Energia potenziale gravitazionale e orbite

Prima: Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →, Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →, Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →. Esercizi: Esercizio 51 · gravità e orbite intorno alla Luna, Esercizio 52 · gravità e orbite intorno a Marte, Esercizio 53 · satellite su orbita circolare ed ellittica, Esercizio 55 · Apollo 8, massa e raggio della Luna.

L'energia potenziale gravitazionale

La forza gravitazionale è centrale e dipende solo dalla distanza $r$: forze di questo tipo sono conservative (Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →). Si può quindi definire un'energia potenziale $U(r)$ tale che il lavoro della gravità tra due posizioni sia $W = U(r_A) - U(r_B)$.

Calcolo. Un corpo di massa $m$ si sposta da distanza $r_A$ a distanza $r_B$ dal centro di un pianeta di massa $M$. Solo lo spostamento radiale $dr$ conta (lo spostamento perpendicolare al raggio è perpendicolare alla forza e non fa lavoro), e la forza radiale è $-\frac{GMm}{r^2}$ (meno perché punta verso il centro, cioè verso $r$ decrescente):

$$W_{A \to B} = \int_{r_A}^{r_B} \left(-\frac{GMm}{r^2}\right) dr = \left[\frac{GMm}{r}\right]_{r_A}^{r_B} = \frac{GMm}{r_B} - \frac{GMm}{r_A}$$

Confrontando con $W = U(r_A) - U(r_B)$:

Formula (energia potenziale gravitazionale). $$\boxed{U(r) = -\frac{GMm}{r}}$$

avendo scelto la costante additiva in modo che $U = 0$ a distanza infinita (dove la forza è nulla). Con questa scelta l'energia potenziale gravitazionale è sempre negativa, e aumenta (verso zero) allontanandosi dal pianeta.

Esempio. Un corpo di $1$ kg sulla superficie terrestre: $U = -\frac{GMm}{R} = -6{,}25\cdot10^{7}$ J (zero all'infinito).

Perché negativa. Lo zero è all'infinito, e per portare un corpo dalla distanza $r$ all'infinito bisogna fornire energia (contro l'attrazione). Quindi a distanza finita il corpo ha meno energia che all'infinito: $U < 0$. Il segno è una convenzione; quello che conta fisicamente sono le differenze di $U$.

Il legame con $mgh$

Vicino alla superficie si usa $U = mgh$. Le due espressioni sono coerenti: tra la superficie ($r = R$) e la quota $h$ ($r = R + h$),

$$\Delta U = GMm\left(\frac1R - \frac{1}{R + h}\right) = \frac{GMm\,h}{R(R + h)} \approx \frac{GMm}{R^2}\,h = mgh \qquad \text{se } h \ll R$$

usando $g = \frac{GM}{R^2}$. Per quote piccole rispetto al raggio $mgh$ è un'ottima approssimazione; a quote grandi la sovrastima. Esempio: portare $1000$ kg a $400$ km di quota richiede $\Delta U = 3{,}69 \times 10^9$ J con la formula esatta, mentre $mgh = 3{,}92 \times 10^9$ J (errore del $6\%$).

Energia meccanica e velocità di fuga

L'energia meccanica di un corpo nel campo di un pianeta è

Formula (energia meccanica nel campo gravitazionale). $$E = \tfrac12 m v^2 - \frac{GMm}{r}$$

e si conserva (se agisce solo la gravità).

Esempio. Satellite di $100$ kg lanciato dalla superficie con $v = 10$ km/s: $E = 5\cdot10^9 - 6{,}25\cdot10^{9} = -1{,}25\cdot10^{9}$ J, negativa, quindi resta legato alla Terra.

Velocità di fuga. È la minima velocità con cui un corpo, lanciato dalla superficie, si allontana indefinitamente senza ricadere. "Arrivare all'infinito" con il minimo di energia significa arrivarci con velocità nulla, cioè con $E = 0 + 0 = 0$. Conservando l'energia tra la superficie e l'infinito:

Formula (velocità di fuga). $$\tfrac12 m v_f^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v_f = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2 g R}}$$

Esempio. Terra: $v_f = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot6{,}371\cdot10^6} = 11{,}2$ km/s.

Non dipende dalla massa del corpo né dalla direzione del lancio (purché non punti contro il pianeta). Per la Terra $v_f = 11{,}2$ km/s, per la Luna $2{,}37$ km/s: è molto più facile ripartire dalla Luna, ed è per questo che la Luna non ha atmosfera (le molecole di gas raggiungono facilmente la sua velocità di fuga).

Al contrario, dalla velocità di fuga si ricava il raggio, noto $GM$: $R = \frac{2GM}{v_f^2}$ (Esercizio 55 · Apollo 8, massa e raggio della Luna).

Classificazione delle traiettorie di un corpo con energia $E$:

Energia delle orbite circolari

Sull'orbita circolare di raggio $r$ si è visto che $v^2 = \frac{GM}{r}$ (Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →). Quindi

Formula (energia di un'orbita circolare). $$K = \tfrac12 m v^2 = \frac{GMm}{2r} \qquad U = -\frac{GMm}{r} \qquad \boxed{E = K + U = -\frac{GMm}{2r}}$$

Esempio. Satellite di $1000$ kg a $r = 6{,}77\cdot10^6$ m: $E = -\frac{GMm}{2r} = -2{,}94\cdot10^{10}$ J, pari a $-K$.

