Corrente elettrica, legge di Ohm ed effetto Joule - Fisica 1

Dopo Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1In un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo interno è nullo, il potenziale è lo stesso in tutto il conduttore, la carica sta solo sulla superficie e il campo appena fuori è perpendicolare alla superficie con modulo E = σ / ε0. Una sfera conduttrice di raggio R e carica Q ha V = k Q / R sulla superficie; due sfere collegate hanno lo stesso potenziale, quindi la più piccola ha il campo superficiale più intenso (effetto delle punte). Una cavità chiusa è schermata dai campi esterni.Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1 → (cariche libere nei metalli) e Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 → (differenza di potenziale). Seguito: Resistori in serie e in parallelo - Fisica 1Resistori in serie hanno la stessa corrente e le tensioni si sommano: R = R1 + R2 + ... Resistori in parallelo hanno la stessa tensione e le correnti si sommano: 1/R = 1/R1 + 1/R2 + ... Una rete mista si riduce a un solo resistore equivalente un passo alla volta, poi si torna indietro per ricavare correnti, tensioni e potenze di ciascun resistore.Resistori in serie e in parallelo - Fisica 1 →. Esercizi: Esercizio 118 · cavo di rame, corrente e velocità di deriva, Esercizio 119 · stufa elettrica, potenza ed energia, Esercizio 120 · filo trafilato e resistenza che cambia.

Corrente elettrica

Quando le cariche libere di un conduttore si muovono in modo ordinato (perché c'è un campo, cioè una differenza di potenziale tra due punti) si ha una corrente elettrica. L'intensità di corrente è la carica che attraversa una sezione del conduttore nell'unità di tempo:

Definizione (intensità di corrente). $$i = \frac{dq}{dt}, \qquad \text{se costante } i = \frac{\Delta q}{\Delta t}$$ Unità: l'ampere, $1\ \text{A} = 1\ \text{C/s}$.

• Verso convenzionale: è quello in cui si muoverebbero cariche positive, cioè dal potenziale maggiore al minore. Nei metalli si muovono gli elettroni, in verso opposto a quello convenzionale.
• In regime stazionario la corrente è la stessa in ogni sezione di un filo (la carica non si accumula).

Densità di corrente e velocità di deriva. La densità di corrente è la corrente per unità di sezione, $j = i/A$. Se i portatori hanno carica $e$, densità numerica $n$ e velocità media (di deriva) $v_d$:

$$i = n\,e\,A\,v_d \qquad v_d = \frac{i}{n e A}$$

La velocità di deriva è piccolissima. Nel rame $n = 8{,}49\cdot 10^{28}\ \text{m}^{-3}$: per $i = 1$ A in un filo di $1$ mm$^2$ si ha $v_d = \dfrac{1}{8{,}49\cdot 10^{28}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-6}} = 7{,}4\cdot 10^{-5}$ m/s, meno di un decimo di millimetro al secondo. La lampadina si accende subito perché il campo si propaga a velocità vicina a quella della luce e mette in moto tutti gli elettroni quasi insieme, non perché un elettrone corra dall'interruttore alla lampadina.

Legge di Ohm e resistenza

In molti materiali (metalli, a temperatura costante) la corrente è proporzionale alla differenza di potenziale ai capi:

Legge (Ohm). $$V = R\,i$$ con $R$ la resistenza del conduttore. Unità: l'ohm, $1\ \Omega = 1\ \text{V/A}$.

I conduttori che la rispettano si dicono ohmici. La resistenza di un filo omogeneo di lunghezza $L$ e sezione $A$ costante dipende da materiale e geometria:

Formula (seconda legge di Ohm). $$R = \rho\,\frac{L}{A}$$ con $\rho$ la resistività del materiale (unità: $\Omega\,\text{m}$).

Si ragiona così: un filo più lungo oppone più resistenza (più materiale da attraversare); uno più largo ne oppone meno (più canali in parallelo).

Dipendenza dalla temperatura. Nei metalli la resistività cresce quasi linearmente: $\rho = \rho_0\,[1 + \alpha\,(T - T_0)]$, con $\alpha = 3{,}9\cdot 10^{-3}\ \text{K}^{-1}$ per il rame. Quindi anche $R$ cresce con la temperatura (un filo di lampadina a regime ha una resistenza molto maggiore di quella a freddo).

Esempio. Filo di rame lungo $10$ m con sezione $1{,}5$ mm$^2$: $R = 1{,}68\cdot 10^{-8}\cdot\dfrac{10}{1{,}5\cdot 10^{-6}} = 0{,}112\ \Omega$. Con $15$ A, la caduta di tensione è $V = Ri = 1{,}68$ V.

(Il $\text{mm}^2$ si converte: $1\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\ \text{m}^2$.)

Il generatore (batteria, alimentatore) è il dispositivo che mantiene una differenza di potenziale costante ai capi del circuito, fornendo l'energia alle cariche: qui lo si considera ideale.

Effetto Joule

Una carica $dq$ che attraversa una differenza di potenziale $V$ cede al circuito l'energia $dq\cdot V$ (lavoro del campo, Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →). Gli elettroni, però, non accelerano indefinitamente: urtano gli ioni del reticolo e cedono loro l'energia che si trasforma in calore. La potenza è l'energia per unità di tempo (Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →):

Formula (effetto Joule). $$P = \frac{dq\,V}{dt} = V\,i = R\,i^2 = \frac{V^2}{R}$$ L'energia dissipata in un tempo $t$ è $E = P\,t$.

Le tre forme sono equivalenti per la legge di Ohm; si sceglie in base ai dati (con $i$ fisso conviene $Ri^2$; con $V$ fisso, come a una presa, $V^2/R$). Unità: watt, $1\ \text{W} = 1\ \text{V}\cdot 1\ \text{A}$. Per l'energia elettrica si usa il kilowattora: $1\ \text{kWh} = 3{,}6\cdot 10^{6}$ J.

Esempio. Il filo dell'esempio sopra, con $15$ A, dissipa $P = Ri^2 = 0{,}112\cdot 225 = 25{,}2$ W lungo i $10$ m: calore perso nei cavi (e il motivo per cui si usano sezioni maggiori per correnti alte).

Riassunto

Errori comuni

• Non convertire mm$^2$ in m$^2$ (fattore $10^{6}$).
• Dire che la corrente "si consuma" nel circuito: si dissipa energia, non carica; la corrente è la stessa all'entrata e all'uscita di un resistore.
• Confondere il verso della corrente con quello degli elettroni.
• Usare $P = V i$ con $V$ la tensione di alimentazione quando $V$ è la tensione ai capi del solo resistore considerato.
• Dimenticare che la resistenza cambia con la temperatura (lampade a incandescenza).

Domande d'esame

1. Definire corrente e legge di Ohm. Risposta: $i = dq/dt$ in ampere; $V = Ri$ per un conduttore ohmico, con $R = \rho L/A$.
2. Se si raddoppia la lunghezza di un filo, come cambia la resistenza? E se si raddoppia il diametro? Risposta: raddoppia; diventa un quarto (sezione quadruplicata).
3. Una stufa di $1500$ W è alimentata a $230$ V. Quanto vale la corrente? Risposta: $i = P/V = 6{,}5$ A, $R = V^2/P = 35{,}3\ \Omega$.