Esercizio 107elettrone che attraversa un condensatore piano

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Impostazione

Il campo è verso $+y$ e la carica è negativa: la forza $\vec F = q\vec E = -e\vec E$ punta verso $-y$ (in basso). Quindi la forza è costante e perpendicolare alla velocità iniziale: il moto è del tipo "lancio orizzontale" (Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico →), con $a_y = -eE/m_e$ al posto di $-g$ e $a_x = 0$.

a) Accelerazione e tempo di transito

$$a = \frac{eE}{m_e} = \frac{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}5\cdot 10^{3}}{9{,}109\cdot 10^{-31}} = 2{,}64\cdot 10^{14}\ \text{m/s}^2$$

Orizzontalmente il moto è uniforme, quindi il tempo per percorrere la lunghezza $L$ è

$$t = \frac{L}{v_0} = \frac{0{,}050}{2{,}0\cdot 10^{7}} = 2{,}5\cdot 10^{-9}\ \text{s}$$

b) Deflessione e velocità in uscita

Verso il basso, in $t = 2{,}5$ ns:

$$|y| = \tfrac12 a t^2 = \tfrac12\cdot 2{,}64\cdot 10^{14}\cdot(2{,}5\cdot 10^{-9})^2 = 8{,}2\cdot 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}82\ \text{mm}$$

$$v_y = a\,t = 2{,}64\cdot 10^{14}\cdot 2{,}5\cdot 10^{-9} = 6{,}6\cdot 10^{5}\ \text{m/s} \text{ (verso il basso)}$$

La componente $v_x = v_0 = 2{,}0\cdot 10^{7}$ m/s non cambia. In uscita:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = 2{,}001\cdot 10^{7}\ \text{m/s} \qquad \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{6{,}6\cdot 10^{5}}{2{,}0\cdot 10^{7}} = 0{,}0330 \;\Rightarrow\; \theta = 1{,}89^\circ\text{ sotto l'asse } x$$

La traiettoria tra le lastre è una parabola (poco curva: $y\ll L$).

c) Deviazione sullo schermo

Dopo le lastre non ci sono forze: il moto è rettilineo uniforme con l'angolo $\theta$. Il tempo e lo spostamento verticale aggiuntivo in $D = 0{,}20$ m sono $t' = D/v_0$ e $v_y t' = D\,v_y/v_0 = D\tan\theta$:

$$Y = |y| + D\tan\theta = 0{,}82\cdot 10^{-3} + 0{,}20\cdot 0{,}0330 = 7{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{m} = 7{,}4\ \text{mm}$$

Quasi tutta la deviazione si accumula dopo le lastre: è il principio del tubo a raggi catodici degli oscilloscopi. (Si può ottenere lo stesso risultato osservando che la retta di uscita, prolungata all'indietro, passa per il punto a metà delle lastre: $Y = \tan\theta\,(L/2 + D) = 0{,}0330\cdot 0{,}225 = 7{,}4$ mm ✓.)

d) Lavoro e confronto con $g$

La forza costante $eE$ agisce su uno spostamento verticale $|y|$ nel suo stesso verso:

$$W = eE\,|y| = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}5\cdot 10^{3}\cdot 8{,}24\cdot 10^{-4} = 1{,}98\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}24\ \text{eV}$$

Per il teorema dell'energia cineticaIl lavoro di tutte le forze è uguale alla variazione di energia cinetica.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica → questo è l'aumento di energia cinetica: infatti $\tfrac12 m_e v_y^2 = \tfrac12\cdot 9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot(6{,}6\cdot 10^{5})^2 = 1{,}98\cdot 10^{-19}$ J ✓ (l'energia iniziale è $\tfrac12 m_e v_0^2 = 1137$ eV, quasi invariata).

Rapporto con la gravità: $a/g = 2{,}64\cdot 10^{14}/9{,}81 = 2{,}7\cdot 10^{13}$. Il peso dell'elettrone è trascurabile (giustificata l'ipotesi iniziale).

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Risultati

Errori comuni

• Deviare l'elettrone nel verso del campo: la carica è negativa, la forza è opposta al campo.
• Usare $g$ nelle formule o includere il peso.
• Calcolare il tempo con la velocità finale invece che con $v_x$ costante.
• Dimenticare la deviazione aggiuntiva dopo le lastre (la parte maggiore di $Y$).