Relazioni notevoli: $K = -E$ e $U = 2E$. L'energia è negativa (orbita legata) e cresce (verso zero) con il raggio: per passare a un'orbita più alta bisogna fornire energia, anche se poi il satellite va più piano (l'energia cinetica cala, ma la potenziale cresce del doppio).

Per un'orbita ellittica vale la stessa formula con il semiasse maggiore $a$ al posto di $r$: $E = -\frac{GMm}{2a}$.

Orbite ellittiche: apogeo e perigeo

Nell'orbita ellittica la distanza dal centro varia tra un minimo $r_P$ (perigeo) e un massimo $r_A$ (apogeo). In questi due punti, e solo lì, la velocità è perpendicolare al raggio. Due leggi di conservazione legano i due punti:

1. momento angolare (la gravità è centrale): $L = m v r$ nei punti in cui $\vec v \perp \vec r$, quindi

Formula (apogeo e perigeo: conservazione del momento angolare). $$m v_A r_A = m v_P r_P \quad \Longrightarrow \quad v_P = v_A\,\frac{r_A}{r_P}$$

Esempio. Se $r_A = 2r_P$ e $v_A = 2$ km/s allora $v_P = 2\cdot2 = 4$ km/s: al perigeo il satellite è più veloce. 2. energia meccanica: $$\tfrac12 m v_A^2 - \frac{GMm}{r_A} = \tfrac12 m v_P^2 - \frac{GMm}{r_P}$$

Sostituendo la prima nella seconda e semplificando (si divide per $r_P - r_A \ne 0$) si ottiene

$$v_A^2 = \frac{2GM\,r_P}{r_A\,(r_A + r_P)} \qquad \text{e quindi} \qquad r_P = \frac{r_A}{\dfrac{2GM}{r_A v_A^2} - 1}$$

Le stesse formule valgono scambiando $A$ e $P$. Non serve ricordarle: negli esercizi si scrivono le due conservazioni e si risolve. Esempi: Esercizio 51 · gravità e orbite intorno alla Luna (da apogeo e velocità si trova il perigeo) e Esercizio 53 · satellite su orbita circolare ed ellittica (dalle due distanze si trova la velocità di lancio).

Controllo di coerenza. Se all'apogeo il satellite avesse esattamente la velocità circolare $v_A^2 = \frac{GM}{r_A}$, la formula darebbe $r_P = \frac{r_A}{2 - 1} = r_A$: orbita circolare ✓. Con velocità minore $r_P < r_A$ (il satellite "cade" verso il pianeta); con velocità maggiore il punto di partenza diventa invece il perigeo.

Potenziale efficace

Per capire tutto il moto radiale si usa un trucco: per una forza centrale $L$ è costante, e l'energia cinetica si divide in parte radiale e parte tangenziale, $\frac12 m v^2 = \frac12 m \dot r^2 + \frac{L^2}{2 m r^2}$. Quindi

$$E = \tfrac12 m \dot r^2 + \underbrace{\frac{L^2}{2 m r^2} - \frac{GMm}{r}}_{U_{eff}(r)}$$

Il moto radiale è come quello di un punto su una retta con energia potenziale $U_{eff}$. Il termine $\frac{L^2}{2mr^2}$ (barriera centrifuga) impedisce al corpo di cadere sul centro. Il corpo può stare solo dove $E \ge U_{eff}$: se $E$ è uguale al minimo di $U_{eff}$ il raggio è fisso (orbita circolare); se $E$ è un po' più alta, $r$ oscilla tra due valori, perigeo e apogeo (ellisse); se $E \ge 0$ il corpo arriva all'infinito.

Campo e potenziale gravitazionale

Si può descrivere la gravità prodotta da una massa $M$ senza riferirsi al corpo che la subisce, dividendo per la sua massa $m$:

• campo gravitazionale: $\vec G(\vec r) = \frac{\vec F}{m} = -\frac{GM}{r^2}\,\hat r$, misurato in N/kg $=$ m/s². È l'accelerazione che subirebbe qualunque corpo in quel punto: sulla superficie della Terra il suo modulo è $g$;
• potenziale gravitazionale: $V(r) = \frac{U}{m} = -\frac{GM}{r}$, misurato in J/kg. Il lavoro della gravità su un corpo di massa $m$ che va da $A$ a $B$ è $W = m\,(V_A - V_B)$.

L'idea è che la massa $M$ modifica lo spazio intorno a sé creando un campo, e un corpo posto in un punto risente del campo in quel punto. Per più masse i campi (e i potenziali) si sommano. È lo stesso schema che si userà per il campo elettrico in Fisica 2.

Riassunto

Errori comuni

• Usare $mgh$ per quote paragonabili al raggio del pianeta (orbite, velocità di fuga).
• Dimenticare il segno meno di $U$: nella conservazione dell'energia sbagliarlo cambia completamente il risultato.
• Scrivere $L = m v r$ in un punto qualsiasi dell'ellisse: vale così solo dove $\vec v \perp \vec r$ (apogeo e perigeo); altrove $L = m v r \sin\alpha$.
• Confondere distanza dal centro e quota: $r_A$, $r_P$ sono distanze dal centro.