Cinematica in coordinate polari, cilindriche e sferiche

Estende Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione → e Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare → (dove si usano le coordinate cartesiane o l'angolo $\theta$ di una circonferenza). Usa Derivata e integrale di un vettoreUn vettore che dipende dal tempo si deriva e si integra componente per componente. La derivata di un versore è perpendicolare al versore e vale dφ/dt per il versore normale: per questo la derivata di un vettore ha una parte parallela (cambia il modulo) e una perpendicolare (cambia la direzione).Derivata e integrale di un vettore → e Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →. Esercizi: Esercizio 124 · spirale in coordinate polari, Esercizio 125 · moto a elica in coordinate cilindriche, Esercizio 126 · pendolo conico in coordinate sferiche. Applicazioni: Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →, Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →.

Perché cambiare coordinate

Le coordinate cartesiane $(x, y, z)$ usano versori fissi, ma se il moto è una rotazione attorno a un asse o a un centro (un'orbita, un volano, un pendolo conico) le equazioni diventano semplici solo con coordinate che seguono la rotazione. Si descrive il punto con una distanza e uno o due angoli. La difficoltà è che i versori di queste coordinate cambiano direzione da punto a punto: derivando la posizione bisogna derivare anche i versori, ed è da qui che nascono i termini di accelerazione centripeta e di Coriolis.

Coordinate polari nel piano

Si usano la distanza $r$ dall'origine e l'angolo $\varphi$ dall'asse $x$ (lo stesso $\theta$ di Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →): $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$. I versori in ogni punto sono

• $\hat r = (\cos\varphi,\ \sin\varphi)$: radiale, dall'origine verso il punto;
• $\hat\varphi = (-\sin\varphi,\ \cos\varphi)$: trasversale, perpendicolare a $\hat r$, nel verso degli angoli crescenti.

Derivandoli rispetto all'angolo (e usando la regola della catena):

$$\frac{d\hat r}{dt} = \dot\varphi\,\hat\varphi \qquad \frac{d\hat\varphi}{dt} = -\dot\varphi\,\hat r$$

Cioè: se il punto ruota, il versore radiale ruota nel verso del versore trasversale, e il trasversale ruota "all'indietro". Il vettore posizione è $\vec r = r\,\hat r$, e derivando con la regola del prodotto:

Velocità in coordinate polari. $$\vec v = \dot r\,\hat r + r\dot\varphi\,\hat\varphi$$ $v_r = \dot r$ (velocità radiale), $v_\varphi = r\dot\varphi = r\omega$ (velocità trasversale).

Derivando ancora (due termini per ogni derivata del prodotto, più la derivata dei versori):

Accelerazione in coordinate polari. $$\vec a = \left(\ddot r - r\dot\varphi^2\right)\hat r + \left(r\ddot\varphi + 2\dot r\dot\varphi\right)\hat\varphi$$

I termini:

• $\ddot r$: accelerazione radiale "vera";
• $-r\dot\varphi^2$: accelerazione centripeta (negativa: verso l'origine);
• $r\ddot\varphi$: accelerazione trasversale dovuta alla variazione di $\omega$;
• $2\dot r\dot\varphi$: termine che compare se il raggio cambia mentre il punto ruota (accelerazione di Coriolis, Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamentoLo stesso moto visto da due riferimenti, uno fisso e uno mobile: la velocità assoluta è velocità relativa più velocità di trascinamento; l'accelerazione assoluta è relativa più trascinamento più Coriolis (2ω×v'). Se il riferimento mobile trasla a velocità costante si hanno le trasformazioni di Galileo e le accelerazioni coincidono.Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento →).

Caso del moto circolare ($r = R$ costante, $\dot r = \ddot r = 0$): $\vec v = R\omega\,\hat\varphi$ e $\vec a = -R\omega^2\,\hat r + R\alpha\,\hat\varphi$, con $\alpha = \ddot\varphi$: si ritrovano l'accelerazione centripeta e quella tangenziale (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →).

Esempio. Spirale $r = bt$, $\varphi = \omega t$ con $b = 0{,}20$ m/s e $\omega = 2{,}0$ rad/s, a $t = 1{,}5$ s: $r = 0{,}30$ m, $\dot r = 0{,}20$ m/s, $\ddot r = 0$, $\dot\varphi = 2{,}0$, $\ddot\varphi = 0$. Allora $v_r = 0{,}20$, $v_\varphi = 0{,}30\cdot 2{,}0 = 0{,}60$ m/s, $a_r = 0 - 0{,}30\cdot 4{,}0 = -1{,}2$ m/s$^2$ e $a_\varphi = 0 + 2\cdot 0{,}20\cdot 2{,}0 = 0{,}80$ m/s$^2$ (Esercizio 124 · spirale in coordinate polari).

