Corpo rigido e suo centro di massa

Inizio del capitolo sul corpo rigido. Si appoggia sui risultati generali dei sistemi di punti: Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa →, Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →, Teoremi di König ed energia di un sistemaTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema →. Seguito: Momento d'inerzia e teorema di Huygens-SteinerIl momento d'inerzia I = ∫ r² dm misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un asse. Calcolo per asta, anello, disco e sfera; il teorema di Huygens-Steiner I = I_CM + M d² dà I rispetto a qualunque asse parallelo a uno per il CM.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →.

Che cos'è un corpo rigido

Un corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui la distanza tra due punti qualsiasi resta costante nel tempo, qualunque forza agisca. È un modello: un'asta d'acciaio, un disco, una porta si deformano pochissimo sotto le forze in gioco negli esercizi, e quella deformazione si trascura.

Nella realtà la materia è fatta di atomi, ma a livello macroscopico conviene pensarla continua: invece di sommare su $N$ punti di massa $m_i$ si divide il corpo in pezzetti infinitesimi di massa $dm$ e si integra. Ogni formula dei sistemi di punti si traduce così:

$$\sum_i m_i \,(\dots) \quad \longrightarrow \quad \int (\dots)\,dm$$

Densità

Per scrivere $dm$ in funzione delle coordinate si usa la densità, che dice quanta massa c'è per unità di volume (o di superficie, o di lunghezza):

Un corpo si dice omogeneo se la densità è la stessa in ogni punto. Allora è semplicemente massa diviso misura: per un'asta omogenea di massa $M$ e lunghezza $\ell$, $\lambda = M/\ell$; per un disco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$, $\sigma = M/(\pi R^2)$. Negli esercizi d'esame "asta omogenea" e "disco omogeneo" vogliono dire esattamente questo.

Centro di massa di un corpo continuo

Per un sistema di punti il centro di massa è $\vec r_{CM} = \frac{\sum_i m_i \vec r_i}{\sum_i m_i}$ (Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa →). Per un corpo continuo di massa $M = \int dm$:

Formula (centro di massa di un corpo continuo). $$\vec r_{CM} = \frac{1}{M}\int \vec r\,dm \qquad\Longleftrightarrow\qquad x_{CM} = \frac1M \int x\,dm, \quad y_{CM} = \frac1M\int y\,dm, \quad z_{CM} = \frac1M\int z\,dm$$

Esempio. Asta di lunghezza $\ell = 3$ m con densità $\lambda = kx$ che cresce linearmente: $x_{CM} = \frac23\ell = 2$ m, spostato verso l'estremo più pesante (per l'asta omogenea sarebbe $1{,}5$ m).

È la media delle posizioni pesata con la massa: i pezzi più pesanti contano di più.

Esempio 1: asta omogenea

Asta di lunghezza $\ell$ e massa $M$ lungo l'asse $x$, da $x = 0$ a $x = \ell$. Il pezzetto tra $x$ e $x + dx$ ha massa $dm = \lambda\,dx = \frac{M}{\ell}dx$:

$$x_{CM} = \frac1M \int_0^\ell x\,\frac{M}{\ell}\,dx = \frac{1}{\ell}\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_0^\ell = \frac{\ell}{2}$$

Il centro di massa è nel punto medio, come ci si aspetta.

Esempio 2: asta non omogenea

Se la densità cresce linearmente lungo l'asta, $\lambda(x) = k x$ (con $k$ costante, unità kg/m²), la massa è $M = \int_0^\ell kx\,dx = \frac{k\ell^2}{2}$ e

$$x_{CM} = \frac1M\int_0^\ell x \cdot kx\,dx = \frac{2}{k\ell^2}\cdot\frac{k\ell^3}{3} = \frac23\,\ell$$

Il centro di massa si sposta verso l'estremo più pesante: a due terzi della lunghezza invece che a metà.

Esempio 3: semidisco omogeneo

Semidisco di raggio $R$ e massa $M$, con il diametro sull'asse $x$ e il centro nell'origine, nella metà $y \ge 0$. Per simmetria $x_{CM} = 0$ (vedi sotto). Per $y_{CM}$ conviene dividerlo in striscioline orizzontali di spessore $dy$ alla quota $y$: la strisciolina è lunga $2\sqrt{R^2 - y^2}$, quindi

$$dm = \sigma\,dS = \frac{M}{\pi R^2/2}\cdot 2\sqrt{R^2 - y^2}\,dy$$

$$y_{CM} = \frac1M\int_0^R y\,dm = \frac{4}{\pi R^2}\int_0^R y\sqrt{R^2 - y^2}\,dy = \frac{4}{\pi R^2}\Big[-\tfrac13 (R^2 - y^2)^{3/2}\Big]_0^R = \frac{4}{\pi R^2}\cdot\frac{R^3}{3} = \frac{4R}{3\pi}$$

Numericamente $\frac{4}{3\pi} \approx 0{,}424$: il centro di massa sta a circa il $42\%$ del raggio sopra il diametro.

