Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1

Dopo Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa vale Q_interna / ε0. Quando la distribuzione ha simmetria (sferica, cilindrica, piana) si sceglie la superficie in modo che E sia costante e perpendicolare e il campo si ricava subito: filo infinito E = λ / (2π ε0 r), piano infinito E = σ / (2 ε0) uniforme, due piani con carica opposta E = σ / ε0 nello spazio tra i piani.Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1 → e Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →. Esercizi: Esercizio 115 · sfere conduttrici collegate da un filo, Esercizio 116 · carica puntiforme dentro un guscio conduttore, Esercizio 117 · rigidità dielettrica dell'aria ed effetto delle punte.

Che cosa succede in un conduttore

In un conduttore ci sono cariche libere (Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1La carica elettrica è positiva o negativa, si conserva ed è multipla di e = 1,602·10^-19 C. Due cariche puntiformi si respingono se hanno lo stesso segno e si attraggono se hanno segno opposto con una forza F = k q1 q2 / r², diretta lungo la congiungente. Nei conduttori le cariche si muovono liberamente, negli isolanti restano dove sono; con più cariche le forze si sommano (sovrapposizione).Carica elettrica e legge di Coulomb - Fisica 1 →). Se il conduttore è in equilibrio elettrostatico (cariche ferme, nessuna corrente), valgono queste proprietà.

1. Campo interno nullo. Se all'interno ci fosse un campo, le cariche libere sentirebbero una forza e si muoverebbero: non sarebbe equilibrio. Quindi $\vec E = 0$ in ogni punto del conduttore.
2. Potenziale costante. Con $\vec E = 0$ dentro, $V_B - V_A = -\int\vec E\cdot d\vec l = 0$ per due punti qualsiasi del conduttore: tutto il conduttore, superficie compresa, è alla stessa tensione. La superficie è una equipotenziale (Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →).
3. Carica solo in superficie. Una superficie gaussiana interna al conduttore ha flusso nullo (perché $E=0$), quindi la carica contenuta è nulla (Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa vale Q_interna / ε0. Quando la distribuzione ha simmetria (sferica, cilindrica, piana) si sceglie la superficie in modo che E sia costante e perpendicolare e il campo si ricava subito: filo infinito E = λ / (2π ε0 r), piano infinito E = σ / (2 ε0) uniforme, due piani con carica opposta E = σ / ε0 nello spazio tra i piani.Legge di Gauss, filo e piano infiniti - Fisica 1 →): ogni eccesso di carica sta sulla superficie esterna (in uno strato sottilissimo).
4. Campo vicino alla superficie. Il campo fuori è perpendicolare alla superficie (altrimenti avrebbe una componente tangente e le cariche superficiali si muoverebbero; ricorda che una superficie equipotenziale è perpendicolare al campo). Il suo modulo si ricava con un cilindretto gaussiano a cavallo della superficie: una base dentro (flusso nullo), una base fuori di area $S$ (flusso $ES$), carica interna $\sigma S$:

Teorema di Coulomb. $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$ campo appena fuori dal conduttore, perpendicolare alla superficie, con $\sigma$ la densità superficiale locale di carica.

È il doppio del campo di un piano isolato ($\sigma/2\varepsilon_0$): sul conduttore, il campo interno è zero invece di $-\sigma/(2\varepsilon_0)$, e il salto di $\sigma/\varepsilon_0$ attraverso la superficie è lo stesso.

Cavità e schermatura

• Se un conduttore ha una cavità vuota (senza cariche dentro), il campo nella cavità è nullo e sulla superficie interna non c'è carica. I campi esterni non entrano: schermo elettrostatico (gabbia di Faraday: per questo si sta al sicuro in un'auto di metallo durante un fulmine).
• Se nella cavità c'è una carica puntiforme $q$, sulla superficie interna si dispone la carica indotta $-q$ (perché una superficie gaussiana nel conduttore deve contenere carica totale nulla) e, se il conduttore è neutro, sulla superficie esterna compare $+q$. Il campo all'esterno è quello di una carica $q$ al centro (per simmetria sferica), indipendentemente da dove è la carica dentro.
• Un conduttore collegato a terra ha $V=0$ e può scambiare carica con la Terra.

Sfera conduttrice

Una sfera conduttrice di raggio $R$ con carica $Q$: la carica si distribuisce uniformemente sulla superficie (per simmetria), $\sigma = Q/(4\pi R^2)$.

Fuori la sfera si comporta come una carica puntiforme $Q$ al centro (Gauss). Il potenziale della sfera è $V = kQ/R$ e il campo superficiale è $E = kQ/R^2 = \sigma/\varepsilon_0$ ✓ (coerente con il teorema di Coulomb). Si noti che $E = V/R$: a parità di potenziale, il campo superficiale è tanto più intenso quanto più piccolo è il raggio.

Esempio. $R = 10$ cm, $Q = 2{,}0$ nC: $V = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{2{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}10} = 180$ V e $E = V/R = 1798$ V/m.

Due sfere collegate: effetto delle punte

Due sfere conduttrici di raggi $R_1$ e $R_2$, lontane tra loro, collegate da un filo conduttore: diventano un unico conduttore, con lo stesso potenziale $V$. Quindi

$$k\frac{q_1}{R_1} = k\frac{q_2}{R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2}$$

e le densità superficiali stanno in rapporto $\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2} = \dfrac{q_1/R_1^2}{q_2/R_2^2} = \dfrac{R_2}{R_1}$. La sfera piccola ha meno carica totale, ma più carica per unità di superficie e quindi un campo superficiale più intenso. Lo stesso vale per un conduttore di forma qualunque: dove la superficie è più curva (punte) la densità e il campo sono più grandi. È il principio del parafulmine e dell'effetto corona. L'aria si ionizza se il campo supera la rigidità dielettrica (circa $3\cdot 10^{6}$ V/m): una sfera di raggio $R$ non può superare in aria il potenziale $V_{\max} = E_{\max}R$.

Riassunto

Errori comuni

• Dire che il potenziale è nullo dentro il conduttore: è costante (e pari al valore sulla superficie), non zero.
• Dire che il campo è nullo fuori perché è nullo dentro.
• Usare $\sigma/(2\varepsilon_0)$ per il campo vicino a un conduttore (vale $\sigma/\varepsilon_0$).
• Pensare che sfere collegate si dividano la carica a metà: lo fanno solo se hanno lo stesso raggio; in generale hanno lo stesso potenziale.
• Dimenticare la carica indotta su un guscio con una carica dentro.

Domande d'esame

1. Perché in un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo e la carica sta in superficie? Risposta: se ci fosse campo le cariche libere si muoverebbero; con $E=0$ il flusso attraverso una gaussiana interna è nullo, quindi la carica interna è nulla.
2. Quanto vale il campo appena fuori da un conduttore? Risposta: $\sigma/\varepsilon_0$, perpendicolare alla superficie.
3. Due sfere di raggio diverso sono collegate. Quale ha il campo superficiale maggiore? Risposta: la più piccola, perché $E = V/R$ con $V$ uguale.