Campo elettrostatico di cariche puntiformi e distribuzioni - Fisica 1

Dopo Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1La carica elettrica è positiva o negativa, si conserva ed è multipla di e = 1,602·10^-19 C. Due cariche puntiformi si respingono se hanno lo stesso segno e si attraggono se hanno segno opposto con una forza F = k q1 q2 / r², diretta lungo la congiungente. Nei conduttori le cariche si muovono liberamente, negli isolanti restano dove sono; con più cariche le forze si sommano (sovrapposizione).Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1 →. Seguito: Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa vale Q_interna / ε0. Quando la distribuzione ha simmetria (sferica, cilindrica, piana) si sceglie la superficie in modo che E sia costante e perpendicolare e il campo si ricava subito: filo infinito E = λ / (2π ε0 r), piano infinito E = σ / (2 ε0) uniforme, due piani con carica opposta E = σ / ε0 nello spazio tra i piani.Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1 → e Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →. Esercizi: Esercizio 105 · campo di tre cariche ai vertici di un quadrato, Esercizio 106 · campo di un anello carico sul suo asse, Esercizio 107 · elettrone che attraversa un condensatore piano.

Il concetto di campo

Con la legge di Coulomb la forza su una carica $q$ dipende da tutte le altre. Conviene separare le due cose: le cariche sorgenti "modificano" lo spazio, e la carica di prova subisce poi la forza locale. Si definisce il campo elettrico in un punto come la forza per unità di carica su una piccola carica di prova $q_0$ positiva ferma in quel punto:

Definizione (campo elettrico). $$\vec E = \frac{\vec F}{q_0}$$ Unità: N/C, equivalente a V/m (si vedrà in Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →).

Se si conosce $\vec E$, la forza su una carica qualunque $q$ posta nel punto è $\vec F = q\vec E$: parallela al campo se $q>0$, opposta al campo se $q<0$. La carica di prova deve essere piccola per non spostare le sorgenti.

Campo di una carica puntiforme

Dalla legge di Coulomb, con $F = k\,q\,q_0/r^2$ per $q_0$ a distanza $r$ dalla sorgente $q$:

Formula (campo di una carica puntiforme). $$\vec E = k\,\frac{q}{r^2}\,\hat r$$ con $\hat r$ versore dalla sorgente al punto: il campo esce da una carica positiva e entra in una negativa.

Esempio. Una carica $q = 5{,}0$ nC genera a $r = 0{,}30$ m il campo $E = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{5{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}09} = 499\ \text{N/C}$, radiale e uscente.

Sovrapposizione. Il campo di più cariche è la somma vettoriale dei campi di ciascuna:

$$\vec E = \sum_i k\,\frac{q_i}{r_i^2}\,\hat r_i$$

Il metodo è sempre lo stesso: (1) per ogni carica si disegna il vettore campo nel punto (uscente se la carica è positiva); (2) si calcola il modulo $kq/r^2$; (3) si scompone sugli assi e si sommano le componenti; (4) si ricava modulo e direzione.

Esempio (due cariche opposte). In $x = -0{,}10$ m c'è $q_1 = +2{,}0$ nC e in $x = +0{,}10$ m c'è $q_2 = -2{,}0$ nC. Nell'origine ciascuna dista $0{,}10$ m e produce un campo di modulo $8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{2{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}01} = 1797\ \text{N/C}$. Il campo di $q_1$ (uscente) punta verso $+x$; il campo di $q_2$ (entrante) punta anch'esso verso $+x$. Si sommano: $E = 3595\ \text{N/C}$ verso $+x$. Con cariche uguali i due campi nell'origine sarebbero opposti e il risultato nullo.

Linee di campo. Sono le curve tangenti in ogni punto a $\vec E$: escono dalle cariche positive, entrano nelle negative, non si incrociano mai (in ogni punto il campo ha una sola direzione) e sono più fitte dove il campo è più intenso.

Distribuzioni continue di carica

Un corpo carico contiene un numero enorme di cariche elementari: lo si descrive con una densità (carica per unità di lunghezza, di superficie, di volume).

Il campo si trova sommando (integrando) i campi di tutti i pezzetti $dq$ visti come cariche puntiformi:

$$\vec E = \int k\,\frac{dq}{r^2}\,\hat r$$

Dove c'è simmetria, molte componenti si cancellano a coppie e l'integrale si riduce a una sola componente.

