Esercizio 124spirale in coordinate polari

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Impostazione

Derivate necessarie: $\dot r = b = 0{,}20$ m/s, $\ddot r = 0$, $\dot\varphi = \omega = 2{,}0$ rad/s, $\ddot\varphi = 0$. Posizione a $t = 1{,}5$ s: $r = 0{,}20\cdot 1{,}5 = 0{,}30$ m, $\varphi = 2{,}0\cdot 1{,}5 = 3{,}0$ rad $= 172^\circ$ (mezzo giro circa).

a) Velocità

$$v_r = \dot r = 0{,}20\ \text{m/s} \qquad v_\varphi = r\dot\varphi = 0{,}30\cdot 2{,}0 = 0{,}60\ \text{m/s}$$

$$v = \sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2} = \sqrt{0{,}04 + 0{,}36} = 0{,}632\ \text{m/s}$$

L'angolo $\beta$ tra la velocità e la direzione radiale $\hat r$:

$$\tan\beta = \frac{v_\varphi}{v_r} = \frac{0{,}60}{0{,}20} = 3{,}0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 71{,}6^\circ$$

La velocità è inclinata di $71{,}6^\circ$ rispetto al raggio: più il punto si allontana, più la componente trasversale ($r\omega$, che cresce) prevale su quella radiale (costante).

b) Accelerazione

$$a_r = \ddot r - r\dot\varphi^2 = 0 - 0{,}30\cdot 4{,}0 = -1{,}20\ \text{m/s}^2$$

$$a_\varphi = r\ddot\varphi + 2\dot r\dot\varphi = 0 + 2\cdot 0{,}20\cdot 2{,}0 = +0{,}80\ \text{m/s}^2$$

$$a = \sqrt{1{,}20^2 + 0{,}80^2} = 1{,}44\ \text{m/s}^2$$

La componente radiale è negativa (verso l'origine, centripeta); quella trasversale esiste anche se $\ddot\varphi = 0$, perché il raggio cresce mentre il punto ruota (termine $2\dot r\dot\varphi$).

c) Accelerazione tangenziale, normale e raggio di curvatura

L'accelerazione tangenziale è la componente di $\vec a$ lungo la velocità: $a_T = \vec a\cdot\hat v = \dfrac{v_r a_r + v_\varphi a_\varphi}{v}$.

$$a_T = \frac{0{,}20\cdot(-1{,}20) + 0{,}60\cdot 0{,}80}{0{,}632} = \frac{-0{,}24 + 0{,}48}{0{,}632} = 0{,}379\ \text{m/s}^2$$

Poiché $a^2 = a_T^2 + a_N^2$:

$$a_N = \sqrt{a^2 - a_T^2} = \sqrt{2{,}08 - 0{,}144} = 1{,}39\ \text{m/s}^2$$

(con $a^2 = a_r^2 + a_\varphi^2 = 1{,}44 + 0{,}64 = 2{,}08\ \text{m}^2/\text{s}^4$.)

Raggio di curvatura ($a_N = v^2/R_c$):

$$R_c = \frac{v^2}{a_N} = \frac{0{,}40}{1{,}39} = 0{,}287\ \text{m}$$

Vicino a $r = 0{,}30$ m la spirale è curva quasi come una circonferenza di raggio $0{,}29$ m (poco meno di $r$).

d) Controllo in coordinate cartesiane

$x = bt\cos\omega t$, $y = bt\sin\omega t$. Derivando:

$$v_x = b\cos\omega t - b\omega t\sin\omega t \qquad v_y = b\sin\omega t + b\omega t\cos\omega t$$

$$a_x = -2b\omega\sin\omega t - b\omega^2 t\cos\omega t \qquad a_y = 2b\omega\cos\omega t - b\omega^2 t\sin\omega t$$

A $t = 1{,}5$ s ($\omega t = 3{,}0$ rad, $\cos = -0{,}990$, $\sin = 0{,}141$): $v_x = -0{,}198 - 0{,}085 = -0{,}283$, $v_y = 0{,}028 - 0{,}594 = -0{,}566$ m/s, quindi $v = \sqrt{0{,}0800 + 0{,}320} = 0{,}632$ m/s ✓. Le componenti dell'accelerazione sono $a_x = -0{,}113 + 1{,}188 = 1{,}075$ e $a_y = -0{,}792 - 0{,}169 = -0{,}961$ m/s$^2$, con modulo $\sqrt{1{,}156 + 0{,}924} = 1{,}44$ m/s$^2$ ✓ e $a_T = \vec a\cdot\vec v/v = (1{,}075\cdot(-0{,}283) + (-0{,}961)(-0{,}566))/0{,}632 = 0{,}379$ ✓.

Le coordinate polari danno gli stessi numeri con molti meno passaggi.

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Risultati

Errori comuni

• Scrivere $a_r = \ddot r = 0$, perdendo il termine centripeto $-r\dot\varphi^2$.
• Dimenticare il $2\dot r\dot\varphi$ nella componente trasversale.
• Confondere componente radiale e tangenziale: $v_r$ non è la velocità tangente alla traiettoria ma quella lungo il raggio vettore.
• Usare $\varphi$ in gradi nelle derivate: $\omega$ è in rad/s.