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Note per Studenti Esercizio 115 · sfere conduttrici collegate da un filo

Esercizio 115sfere conduttrici collegate da un filo

In questa pagina 6

Testo. Due sfere conduttrici, di raggi R1=5,0 cmR_1 = 5{,}0\ \text{cm} e R2=15 cmR_2 = 15\ \text{cm}, sono molto lontane tra loro (si trascura l'influenza reciproca). La sfera 1 porta la carica Q=40 nCQ = 40\ \text{nC}, la sfera 2 è scarica. Le due sfere vengono collegate con un sottile filo conduttore. Determinare:

a) il potenziale della sfera 1 prima del collegamento;

b) le cariche e il potenziale comune dopo il collegamento;

c) le densità superficiali di carica e i campi elettrici sulla superficie delle due sfere;

d) l'energia elettrostatica prima e dopo, e la quota dissipata.

Teoria: Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1In un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo interno è nullo, il potenziale è lo stesso in tutto il conduttore, la carica sta solo sulla superficie e il campo appena fuori è perpendicolare alla superficie con modulo E = σ / ε0. Una sfera conduttrice di raggio R e carica Q ha V = k Q / R sulla superficie; due sfere collegate hanno lo stesso potenziale, quindi la più piccola ha il campo superficiale più intenso (effetto delle punte). Una cavità chiusa è schermata dai campi esterni.Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1 →, Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →.

a) Potenziale iniziale

Per una sfera conduttrice carica il potenziale è quello di una carica puntiforme al centro, calcolato sulla superficie (V=kQ/RV = kQ/R):

V1=kQR1=8,988⋅109⋅40⋅10−90,050=7190 VV_1 = k\frac{Q}{R_1} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{40\cdot 10^{-9}}{0{,}050} = 7190\ \text{V}

La sfera 2 è scarica: V2=0V_2 = 0. Collegandole c'è una differenza di potenziale, quindi le cariche si muovono.

b) Dopo il collegamento

Il sistema filo-sfere è un unico conduttore, in equilibrio: tutto è allo stesso potenziale VV. Si hanno due condizioni.

  • Stesso potenziale: kq1R1=kq2R2=Vk\dfrac{q_1}{R_1} = k\dfrac{q_2}{R_2} = V, cioè q1/R1=q2/R2q_1/R_1 = q_2/R_2.
  • Conservazione della carica: q1+q2=Q=40q_1 + q_2 = Q = 40 nC (il filo è sottilissimo, la carica che trattiene è trascurabile).

Si ricava q2=q1R2/R1=3q1q_2 = q_1 R_2/R_1 = 3q_1, da cui 4q1=404q_1 = 40 nC:

q1=Q R1R1+R2=40⋅520=10 nCq2=Q R2R1+R2=40⋅1520=30 nCq_1 = Q\,\frac{R_1}{R_1 + R_2} = 40\cdot\frac{5}{20} = 10\ \text{nC} \qquad q_2 = Q\,\frac{R_2}{R_1 + R_2} = 40\cdot\frac{15}{20} = 30\ \text{nC}

V=kQR1+R2=8,988⋅109⋅40⋅10−90,20=1798 VV = k\frac{Q}{R_1 + R_2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{40\cdot 10^{-9}}{0{,}20} = 1798\ \text{V}

La sfera più grande prende la carica maggiore (tre volte, come il raggio), ma le due sfere hanno lo stesso potenziale.

c) Densità superficiali e campi

σ1=q14πR12=10⋅10−94π⋅0,0025=3,18⋅10−7 C/m2\sigma_1 = \frac{q_1}{4\pi R_1^2} = \frac{10\cdot 10^{-9}}{4\pi\cdot 0{,}0025} = 3{,}18\cdot 10^{-7}\ \text{C/m}^2

σ2=q24πR22=30⋅10−94π⋅0,0225=1,06⋅10−7 C/m2\sigma_2 = \frac{q_2}{4\pi R_2^2} = \frac{30\cdot 10^{-9}}{4\pi\cdot 0{,}0225} = 1{,}06\cdot 10^{-7}\ \text{C/m}^2

Il rapporto è σ1/σ2=3=R2/R1\sigma_1/\sigma_2 = 3 = R_2/R_1: la sfera piccola ha densità maggiore. Il campo appena fuori dalla superficie è E=σ/ε0E = \sigma/\varepsilon_0 (teorema di Coulomb), che coincide con V/RV/R:

E1=σ1ε0=3,18⋅10−78,854⋅10−12=3,60⋅104 V/m=17980,050 ✓E2=σ2ε0=1,20⋅104 V/m=17980,15 ✓E_1 = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} = \frac{3{,}18\cdot 10^{-7}}{8{,}854\cdot 10^{-12}} = 3{,}60\cdot 10^{4}\ \text{V/m} = \frac{1798}{0{,}050} \ \checkmark \qquad E_2 = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} = 1{,}20\cdot 10^{4}\ \text{V/m} = \frac{1798}{0{,}15}\ \checkmark

Il campo sulla sfera piccola è tre volte maggiore (effetto delle punte).

d) Energia

L'energia elettrostatica di un conduttore carico è U=12QVU = \tfrac12 QV.

