Esercizio 110elettrone in orbita attorno a un filo carico

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Impostazione

L'elettrone è negativo, il filo positivo: il campo del filo è radiale uscente, ma la forza sull'elettrone è opposta al campo, cioè punta verso il filo, ovvero verso il centro dell'orbita. È la forza centripeta:

$$|q|\,E(r) = m_e\,\frac{v^2}{r}$$

a) Campo e forza

Con Gauss, il campo di un filo infinito è $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \dfrac{2k\lambda}{r}$:

$$E = \frac{2\cdot 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}050} = 719\ \text{N/C}$$

Forza sull'elettrone: $$F = eE = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 719 = 1{,}15\cdot 10^{-16}\ \text{N}$$ diretta verso il filo.

b) Velocità

Si sostituisce $E = 2k\lambda/r$ nell'equazione del moto circolare:

$$e\,\frac{2k\lambda}{r} = m_e\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{2k\lambda e}{m_e} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2k\lambda e}{m_e}}$$

Il raggio si semplifica: la velocità non dipende da $r$.

$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-9}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}}{9{,}109\cdot 10^{-31}}} = 2{,}51\cdot 10^{6}\ \text{m/s}$$

pari allo $0{,}84\%$ di $c$ (l'ipotesi non relativistica va bene). Il fatto è peculiare del campo $1/r$: per un satellite ($F\propto 1/r^2$) la velocità cala con il raggio come $1/\sqrt r$ (Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →).

Controllo. Forza centripeta a $r = 5$ cm: $m_e v^2/r = 9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot 6{,}32\cdot 10^{12}/0{,}05 = 1{,}15\cdot 10^{-16}$ N ✓.

c) Periodo

$$T = \frac{2\pi r}{v}$$

• $r = 5{,}0$ cm: $T = \dfrac{2\pi\cdot 0{,}050}{2{,}51\cdot 10^{6}} = 1{,}25\cdot 10^{-7}\ \text{s}$;
• $r = 10$ cm: $T = 2{,}50\cdot 10^{-7}\ \text{s}$.

Con $v$ costante, $T$ è proporzionale a $r$ (non a $r^{3/2}$ come nelle leggi di Keplero).

d) Energia cinetica

$$K = \tfrac12 m_e v^2 = k\lambda e = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-9}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19} = 2{,}88\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$

In elettronvolt: $K = 2{,}88\cdot 10^{-18}/1{,}602\cdot 10^{-19} = 18{,}0\ \text{eV}$, anch'essa indipendente dal raggio.

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Risultati

Errori comuni

• Usare $E = kq/r^2$ per il filo (che va come $1/r$): sparirebbe la proprietà di velocità costante.
• Scrivere la forza nel verso del campo: la carica è negativa.
• Calcolare il periodo con $r$ in centimetri.