Esercizio 106campo di un anello carico sul suo asse

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Impostazione

Per simmetria il campo sull'asse è diretto lungo l'asse e vale

$$E_z = \frac{k\,Q\,z}{\left(z^2 + R^2\right)^{3/2}}$$

Dato $Q>0$ è uscente dall'anello: positivo per $z>0$. Dati: $k\,Q = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot 8{,}0\cdot 10^{-9} = 71{,}9\ \text{N m}^2/\text{C}$.

a) Campo in $z = 12$ cm

Con $z = 0{,}12$ m e $R = 0{,}05$ m: $z^2 + R^2 = 0{,}0144 + 0{,}0025 = 0{,}0169$ m$^2$, e $(z^2+R^2)^{3/2} = 0{,}0169^{1{,}5} = 0{,}0169\cdot 0{,}13 = 2{,}197\cdot 10^{-3}$ m$^3$. Quindi

$$E_z = \frac{71{,}9\cdot 0{,}12}{2{,}197\cdot 10^{-3}} = 3{,}93\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$

(Il fattore $0{,}13$ è $\sqrt{0{,}0169}$: la distanza dell'anello dal punto è esattamente $0{,}13$ m, terna pitagorica $5$-$12$-$13$.)

Se invece si trattasse l'anello come una carica puntiforme $Q$ a distanza $z$: $$E_{\text{punt}} = \frac{kQ}{z^2} = \frac{71{,}9}{0{,}0144} = 4{,}99\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$ con un errore $\dfrac{4{,}99 - 3{,}93}{3{,}93} = 27\%$: a $z = 2{,}4\,R$ l'anello non è ancora "puntiforme".

b) Campo massimo

Si deriva $E_z(z)$ rispetto a $z$ e si pone uguale a zero:

$$\frac{dE_z}{dz} = kQ\,\frac{(z^2+R^2)^{3/2} - z\cdot\frac32(z^2+R^2)^{1/2}\cdot 2z}{(z^2+R^2)^{3}} = kQ\,\frac{R^2 - 2z^2}{(z^2+R^2)^{5/2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad z_{\max} = \frac{R}{\sqrt 2} = 3{,}54\ \text{cm}$$

Il campo parte da zero al centro, cresce fino a $z_{\max}$, poi decresce come $1/z^2$. Il valore massimo:

$$E_{\max} = \frac{kQ\,z_{\max}}{(z_{\max}^2+R^2)^{3/2}} = \frac{2\,kQ}{3\sqrt3\,R^2} = \frac{2\cdot 71{,}9}{3\cdot 1{,}732\cdot 0{,}0025} = 1{,}107\cdot 10^{4}\ \text{N/C}$$

Controllo con i numeri: $z_{\max}^2+R^2 = 0{,}00125+0{,}0025 = 0{,}00375$, $(0{,}00375)^{1{,}5} = 2{,}296\cdot 10^{-4}$; $E = 71{,}9\cdot 0{,}03536/2{,}296\cdot 10^{-4} = 1{,}107\cdot 10^{4}$ N/C ✓.

c) Forza sulla carica di prova

$$F = qE_{\max} = 2{,}0\cdot 10^{-9}\cdot 1{,}107\cdot 10^{4} = 2{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{N}$$

diretta lungo l'asse, verso l'esterno (la carica è positiva e il campo è uscente). Per una massa di $1$ g questa forza darebbe $0{,}022$ m/s$^2$: effetto piccolo ma misurabile.

d) Approssimazione puntiforme lontano

A $z = 0{,}50$ m: $z^2+R^2 = 0{,}25+0{,}0025 = 0{,}2525$ e $E_{\text{esatto}} = 71{,}9\cdot 0{,}5/0{,}2525^{1{,}5} = 35{,}95/0{,}12688 = 283{,}3$ N/C, mentre $E_{\text{punt}} = 71{,}9/0{,}25 = 287{,}6$ N/C. Il rapporto è

$$\frac{E_{\text{esatto}}}{E_{\text{punt}}} = \left(1 + \frac{R^2}{z^2}\right)^{-3/2} = 1{,}01^{-1{,}5} = 0{,}985$$

L'errore è $1{,}5\%$: dieci volte la distanza dell'anello basta per scordarsi della sua forma.

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Risultati

Errori comuni

• Mettere $z^2$ invece di $(z^2+R^2)^{3/2}$ al denominatore: darebbe la carica puntiforme.
• Dimenticare il fattore $z$ al numeratore (la proiezione sull'asse): senza di lui il campo al centro non sarebbe nullo.
• Dire che il campo è massimo al centro dell'anello: lì è zero.
• Dare l'unità in V: il campo è in N/C o V/m.