Esercizio 105campo di tre cariche ai vertici di un quadrato

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Impostazione

Il campo in un punto è la somma vettoriale dei campi delle tre cariche. Per ciascuna si trovano modulo $kq/r^2$ e direzione: uscente da una carica positiva, entrante in una negativa. Le distanze sono: $AD = CD = a = 0{,}20$ m (lati) e $BD = a\sqrt2 = 0{,}283$ m (diagonale).

a) Campo in $D$

• Carica $A$ ($+$, in $(0,0)$): $D$ è sopra $A$. Campo uscente, quindi verso $+y$: $$E_A = k\frac{q_A}{a^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}04} = 674\ \text{N/C} \qquad \vec E_A = (0,\ +674)$$
• Carica $C$ ($+$, in $(a,a)$): $D$ è a sinistra di $C$. Campo uscente da $C$, quindi verso $-x$: $$E_C = 674\ \text{N/C} \qquad \vec E_C = (-674,\ 0)$$
• Carica $B$ ($-$, in $(a,0)$): campo entrante, cioè verso $B$. Il vettore da $D$ a $B$ è $(a,\,-a)$, con versore $(1,\,-1)/\sqrt2$. Il modulo è $$E_B = k\frac{|q_B|}{2a^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}08} = 337\ \text{N/C}$$ e le componenti sono $E_B/\sqrt2 = 238$ N/C: $\vec E_B = (+238,\ -238)$.

Somma componente per componente:

$$E_x = 0 - 674 + 238 = -436\ \text{N/C} \qquad E_y = 674 + 0 - 238 = +436\ \text{N/C}$$

$$|\vec E| = \sqrt{436^2 + 436^2} = 616\ \text{N/C}$$

Il campo punta a sinistra e in alto: forma con l'asse $x$ l'angolo $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. (Le due componenti sono uguali in modulo per la simmetria del problema rispetto alla diagonale $BD$.)

b) Forza su $q = -2{,}0$ nC in $D$

$$\vec F = q\vec E = (-2{,}0\cdot 10^{-9})\cdot(-436,\ +436) = (+8{,}7\cdot 10^{-7},\ -8{,}7\cdot 10^{-7})\ \text{N}$$

Modulo $|F| = |q|\,|E| = 2{,}0\cdot 10^{-9}\cdot 616 = 1{,}23\cdot 10^{-6}$ N, diretta a $-45^\circ$ (in basso a destra): opposta al campo perché $q<0$.

c) Campo nel centro $O = (a/2,\,a/2)$

Ogni vertice dista da $O$ metà diagonale, $r = a/\sqrt2 = 0{,}1414$ m, quindi ciascuna carica produce

$$E_1 = k\frac{3{,}0\cdot 10^{-9}}{r^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{3{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}020} = 1348\ \text{N/C}$$

Le direzioni stanno tutte lungo le diagonali.

• $A$ e $C$ sono cariche positive uguali agli estremi di una stessa diagonale: i loro campi in $O$ (centro) hanno lo stesso modulo e versi opposti ($A$ spinge verso $C$, $C$ verso $A$): si cancellano.
• Resta $B$: campo entrante, diretto da $O$ verso $B$, cioè lungo $(1,\,-1)/\sqrt2$.

$$\vec E_O = \vec E_B = 1348\ \text{N/C} \text{ diretto verso } B$$

cioè $E_x = +953$ N/C ed $E_y = -953$ N/C (angolo $-45^\circ$).

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Risultati

Errori comuni

• Sommare i tre moduli ($674 + 674 + 337$) senza considerare le direzioni.
• Usare la distanza $a$ anche per $B$, che sta sulla diagonale e dista $a\sqrt2$.
• Dare a $\vec E_B$ il verso uscente: la carica è negativa, il campo punta verso di lei.
• Dimenticare di cambiare verso alla forza quando la carica di prova è negativa.