Esercizio 126pendolo conico in coordinate sferiche

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a) Dinamica: $\omega$, periodo e tensione

Le forze sono il peso $m\vec g$ (verticale verso il basso) e la tensione $\vec T$ lungo il filo, diretta verso $O$, inclinata di $\theta_0$ rispetto alla verticale. La pallina descrive una circonferenza orizzontale di raggio $\rho = \ell\sin\theta_0 = 1{,}2\cdot 0{,}643 = 0{,}771$ m, quindi

• verticale (nessuna accelerazione): $T\cos\theta_0 = mg$;
• orizzontale (accelerazione centripeta $\omega^2\rho$): $T\sin\theta_0 = m\omega^2\ell\sin\theta_0$.

Dalla seconda: $T = m\omega^2\ell$. Sostituendo nella prima, $m\omega^2\ell\cos\theta_0 = mg$:

$$\omega^2 = \frac{g}{\ell\cos\theta_0} = \frac{9{,}81}{1{,}2\cdot 0{,}766} = 10{,}67\ \text{s}^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \omega = 3{,}27\ \text{rad/s}$$

$$T_{\text{rot}} = \frac{2\pi}{\omega} = 1{,}92\ \text{s} \qquad T_{\text{filo}} = \frac{mg}{\cos\theta_0} = \frac{0{,}15\cdot 9{,}81}{0{,}766} = 1{,}92\ \text{N}$$

(La tensione vale $m\omega^2\ell = 0{,}15\cdot 10{,}67\cdot 1{,}2 = 1{,}92$ N, concorde; il periodo e la tensione hanno per caso lo stesso valore numerico, ma sono grandezze diverse, in secondi e in newton.) Il periodo dipende da $\theta_0$ e non dalla massa.

b) Velocità in coordinate sferiche

Con $\dot r = 0$ e $\dot\theta = 0$, $\vec v = r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat\varphi$:

$$v_r = 0 \qquad v_\theta = 0 \qquad v_\varphi = \ell\sin\theta_0\,\omega = 1{,}2\cdot 0{,}643\cdot 3{,}27 = 2{,}52\ \text{m/s}$$

La velocità è tutta nella direzione di $\hat\varphi$ (tangente al parallelo), e coincide con $\omega\rho$ della circonferenza di raggio $\rho = \ell\sin\theta_0$.

c) Accelerazione in coordinate sferiche

Con $r = \ell$, $\dot r = \ddot r = 0$, $\dot\theta = \ddot\theta = 0$, $\dot\varphi = \omega$, $\ddot\varphi = 0$ le componenti diventano:

$$a_r = -\ell\omega^2\sin^2\theta_0 = -1{,}2\cdot 10{,}67\cdot 0{,}413 = -5{,}29\ \text{m/s}^2$$

$$a_\theta = -\ell\omega^2\sin\theta_0\cos\theta_0 = -1{,}2\cdot 10{,}67\cdot 0{,}643\cdot 0{,}766 = -6{,}31\ \text{m/s}^2$$

$$a_\varphi = 0$$

Modulo: $$a = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2} = \ell\omega^2\sin\theta_0 = 1{,}2\cdot 10{,}67\cdot 0{,}643 = 8{,}23\ \text{m/s}^2$$

pari a $\omega^2\rho$ (centripeta di una circonferenza di raggio $\rho = 0{,}771$ m): $10{,}67\cdot 0{,}771 = 8{,}23$ ✓. È anche uguale a $g\tan\theta_0 = 9{,}81\cdot 0{,}839 = 8{,}23$ m/s$^2$ (dalla dinamica: $a = (T\sin\theta_0)/m = g\tan\theta_0$ ✓).

d) Verifica con le forze

Nelle coordinate sferiche con $z$ verso il basso, il versore verticale verso il basso è $\hat k = \cos\theta_0\,\hat r - \sin\theta_0\,\hat\theta$. Quindi:

• la tensione (verso $O$) è $-T\,\hat r$;
• il peso è $mg\,\hat k = mg\cos\theta_0\,\hat r - mg\sin\theta_0\,\hat\theta$.

Le componenti della seconda legge $m\vec a = \vec T + m\vec g$:

• radiale: $m a_r = -T + mg\cos\theta_0$, cioè $0{,}15\cdot(-5{,}29) = -0{,}794$ N, e $-1{,}92 + 0{,}15\cdot 9{,}81\cdot 0{,}766 = -1{,}92 + 1{,}127 = -0{,}794$ N ✓;
• polare: $m a_\theta = -mg\sin\theta_0$, cioè $0{,}15\cdot(-6{,}31) = -0{,}946$ N, e $-0{,}15\cdot 9{,}81\cdot 0{,}643 = -0{,}946$ N ✓;
• azimutale: $m a_\varphi = 0$ ✓ (nessuna forza lungo $\hat\varphi$).

Le tre equazioni sono coerenti: la cinematica in coordinate sferiche riproduce il risultato della dinamica.

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Risultati

Errori comuni

• Usare $\ell\omega$ come velocità: la circonferenza ha raggio $\ell\sin\theta_0$, non $\ell$.
• Scrivere $a_r = -\ell\omega^2$: la componente radiale sferica è $-\ell\omega^2\sin^2\theta_0$; la centripeta completa include anche $a_\theta$.
• Scrivere $T = mg$: la tensione sostiene il peso con la componente $T\cos\theta_0$.
• Dimenticare di fissare il verso di $z$ (qui verso il basso) e quindi di $\theta$.