Anello sull'asse

Un anello di raggio $R$ con carica totale $Q$ distribuita uniformemente. Un punto dell'asse a distanza $z$ dal centro dista $\sqrt{z^2+R^2}$ da ogni pezzetto $dq$. Il pezzetto produce un campo $dE = k\,dq/(z^2+R^2)$ inclinato rispetto all'asse; per ogni $dq$ ce n'è uno diametralmente opposto, e le componenti perpendicolari all'asse si cancellano. Restano le componenti lungo l'asse, ciascuna moltiplicata per $\cos\alpha = z/\sqrt{z^2+R^2}$:

Formula (campo di un anello sull'asse). $$E_z = \frac{k\,Q\,z}{\left(z^2 + R^2\right)^{3/2}}$$

Limiti utili:

• $z = 0$ (al centro): $E = 0$ per simmetria;
• $z\gg R$: $E\approx kQ/z^2$, come una carica puntiforme $Q$ (da lontano l'anello "sembra" un punto);
• il massimo si ha derivando rispetto a $z$: $z_{\max} = R/\sqrt2$, con $E_{\max} = \dfrac{2kQ}{3\sqrt3\,R^2}$.

Cenni ad altre distribuzioni

Con lo stesso metodo (sommare anelli di raggio crescente) si ottiene il campo di un disco carico con densità $\sigma$ sull'asse: $$E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)$$ che, per $R\to\infty$ (piano infinito), tende a $\sigma/(2\varepsilon_0)$ costante: lo stesso risultato che si ricava in modo molto più rapido con la legge di Gauss (Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa vale Q_interna / ε0. Quando la distribuzione ha simmetria (sferica, cilindrica, piana) si sceglie la superficie in modo che E sia costante e perpendicolare e il campo si ricava subito: filo infinito E = λ / (2π ε0 r), piano infinito E = σ / (2 ε0) uniforme, due piani con carica opposta E = σ / ε0 nello spazio tra i piani.Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1 →). Per un filo rettilineo infinito carico $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$, anch'esso con Gauss.

Moto di una carica in un campo uniforme

In una regione di campo uniforme $\vec E$ una particella di carica $q$ e massa $m$ ha forza costante $q\vec E$, quindi accelerazione costante (seconda legge, Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →)

$$\vec a = \frac{q\vec E}{m}$$

Si applicano le formule del moto uniformemente accelerato (Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →) e, se la velocità iniziale non è parallela al campo, quelle del moto parabolico (Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico →), con $q E/m$ al posto di $g$.

Esempio. Un elettrone in $E = 1000$ N/C ha $a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 10^{3}}{9{,}109\cdot 10^{-31}} = 1{,}76\cdot 10^{14}\ \text{m/s}^2$, cioè $1{,}8\cdot 10^{13}\,g$. Il peso dell'elettrone è del tutto trascurabile; per particelle di questo tipo si trascura sempre la gravità.

Riassunto

Errori comuni

• Sommare i moduli dei campi invece dei vettori.
• Dimenticare il segno di $q$ nel verso: il campo di una carica negativa punta verso la carica.
• Confondere campo e forza: la forza ha la carica di prova in più; sulla carica negativa la forza è opposta al campo.
• Nell'anello, usare la distanza $z$ al posto di $\sqrt{z^2+R^2}$ nel denominatore, o dimenticare il fattore $z/\sqrt{z^2+R^2}$ della componente assiale.
• Calcolare il campo di una carica nel punto in cui la carica stessa si trova (divergente): il campo di una carica agisce sulle altre, non su se stessa.

Domande d'esame

1. Definire il campo elettrico e dire che cosa si può dire sulla forza su una carica negativa. Risposta: $\vec E = \vec F/q_0$; sulla carica $q<0$ la forza $q\vec E$ è opposta al campo.
2. Perché sull'asse di un anello carico le componenti trasversali del campo si annullano? Risposta: a ogni elemento $dq$ ne corrisponde uno diametralmente opposto con componente trasversale uguale e contraria; resta la componente assiale.
3. Quanto vale il campo nel centro di un anello carico? E molto lontano? Risposta: $0$ per simmetria; $kQ/z^2$, come una carica puntiforme.