tensioni si dividerebbero e l'interruzione di uno spegnerebbe tutti. Come conseguenza, accendere più apparecchi aumenta la corrente totale assorbita dalla rete (ed è per questo che il sovraccarico fa scattare il salvavita).

Riassunto

Errori comuni

• Scambiare le formule: nel parallelo si sommano gli inversi (o si fa prodotto su somma), non le resistenze.
• Dimenticare l'ultimo passo $1/R_{eq}\to R_{eq}$.
• Dividere la corrente in modo proporzionale alle resistenze nel parallelo: è inversamente proporzionale.
• Considerare in serie resistori che non hanno la stessa corrente (c'è un nodo in mezzo).
• Non verificare l'energia: la somma delle potenze deve eguagliare $Vi$.

Domande d'esame

1. Quanto vale la resistenza equivalente di $n$ resistori uguali a $R$ in serie e in parallelo? Risposta: $nR$ e $R/n$.
2. Perché la resistenza equivalente di un parallelo è minore della più piccola? Risposta: a pari tensione le correnti si sommano, quindi $i_{tot}>V/R_{min}$ e $R_{eq} = V/i_{tot}<R_{min}$.
3. Due lampadine uguali sono in serie a un generatore: cosa succede se si svita una? Risposta: il circuito si interrompe e si spegne anche l'altra; in parallelo l'altra resta accesa.