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Note per Studenti Esercizio 103 · elettrone attorno a un protone

Esercizio 103elettrone attorno a un protone

In questa pagina 7

Testo. Nel modello semplice dell'atomo di idrogeno un elettrone (me=9,109⋅10−31 kgm_e = 9{,}109\cdot 10^{-31}\ \text{kg}, carica −e-e) percorre un'orbita circolare di raggio r=5,29⋅10−11 mr = 5{,}29\cdot 10^{-11}\ \text{m} attorno a un protone fermo (carica +e+e, massa mp=1,673⋅10−27 kgm_p = 1{,}673\cdot 10^{-27}\ \text{kg}). Determinare:

a) la forza elettrica sull'elettrone e la sua accelerazione;

b) la velocità e il periodo dell'elettrone;

c) il rapporto tra forza elettrica e forza gravitazionale tra le due particelle;

d) l'energia cinetica dell'elettrone in elettronvolt (1 eV =1,602⋅10−19= 1{,}602\cdot 10^{-19} J).

Teoria: Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1La carica elettrica è positiva o negativa, si conserva ed è multipla di e = 1,602·10^-19 C. Due cariche puntiformi si respingono se hanno lo stesso segno e si attraggono se hanno segno opposto con una forza F = k q1 q2 / r², diretta lungo la congiungente. Nei conduttori le cariche si muovono liberamente, negli isolanti restano dove sono; con più cariche le forze si sommano (sovrapposizione).Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1 →; moto circolare: Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →, Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →; gravitazione: Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →.

Impostazione

L'unica forza rilevante sull'elettrone è l'attrazione coulombiana del protone, diretta verso il protone, cioè verso il centro dell'orbita: è lei che fa da forza centripeta. Come per un satellite, l'orbita circolare uniforme richiede

Fe=me v2rF_e = m_e\,\frac{v^2}{r}

Il protone è circa 18361836 volte più pesante dell'elettrone: lo si considera fermo.

a) Forza e accelerazione

Fe=ke2r2=8,988⋅109⋅(1,602⋅10−19)2(5,29⋅10−11)2=8,24⋅10−8 NF_e = k\frac{e^2}{r^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{(1{,}602\cdot 10^{-19})^2}{(5{,}29\cdot 10^{-11})^2} = 8{,}24\cdot 10^{-8}\ \text{N}

L'accelerazione (centripeta) è a=Feme=8,24⋅10−89,109⋅10−31=9,05⋅1022 m/s2a = \frac{F_e}{m_e} = \frac{8{,}24\cdot 10^{-8}}{9{,}109\cdot 10^{-31}} = 9{,}05\cdot 10^{22}\ \text{m/s}^2

un valore enorme (∼1022 g\sim 10^{22}\,g), reso possibile dalla massa minuscola.

b) Velocità e periodo

Dalla seconda legge lungo la normale, Fe=mev2/rF_e = m_e v^2/r:

v=Fe rme=a r=9,05⋅1022⋅5,29⋅10−11=2,19⋅106 m/sv = \sqrt{\frac{F_e\,r}{m_e}} = \sqrt{a\,r} = \sqrt{9{,}05\cdot 10^{22}\cdot 5{,}29\cdot 10^{-11}} = 2{,}19\cdot 10^{6}\ \text{m/s}

pari a circa lo 0,73%0{,}73\% della velocità della luce: l'ipotesi non relativistica è accettabile. Il periodo è il tempo di una circonferenza:

T=2πrv=2π⋅5,29⋅10−112,19⋅106=1,52⋅10−16 sT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 5{,}29\cdot 10^{-11}}{2{,}19\cdot 10^{6}} = 1{,}52\cdot 10^{-16}\ \text{s}

cioè una frequenza f=1/T=6,6⋅1015f = 1/T = 6{,}6\cdot 10^{15} giri al secondo.

c) Elettrica contro gravitazionale

Fg=Gmempr2=6,674⋅10−11⋅9,109⋅10−31⋅1,673⋅10−27(5,29⋅10−11)2=3,63⋅10−47 NF_g = G\frac{m_e m_p}{r^2} = 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot\frac{9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}673\cdot 10^{-27}}{(5{,}29\cdot 10^{-11})^2} = 3{,}63\cdot 10^{-47}\ \text{N}

FeFg=8,24⋅10−83,63⋅10−47=2,27⋅1039\frac{F_e}{F_g} = \frac{8{,}24\cdot 10^{-8}}{3{,}63\cdot 10^{-47}} = 2{,}27\cdot 10^{39}

Il rapporto non dipende da rr (entrambe le forze vanno come 1/r21/r^2). A scala atomica la gravità si può dimenticare completamente.

d) Energia cinetica

Dalla relazione Fe=mev2/rF_e = m_e v^2/r si ha mev2=Ferm_e v^2 = F_e r, quindi

K=12mev2=12Fe r=12⋅8,24⋅10−8⋅5,29⋅10−11=2,18⋅10−18 JK = \tfrac12 m_e v^2 = \tfrac12 F_e\,r = \tfrac12\cdot 8{,}24\cdot 10^{-8}\cdot 5{,}29\cdot 10^{-11} = 2{,}18\cdot 10^{-18}\ \text{J}

In elettronvolt: K=2,18⋅10−181,602⋅10−19=13,6 eVK = \dfrac{2{,}18\cdot 10^{-18}}{1{,}602\cdot 10^{-19}} = 13{,}6\ \text{eV}: è l'energia di ionizzazione dell'idrogeno. (L'energia potenziale di questa orbita è −2K=−27,2-2K = -27{,}2 eV e l'energia totale −K=−13,6-K = -13{,}6 eV, come per un satellite: Energia potenziale gravitazionale e orbiteLa gravità è conservativa con energia potenziale U = −GMm/r (zero all'infinito), che vicino al suolo si riduce a mgh. Energia delle orbite (E = −GMm/2r per il cerchio), velocità di fuga √(2GM/R), orbite ellittiche con conservazione di energia e momento angolare tra apogeo e perigeo; campo e potenziale gravitazionale.Energia potenziale gravitazionale e orbite →.)

Risultati

grandezza valore
a) forza 8,24⋅10−8 N8{,}24\cdot 10^{-8}\ \text{N}
a) accelerazione 9,05⋅1022 m/s29{,}05\cdot 10^{22}\ \text{m/s}^2
b) velocità 2,19⋅106 m/s2{,}19\cdot 10^{6}\ \text{m/s}
b) periodo 1,52⋅10−16 s1{,}52\cdot 10^{-16}\ \text{s}
c) Fe/FgF_e/F_g 2,27⋅10392{,}27\cdot 10^{39}
d) energia cinetica 13,6 eV13{,}6\ \text{eV}

Errori comuni

  • Aggiungere una "forza centripeta" oltre alla coulombiana: la forza centripeta è la coulombiana stessa.
  • Usare T=2πr/vT = 2\pi r/v con rr in nanometri o ångström senza convertire in metri.
  • Dimenticare di elevare rr al quadrato nel denominatore delle due forze.

Versione ripasso

Testo. Elettrone (−e-e) in orbita circolare di raggio r=5,29⋅10−11r = 5{,}29\cdot 10^{-11} m attorno a un protone fermo: forza e accelerazione, velocità e periodo, rapporto tra forza elettrica e gravitazionale, energia cinetica in eV.

Soluzione

La coulombiana è la forza centripeta (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →): ke2/r2=mev2/rk e^2/r^2 = m_e v^2/r.

Errori tipici: aggiungere una forza centripeta in più; non convertire rr in metri.

Teoria collegata