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Note per Studenti Esercizio 111 · elettrone accelerato da una differenza di potenziale

Esercizio 111elettrone accelerato da una differenza di potenziale

In questa pagina 6

Testo. In un cannone elettronico un elettrone (me=9,109⋅10−31 kgm_e = 9{,}109\cdot 10^{-31}\ \text{kg}, carica −e-e), inizialmente fermo, è accelerato dalla placca negativa alla placca positiva di un condensatore piano. La differenza di potenziale è ΔV=2,5 kV\Delta V = 2{,}5\ \text{kV} e le placche distano d=2,0 cmd = 2{,}0\ \text{cm} (il campo è uniforme). Determinare:

a) l'energia cinetica acquistata (in J e in eV) e la velocità finale;

b) il campo elettrico tra le placche e l'accelerazione dell'elettrone;

c) il tempo di attraversamento;

d) l'errore che si commette nel calcolare la velocità con la meccanica non relativistica.

Teoria: Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →; energia: Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →.

a) Energia e velocità

Il lavoro del campo su una carica qq che passa dal potenziale VAV_A al potenziale VBV_B è W=q(VA−VB)W = q(V_A - V_B). L'elettrone (q=−eq = -e) va dalla placca a potenziale più basso alla placca a potenziale più alto: VB−VA=+ΔVV_B - V_A = +\Delta V, quindi

W=−e (VA−VB)=e ΔV=1,602⋅10−19⋅2500=4,01⋅10−16 J=2500 eVW = -e\,(V_A - V_B) = e\,\Delta V = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 2500 = 4{,}01\cdot 10^{-16}\ \text{J} = 2500\ \text{eV}

Per il teorema dell'energia cinetica, partendo da fermo, K=W=2500K = W = 2500 eV =4,01⋅10−16= 4{,}01\cdot 10^{-16} J. Da K=12mev2K = \tfrac12 m_e v^2:

v=2Kme=2⋅4,01⋅10−169,109⋅10−31=2,97⋅107 m/sv = \sqrt{\frac{2K}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}01\cdot 10^{-16}}{9{,}109\cdot 10^{-31}}} = 2{,}97\cdot 10^{7}\ \text{m/s}

pari al 9,9%9{,}9\% della velocità della luce.

(Si può anche scrivere la conservazione 12mv2+qV=cost\tfrac12 m v^2 + qV = \text{cost}: 0+(−e)VA=12mv2+(−e)VB0 + (-e)V_A = \tfrac12 m v^2 + (-e)V_B, che dà la stessa cosa.)

b) Campo e accelerazione

Campo uniforme: E=ΔV/d=2500/0,020=1,25⋅105 V/mE = \Delta V/d = 2500/0{,}020 = 1{,}25\cdot 10^{5}\ \text{V/m}. Forza costante F=eEF = eE:

a=eEme=1,602⋅10−19⋅1,25⋅1059,109⋅10−31=2,20⋅1016 m/s2a = \frac{eE}{m_e} = \frac{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}25\cdot 10^{5}}{9{,}109\cdot 10^{-31}} = 2{,}20\cdot 10^{16}\ \text{m/s}^2

c) Tempo di attraversamento

Moto uniformemente accelerato da fermo (Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →): v=a tv = a\,t, quindi

t=va=2,97⋅1072,20⋅1016=1,35⋅10−9 st = \frac{v}{a} = \frac{2{,}97\cdot 10^{7}}{2{,}20\cdot 10^{16}} = 1{,}35\cdot 10^{-9}\ \text{s}

Controllo con lo spazio: 12at2=12⋅2,20⋅1016⋅(1,35⋅10−9)2=0,020\tfrac12 a t^2 = \tfrac12\cdot 2{,}20\cdot 10^{16}\cdot(1{,}35\cdot 10^{-9})^2 = 0{,}020 m ✓.

d) Correzione relativistica

Alla velocità trovata la meccanica newtoniana è un'approssimazione: l'energia cinetica relativistica è K=(γ−1)mec2K = (\gamma - 1)m_ec^2 con mec2=511m_ec^2 = 511 keV. Qui K/mec2=2,5/511=0,0049K/m_ec^2 = 2{,}5/511 = 0{,}0049, quindi γ=1,0049\gamma = 1{,}0049 e

vrel=c1−1γ2=0,0986 c=2,955⋅107 m/sv_{\text{rel}} = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = 0{,}0986\,c = 2{,}955\cdot 10^{7}\ \text{m/s}

contro 2,966⋅1072{,}966\cdot 10^{7} m/s del calcolo non relativistico: lo scarto è 0,37%0{,}37\%, trascurabile per un esercizio di questo livello.

Risultati

grandezza valore
a) energia cinetica 4,01⋅10−16 J=2500 eV4{,}01\cdot 10^{-16}\ \text{J} = 2500\ \text{eV}
a) velocità 2,97⋅107 m/s2{,}97\cdot 10^{7}\ \text{m/s}
b) campo 1,25⋅105 V/m1{,}25\cdot 10^{5}\ \text{V/m}
b) accelerazione 2,20⋅1016 m/s22{,}20\cdot 10^{16}\ \text{m/s}^2
c) tempo 1,35 ns1{,}35\ \text{ns}
d) errore non relativistico 0,37%0{,}37\%

Errori comuni

  • Dimenticare di convertire kV in V (2,52{,}5 kV =2500= 2500 V).
  • Sbagliare il verso: un elettrone si muove verso il potenziale più alto, e guadagna energia.
  • Usare la massa del protone (o 9,109⋅10−279{,}109\cdot 10^{-27}): l'elettrone ha massa 10−3110^{-31} kg.
  • Calcolare il tempo come d/vd/v: la velocità non è costante (sarebbe la metà del tempo giusto, d/vˉd/\bar v con vˉ=v/2\bar v = v/2).

Versione ripasso

Testo. Elettrone fermo accelerato da ΔV=2,5\Delta V = 2{,}5 kV tra placche a distanza d=2,0d = 2{,}0 cm. Energia cinetica e velocità; campo e accelerazione; tempo di attraversamento; errore non relativistico.

Soluzione

(Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1La forza di Coulomb è conservativa: il lavoro del campo tra A e B vale W = q (V_A − V_B), con V il potenziale elettrostatico (volt = J/C). Una carica puntiforme ha V = k Q / r (zero all'infinito) e un sistema di cariche ha energia U = Σ k q_i q_j / r_ij. Il campo si ricava dal potenziale, E = −dV/dx, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali. Nei moti si conserva ½ m v² + q V.Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1 →)

  • K=W=eΔV=4,01⋅10−16K = W = e\Delta V = 4{,}01\cdot 10^{-16} J =2500= 2500 eV; v=2K/me=2,97⋅107v = \sqrt{2K/m_e} = 2{,}97\cdot 10^{7} m/s (0,099 c0{,}099\,c).
  • E=ΔV/d=1,25⋅105E = \Delta V/d = 1{,}25\cdot 10^{5} V/m; a=eE/me=2,20⋅1016a = eE/m_e = 2{,}20\cdot 10^{16} m/s².
  • t=v/a=1,35t = v/a = 1{,}35 ns (controllo: 12at2=0,020\tfrac12at^2 = 0{,}020 m).
  • Relativistico: K/mec2=0,0049K/m_ec^2 = 0{,}0049, vrel=2,955⋅107v_{\text{rel}} = 2{,}955\cdot 10^{7} m/s, scarto 0,37%0{,}37\%.

Errori tipici: kV non convertiti; massa sbagliata; tempo come d/vd/v.

Teoria collegata