  • Prima: U0=12⋅40⋅10−9⋅7190=1,44⋅10−4U_0 = \tfrac12\cdot 40\cdot 10^{-9}\cdot 7190 = 1{,}44\cdot 10^{-4} J.
  • Dopo: U1=12q1V+12q2V=12QV=12⋅40⋅10−9⋅1798=3,60⋅10−5U_1 = \tfrac12 q_1 V + \tfrac12 q_2 V = \tfrac12 QV = \tfrac12\cdot 40\cdot 10^{-9}\cdot 1798 = 3{,}60\cdot 10^{-5} J.

L'energia diminuisce di ΔU=U0−U1=1,08⋅10−4 J\Delta U = U_0 - U_1 = 1{,}08\cdot 10^{-4}\ \text{J} cioè il 75%75\%. L'energia non scompare: è dissipata per effetto Joule nel filo (e in parte irraggiata) durante il passaggio di carica. Si noti che non dipende da quanto è resistivo il filo.

Risultati

grandezza valore
a) potenziale iniziale della sfera 1 7190 V7190\ \text{V}
b) cariche finali q1=10 nCq_1 = 10\ \text{nC}, q2=30 nCq_2 = 30\ \text{nC}
b) potenziale comune 1798 V1798\ \text{V}
c) densità superficiali 3,18⋅10−73{,}18\cdot 10^{-7} e 1,06⋅10−7 C/m21{,}06\cdot 10^{-7}\ \text{C/m}^2
c) campi superficiali 3,60⋅1043{,}60\cdot 10^{4} e 1,20⋅104 V/m1{,}20\cdot 10^{4}\ \text{V/m}
d) energia dissipata 1,08⋅10−4 J1{,}08\cdot 10^{-4}\ \text{J} (75%75\%)

Errori comuni

  • Dividere la carica a metà (valido solo per sfere di raggio uguale).
  • Imporre l'uguaglianza dei campi o delle densità invece di quella dei potenziali.
  • Dimenticare di sommare i due contributi di energia, o dire che l'energia si conserva.

Versione ripasso

Testo. Due sfere conduttrici lontane, R1=5,0R_1 = 5{,}0 cm con Q=40Q = 40 nC e R2=15R_2 = 15 cm scarica, vengono collegate da un filo. Potenziale iniziale; cariche e potenziale finali; densità e campi superficiali; energia prima e dopo.

Soluzione

(Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1In un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo interno è nullo, il potenziale è lo stesso in tutto il conduttore, la carica sta solo sulla superficie e il campo appena fuori è perpendicolare alla superficie con modulo E = σ / ε0. Una sfera conduttrice di raggio R e carica Q ha V = k Q / R sulla superficie; due sfere collegate hanno lo stesso potenziale, quindi la più piccola ha il campo superficiale più intenso (effetto delle punte). Una cavità chiusa è schermata dai campi esterni.Conduttori in equilibrio elettrostatico - Fisica 1 →)

  • V1=kQ/R1=7190V_1 = kQ/R_1 = 7190 V.
  • Dopo: stesso potenziale q1/R1=q2/R2q_1/R_1 = q_2/R_2 e q1+q2=Qq_1 + q_2 = Q: q1=10q_1 = 10 nC, q2=30q_2 = 30 nC, V=kQ/(R1+R2)=1798V = kQ/(R_1 + R_2) = 1798 V.
  • σ1=3,18⋅10−7\sigma_1 = 3{,}18\cdot 10^{-7}, σ2=1,06⋅10−7\sigma_2 = 1{,}06\cdot 10^{-7} C/m² (rapporto R2/R1=3R_2/R_1 = 3); E=σ/ε0=V/RE = \sigma/\varepsilon_0 = V/R: 3,60⋅1043{,}60\cdot 10^{4} e 1,20⋅1041{,}20\cdot 10^{4} V/m.
  • U=12QVU = \tfrac12 QV: 1,44⋅10−41{,}44\cdot 10^{-4} J prima, 3,60⋅10−53{,}60\cdot 10^{-5} J dopo; dissipati 1,08⋅10−41{,}08\cdot 10^{-4} J (75%75\%) nel filo.

Errori tipici: carica divisa a metà; uguagliare i campi invece dei potenziali; energia conservata.

Teoria collegata