Esercizio 113energia di tre cariche ai vertici di un triangolo

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Testo. Due cariche puntiformi uguali $q = +5{,}0\ \text{nC}$ sono fisse nei punti $A$ e $B$ , a distanza $a = 0{,}20\ \text{m}$ . Una terza carica $q$ , uguale alle prime, viene portata lentamente dall'infinito nel punto $C$ , terzo vertice del triangolo equilatero $ABC$ . Determinare:

a) il potenziale elettrostatico in $C$ dovuto alle cariche in $A$ e $B$ ;

b) il lavoro che deve compiere l'agente esterno per portare la terza carica in $C$ ;

c) l'energia elettrostatica totale del sistema di tre cariche;

d) la velocità con cui si allontanerebbe all'infinito la terza carica, se avesse massa $m = 1{,}0\ \text{g}$ e fosse lasciata libera in $C$ (le altre due restano ferme);

e) il lavoro necessario per portare la terza carica, al posto di $C$ , nel punto medio $M$ del segmento $AB$ .

Teoria: Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1.

a) Potenziale in $C$

Il potenziale è la somma scalare dei potenziali delle due cariche; $C$ dista $a = 0{,}20$ m da ciascuna:

$V_C = k\frac{q}{a} + k\frac{q}{a} = 2\cdot 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{5{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}20} = 449\ \text{V}$

b) Lavoro dell'agente esterno

Portare la carica lentamente (energia cinetica trascurabile) significa che l'agente esterno compie un lavoro uguale all'aumento di energia potenziale, cioè uguale e opposto al lavoro del campo:

$W_{\text{est}} = q\,(V_C - V_\infty) = q\,V_C = 5{,}0\cdot 10^{-9}\cdot 449 = 2{,}25\cdot 10^{-6}\ \text{J}$

È positivo: le cariche si respingono, quindi bisogna spingere contro il campo.

c) Energia del sistema

L'energia di una configurazione è il lavoro necessario per costruirla dall'infinito, una carica alla volta:

la prima carica (in $A$ ): lavoro nullo (nessun campo);
la seconda (in $B$ ): $k q^2/a = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{(5{,}0\cdot 10^{-9})^2}{0{,}20} = 1{,}12\cdot 10^{-6}$ J;
la terza (in $C$ ): $2{,}25\cdot 10^{-6}$ J (punto b).

$U = 0 + 1{,}12\cdot 10^{-6} + 2{,}25\cdot 10^{-6} = 3{,}37\cdot 10^{-6}\ \text{J}$

Controllo con la somma sulle tre coppie, tutte alla stessa distanza $a$ : $U = 3\,k q^2/a = 3\cdot 1{,}12\cdot 10^{-6} = 3{,}37\cdot 10^{-6}$ J ✓. Il risultato non dipende dall'ordine con cui si sono portate le cariche.

d) Velocità all'infinito

La terza carica, lasciata libera in $C$ senza velocità, viene respinta e si allontana: l'energia potenziale $qV_C$ si trasforma in cinetica (le altre cariche restano ferme, quindi per questa carica $\tfrac12 m v^2 + qV$ si conserva):

$\tfrac12 m v^2 = q V_C \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qV_C}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}25\cdot 10^{-6}}{1{,}0\cdot 10^{-3}}} = 6{,}7\cdot 10^{-2}\ \text{m/s}$

Cioè circa $6{,}7$ cm/s: le forze elettriche di nanocoulomb sono piccole in assoluto, come l'energia in gioco.

e) Verso il punto medio

Il punto $M$ dista $a/2 = 0{,}10$ m da $A$ e da $B$ :

$V_M = 2\cdot k\frac{q}{a/2} = 2\cdot 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{5{,}0\cdot 10^{-9}}{0{,}10} = 899\ \text{V}$

Il lavoro dell'agente esterno è $qV_M = 4{,}49\cdot 10^{-6}$ J, il doppio del caso $C$ . Ha senso: $M$ è più vicino alle due cariche, e il potenziale cresce al diminuire della distanza. In $M$ il campo è nullo per simmetria, ma il potenziale no: il lavoro dipende dalla differenza di potenziale tra l'infinito e il punto, non dal valore del campo nel punto di arrivo.

Risultati

grandezza	valore
a) potenziale in $C$	$449\ \text{V}$
b) lavoro per portare la carica in $C$	$2{,}25\cdot 10^{-6}\ \text{J}$
c) energia del sistema	$3{,}37\cdot 10^{-6}\ \text{J}$
d) velocità all'infinito	$6{,}7\cdot 10^{-2}\ \text{m/s}$
e) lavoro per portarla in $M$	$4{,}49\cdot 10^{-6}\ \text{J}$

Errori comuni

Calcolare l'energia del sistema come $3\,q V_C$ : ogni coppia va contata una sola volta.
Sommare i potenziali come vettori o usare $\sqrt2$ : sono scalari, basta la somma.
Dare lavoro negativo all'agente esterno per cariche dello stesso segno: deve vincere la repulsione, quindi è positivo.
Dimenticare di convertire i grammi in chilogrammi in d.

Versione ripasso

Testo. Due cariche $q = +5{,}0$ nC fisse in $A$ e $B$ a distanza $a = 0{,}20$ m; una terza carica uguale portata lentamente dall'infinito nel vertice $C$ del triangolo equilatero. Potenziale in $C$ ; lavoro esterno; energia totale; velocità all'infinito se $m = 1{,}0$ g e libera; lavoro per portarla nel punto medio di $AB$ .

Soluzione

(Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1)

$V_C = 2kq/a = 449$ V.
$W_{\text{est}} = qV_C = 2{,}25\cdot 10^{-6}$ J (positivo: repulsione).
$U = 0 + kq^2/a + qV_C = 3kq^2/a = 3{,}37\cdot 10^{-6}$ J (somma sulle tre coppie).
$\tfrac12mv^2 = qV_C \Rightarrow v = 6{,}7\cdot 10^{-2}$ m/s.
Punto medio: $V_M = 2kq/(a/2) = 899$ V, $W = qV_M = 4{,}49\cdot 10^{-6}$ J (campo nullo ma potenziale diverso da zero).

Errori tipici: contare le coppie due volte; potenziali come vettori; lavoro negativo; grammi non convertiti.

Teoria collegata

Lavoro e potenziale elettrostatico - Fisica 1