Coordinate cilindriche

Si aggiunge la quota $z$ (asse $z$, $\vec k$ fisso) alle coordinate polari del piano $(x,y)$, scritte ora $(\rho, \varphi)$ per ricordare che $\rho$ è la distanza dall'asse $z$ (non dall'origine):

$$x = \rho\cos\varphi \qquad y = \rho\sin\varphi \qquad z = z$$

I versori sono $\hat\rho$, $\hat\varphi$ (come sopra) e $\hat k$ (costante). Il vettore posizione è $\vec r = \rho\,\hat\rho + z\,\hat k$, e poiché $\hat k$ è costante:

$$\vec v = \dot\rho\,\hat\rho + \rho\dot\varphi\,\hat\varphi + \dot z\,\hat k$$

$$\vec a = \left(\ddot\rho - \rho\dot\varphi^2\right)\hat\rho + \left(\rho\ddot\varphi + 2\dot\rho\dot\varphi\right)\hat\varphi + \ddot z\,\hat k$$

Esempio (elica). $\rho = R$, $\varphi = \omega t$, $z = ct$: $\vec v = R\omega\,\hat\varphi + c\,\hat k$ con modulo costante $\sqrt{(R\omega)^2 + c^2}$ e $\vec a = -R\omega^2\,\hat\rho$ (puramente centripeta, orizzontale). Il passo dell'elica (quota guadagnata in un giro) è $2\pi c/\omega$ (Esercizio 125 · moto a elica in coordinate cilindriche).

Coordinate sferiche

Si descrive un punto con la distanza $r$ dall'origine, l'angolo polare $\theta$ dall'asse $z$ (da $0$ a $\pi$) e l'angolo azimutale $\varphi$ della proiezione sul piano $xy$ (come in polari):

$$x = r\sin\theta\cos\varphi \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi \qquad z = r\cos\theta$$

I tre versori $\hat r$ (radiale uscente), $\hat\theta$ (nel verso in cui cresce $\theta$, cioè "verso il polo sud") e $\hat\varphi$ (come in polari) sono mutuamente ortogonali. Lo spostamento infinitesimo ha tre pezzi indipendenti: $dr$ lungo $\hat r$, $r\,d\theta$ lungo $\hat\theta$ (arco di meridiano) e $r\sin\theta\,d\varphi$ lungo $\hat\varphi$ (arco di parallelo, di raggio $r\sin\theta$). Dividendo per $dt$:

Velocità in coordinate sferiche. $$\vec v = \dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat\varphi$$

L'accelerazione, ottenuta derivando di nuovo (con le derivate dei tre versori), ha componenti

$$a_r = \ddot r - r\dot\theta^2 - r\sin^2\theta\,\dot\varphi^2$$

$$a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2$$

$$a_\varphi = r\sin\theta\,\ddot\varphi + 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + 2r\cos\theta\,\dot\theta\dot\varphi$$

Non vanno ricordate a memoria: si ricavano (e nei problemi si danno) nei casi semplici. Il caso utile è il moto su una sfera con $\theta$ costante ($r = R$, $\dot\theta = 0$, $\varphi = \omega t$): un punto che gira su un parallelo, come il pendolo conico (Esercizio 126 · pendolo conico in coordinate sferiche):

$$\vec v = R\sin\theta\,\omega\,\hat\varphi \qquad a_r = -R\omega^2\sin^2\theta \qquad a_\theta = -R\omega^2\sin\theta\cos\theta \qquad a_\varphi = 0$$

Le componenti $a_r$ e $a_\theta$ combinate danno un'accelerazione di modulo $R\omega^2\sin\theta$ orizzontale e diretta verso l'asse $z$: è la centripeta di una circonferenza di raggio $R\sin\theta$ ✓.

Riassunto

Errori comuni

• Derivare i versori come se fossero costanti: $\hat r$ e $\hat\varphi$ cambiano con il punto; è da lì che vengono i termini centripeto e di Coriolis.
• Scrivere $a_r = \ddot r$ dimenticando $-r\dot\varphi^2$ (anche a $r$ costante l'accelerazione radiale non è nulla).
• Dimenticare il $2\dot r\dot\varphi$ nella componente trasversale quando il raggio cambia.
• Confondere $\theta$ e $\varphi$ nelle sferiche (in alcuni testi i nomi sono scambiati; qui $\theta$ è l'angolo dall'asse $z$).
• Usare $r\dot\varphi$ come velocità nelle sferiche invece di $r\sin\theta\,\dot\varphi$.

Domande d'esame

1. Ricavare velocità e accelerazione in coordinate polari. Risposta: da $\vec r = r\hat r$, con $\dot{\hat r} = \dot\varphi\,\hat\varphi$ e $\dot{\hat\varphi} = -\dot\varphi\,\hat r$: $\vec v = \dot r\,\hat r + r\dot\varphi\,\hat\varphi$ e $\vec a = (\ddot r - r\dot\varphi^2)\hat r + (r\ddot\varphi + 2\dot r\dot\varphi)\hat\varphi$.
2. Che cosa diventano nel moto circolare uniforme? Risposta: $\vec v = R\omega\,\hat\varphi$ e $\vec a = -R\omega^2\,\hat r$.
3. Un punto si muove su un'elica $\rho = R$, $\varphi = \omega t$, $z = ct$. Quanto vale l'accelerazione? Risposta: $\vec a = -R\omega^2\,\hat\rho$, di modulo $R\omega^2$, verso l'asse.