Esercizio 102sferette conduttrici messe a contatto

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a) Forza iniziale

Le cariche hanno segni opposti: la forza è attrattiva. Il modulo è

$$F_a = k\frac{|q_a q_b|}{d^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{6{,}0\cdot 10^{-6}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-6}}{0{,}30^2} = 1{,}20\ \text{N}$$

(Le distanze vanno in metri: $30$ cm $= 0{,}30$ m, $d^2 = 0{,}09$ m$^2$.)

b) Forza dopo il contatto

A contatto le sferette formano un unico conduttore. La carica totale si conserva:

$$q_{\text{tot}} = q_a + q_b = 6{,}0 - 2{,}0 = +4{,}0\ \mu\text{C}$$

Essendo identiche, quando vengono separate si dividono la carica a metà (per simmetria non c'è motivo che una ne tenga più dell'altra):

$$q' = \frac{q_{\text{tot}}}{2} = +2{,}0\ \mu\text{C} \text{ ciascuna}$$

Ora le cariche hanno lo stesso segno: la forza è repulsiva e vale

$$F_b = k\frac{q'^2}{d^2} = 8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\frac{(2{,}0\cdot 10^{-6})^2}{0{,}09} = 0{,}399\ \text{N}$$

La forza è diminuita (da $1{,}20$ a $0{,}40$ N) e ha cambiato verso, anche se la carica totale è la stessa: conta il prodotto delle cariche, $-12\to +4$ ($\mu$C$^2$).

c) Elettroni trasferiti

La sferetta $a$ passa da $+6{,}0$ a $+2{,}0\ \mu\text{C}$: ha perso $4{,}0\ \mu\text{C}$ di carica positiva, cioè ha acquistato $4{,}0\ \mu\text{C}$ di carica negativa, e i portatori mobili sono gli elettroni:

$$N = \frac{\Delta q}{e} = \frac{4{,}0\cdot 10^{-6}}{1{,}602\cdot 10^{-19}} = 2{,}50\cdot 10^{13} \text{ elettroni}$$

Sono passati dalla sferetta $b$ (che da $-2{,}0$ passa a $+2{,}0\ \mu\text{C}$, cioè perde la stessa quantità di carica negativa) alla sferetta $a$. È un numero grande, ma piccolissimo rispetto al numero di elettroni di una sferetta ($\sim 10^{23}$).

d) Accelerazione iniziale

Lasciata libera, ciascuna sferetta è soggetta alla sola forza repulsiva (gli effetti del peso si trascurano, la sferetta si pensa su un piano orizzontale liscio). Dalla seconda legge (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →):

$$a = \frac{F_b}{m} = \frac{0{,}399}{5{,}0\cdot 10^{-3}} = 79{,}9\ \text{m/s}^2$$

pari a circa $8{,}1\,g$. L'accelerazione non resta costante: man mano che le sferette si allontanano la forza diminuisce come $1/r^2$.

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Risultati

Errori comuni

• Dividere la carica totale per due senza il segno: la somma è algebrica ($6 + (-2) = 4$, non $8$).
• Dire che la forza resta uguale perché "la carica totale non cambia": cambia il prodotto $q_a q_b$.
• Confondere il verso del trasferimento: se un conduttore guadagna carica positiva è perché ha perso elettroni, e viceversa.