Perché striscioline orizzontali: tutti i punti di una strisciolina hanno la stessa $y$, quindi nel prodotto $y\,dm$ la $y$ è la stessa per tutto il pezzetto. Scegliere i pezzetti in modo che la coordinata da mediare sia costante su ciascuno è il trucco di tutti questi calcoli.

Uso delle simmetrie

Se un corpo omogeneo ha un centro di simmetria (disco, anello, sfera, rettangolo), il centro di massa è lì. Se ha un asse o un piano di simmetria, il centro di massa sta su quell'asse o piano.

Perché. Per ogni pezzetto $dm$ a destra dell'asse ce n'è uno uguale nella posizione speculare a sinistra: nella somma $\int x\,dm$ i contributi $+x\,dm$ e $-x\,dm$ si cancellano a coppie, quindi la coordinata perpendicolare all'asse del CM è zero. Nel semidisco dell'esempio 3 è così che si è trovato $x_{CM} = 0$ senza calcoli.

Corpi composti

Se un corpo è fatto di più pezzi di cui si conoscono masse e centri di massa, il centro di massa totale si calcola trattando ogni pezzo come un punto posto nel suo centro di massa, con tutta la sua massa:

Formula (centro di massa di un corpo composto). $$\vec r_{CM} = \frac{M_1 \vec r_{CM,1} + M_2 \vec r_{CM,2} + \dots}{M_1 + M_2 + \dots}$$

Esempio. Pezzo $M_1 = 3$ kg con CM in $x = 0$ e pezzo $M_2 = 1$ kg con CM in $x = 0{,}4$ m: $x_{CM} = \frac{3\cdot0 + 1\cdot0{,}4}{4} = 0{,}1$ m.

È lecito perché l'integrale $\int \vec r\,dm$ su tutto il corpo è la somma degli integrali sui singoli pezzi, e ciascuno vale $M_k \vec r_{CM,k}$.

Esempio (tema d'esame dell'11 giugno 2024). Un disco di massa $M = 2$ kg con centro in $O$ e, incollato sopra, un disco più piccolo di massa $m = 0{,}8$ kg con centro $C$ a distanza $R_2 = 0{,}2$ m da $O$. Con l'origine in $O$ e l'asse $x$ verso $C$:

$$x_{CM} = \frac{M \cdot 0 + m \cdot R_2}{M + m} = \frac{0{,}8 \cdot 0{,}2}{2{,}8} = 0{,}057\ \text{m}$$

Il CM sta sul segmento $OC$, molto più vicino a $O$ perché lì c'è più massa. Esercizio completo: Esercizio 60 · due dischi incollati appesi con un blocchetto.

Corpi con un buco. Un buco si tratta come un pezzo di massa negativa: disco intero meno il disco tolto. Per esempio un disco omogeneo di raggio $R$ da cui si toglie un disco di raggio $R/2$ tangente internamente al bordo: il pezzo tolto ha un quarto dell'area, quindi massa $M/4$ se $M$ è la massa del disco intero, centro a distanza $R/2$ dal centro. Il resto ha massa $\frac34 M$ e

$$x_{CM} = \frac{M\cdot 0 - \frac{M}{4}\cdot\frac{R}{2}}{M - \frac{M}{4}} = -\frac{R/8}{3/4} = -\frac{R}{6}$$

cioè il CM si sposta di $R/6$ dalla parte opposta al buco.

I moti di un corpo rigido

Le equazioni che governano un sistema di punti valgono anche per il corpo rigido, e per un corpo rigido bastano: sono le due equazioni cardinali.

1. Prima equazione cardinale (moto del centro di massa):

Legge (prima equazione cardinale). $$\vec F^{(e)} = M\,\vec a_{CM}$$

dove $\vec F^{(e)}$ è la somma delle sole forze esterne. Le forze interne si cancellano a coppie per il terzo principio (Sistemi di punti - forze interne ed esterneUn sistema è un insieme di punti materiali scelto da noi; le forze si dividono in interne (tra punti del sistema, a coppie opposte per il terzo principio) ed esterne. Le interne si annullano nella somma: il moto d'insieme dipende solo dalle esterne.Sistemi di punti - forze interne ed esterne →).

Esempio. Corpo di $M = 2$ kg con forze esterne di risultante $6$ N: $a_{CM} = \frac{6}{2} = 3\ \text{m/s}^2$, qualunque sia il punto di applicazione.

2. Seconda equazione cardinale (rotazioni):

Legge (seconda equazione cardinale). $$\vec M^{(e)} = \frac{d\vec L}{dt}$$

con momenti e momento angolare calcolati rispetto a un polo fisso oppure rispetto al centro di massa (Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →).

Esempio. Se il momento delle forze esterne rispetto al CM è $M^{(e)} = 4\ \text{N m}$ per $3$ s su un corpo inizialmente non rotante, $L$ cresce di $4\cdot3 = 12\ \text{kg m}^2/\text{s}$.

Perché bastano. Un punto libero nello spazio ha 3 coordinate (3 gradi di libertà). Un corpo rigido ne ha 6: 3 per dire dove sta il centro di massa e 3 angoli per dire come è orientato. Le due equazioni cardinali sono vettoriali, cioè $3 + 3 = 6$ equazioni scalari: tante quante le incognite.

Classificazione dei moti:

• traslazione: tutti i punti hanno in ogni istante la stessa velocità (il corpo non cambia orientazione); basta la prima equazione cardinale, e il corpo si comporta come un punto materiale di massa $M$ posto nel CM;
• rotazione attorno a un asse fisso: i punti dell'asse sono fermi e tutti gli altri descrivono circonferenze attorno all'asse, con la stessa velocità angolare $\omega$ (Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →);
• rototraslazione: il moto più generale; si può sempre pensare come la traslazione del CM più una rotazione attorno a un asse passante per il CM. Un caso importante è il Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento →.

Velocità dei punti di un corpo rigido. Se il corpo ruota con velocità angolare $\vec\omega$ e un suo punto $A$ ha velocità $\vec v_A$, la velocità di un qualsiasi altro punto $P$ è

Formula (velocità dei punti di un corpo rigido). $$\vec v_P = \vec v_A + \vec\omega \times (\vec r_P - \vec r_A)$$

Esempio. Ruota di raggio $0{,}5$ m che rotola verso destra con $\vec v_C = (1, 0)$ m/s e $\vec\omega = -2\,\hat k$ rad/s: per il punto di contatto $\vec\omega\times\vec r = (-1, 0)$ m/s, quindi $\vec v_P = (1, 0) + (-1, 0) = \vec 0$.

(il prodotto vettoriale è in Prodotto scalare e prodotto vettorialeIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale →). $\vec\omega$ è la stessa per tutti i punti: è una proprietà del corpo, non del punto. Questa formula è la base del moto di rotolamento.

Forza peso e baricentro

La forza peso agisce su ogni pezzetto, $d\vec F = dm\,\vec g$. Sommando:

$$\vec F_{peso} = \int \vec g\,dm = M\vec g, \qquad \vec M_{peso,O} = \int \vec r \times \vec g\,dm = \Big(\int \vec r\,dm\Big)\times\vec g = M\,\vec r_{CM}\times\vec g = \vec r_{CM}\times M\vec g$$

Proprietà (il peso di un corpo rigido agisce nel centro di massa). Quindi, per forza e momento, il peso di un corpo rigido equivale a una sola forza $M\vec g$ applicata nel centro di massa (il baricentro coincide con il CM se $\vec g$ è uniforme). È il motivo per cui negli esercizi si disegna il peso di un'asta nel suo punto medio.

Esempio. Asta omogenea di $2$ kg e lunghezza $1$ m, orizzontale e incernierata a un estremo: il peso $19{,}62$ N va applicato a $0{,}5$ m dal perno e dà momento $M = 9{,}81\ \text{N m}$.

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare che $dm$ dipende dalla geometria: in un disco, una corona circolare di raggio $r$ e spessore $dr$ ha area $2\pi r\,dr$, non $dr$.
• Applicare la simmetria a un corpo non omogeneo: la simmetria della forma non basta, serve anche che la densità sia simmetrica.
• Mettere nella prima equazione cardinale le forze interne (per esempio la forza con cui due pezzi incollati si tengono): si cancellano sempre.
• Usare per un corpo con un buco la somma delle masse invece della differenza.