Sistemi di punti: forze interne ed esterne

Inizio del capitolo sui sistemi di punti materiali. Finora si è studiato un punto alla volta (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →); ora si studiano più punti che interagiscono tra loro, come due blocchi collegati da una molla, un pendolo appeso a un carrello, due palline che si urtano. Seguito: Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa →, Conservazione della quantità di motoSe la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto totale di un sistema resta costante (anche solo lungo un asse, se lì la forza esterna è nulla). Nelle esplosioni e negli urti si conserva perché le forze esterne non impulsive sono trascurabili nel brevissimo intervallo.Conservazione della quantità di moto →.

Che cos'è un sistema

Un sistema di punti materiali è un insieme di $N$ punti, con masse $m_1, m_2, \dots, m_N$ e posizioni $\vec r_1, \vec r_2, \dots, \vec r_N$, che scegliamo noi di considerare insieme. La scelta non è imposta dalla natura: in un problema con un blocchetto appoggiato su una piattaforma si può studiare il blocchetto da solo, la piattaforma da sola, oppure "blocchetto + piattaforma" come un unico sistema. Scegliere bene il sistema è spesso il passo decisivo di un esercizio, perché cambia quali forze sono interne e quali esterne.

La massa totale del sistema è

Definizione (massa totale di un sistema). $$M = \sum_{i=1}^{N} m_i$$

Esempio. Tre punti di $2$, $3$ e $5$ kg: $M = 2 + 3 + 5 = 10$ kg.

Forze interne e forze esterne

Su ogni punto $i$ del sistema agiscono due tipi di forze:

• forze interne: esercitate da altri punti del sistema. Si indica con $\vec F_{ij}$ la forza che il punto $j$ esercita sul punto $i$;
• forze esterne: esercitate da qualcosa che non fa parte del sistema (la Terra con la forza peso, un piano d'appoggio con la reazione vincolare, una parete, una molla attaccata a un muro). Si indica con $\vec F_i^{(E)}$ la risultante delle forze esterne sul punto $i$.

La seconda legge di Newton per il singolo punto $i$ è allora

$$m_i\,\vec a_i = \vec F_i^{(E)} + \sum_{j \ne i} \vec F_{ij}$$

Esempio. Blocchetto $m$ appoggiato su una piattaforma $M$, che scivola su un piano liscio. Se il sistema è "blocchetto + piattaforma":

Se invece il sistema fosse il solo blocchetto, la reazione normale e l'attrito esercitati dalla piattaforma diventerebbero forze esterne.

Le forze interne si annullano a coppie

Per il terzo principio della dinamica (azione e reazione) la forza che $j$ esercita su $i$ è uguale e opposta a quella che $i$ esercita su $j$, e le due forze stanno sulla retta che unisce i due punti:

Legge (le forze interne si presentano a coppie). $$\vec F_{ij} = -\vec F_{ji}$$

Esempio. Due pattinatori fermi su ghiaccio liscio: se il primo spinge il secondo con $30$ N, il secondo spinge il primo con $-30$ N, e la risultante interna è $30 - 30 = 0$.

Conseguenza fondamentale: la somma di tutte le forze interne è zero. Sommando su tutti i punti, ogni forza interna compare insieme alla sua opposta:

$$\vec R^{(I)} = \sum_i \sum_{j \ne i} \vec F_{ij} = \sum_{\text{coppie } (i,j)} \left(\vec F_{ij} + \vec F_{ji}\right) = \vec 0$$

Per esempio con tre punti: $\vec F_{12} + \vec F_{21} + \vec F_{13} + \vec F_{31} + \vec F_{23} + \vec F_{32} = \vec 0 + \vec 0 + \vec 0$.

Quindi, sommando le equazioni di Newton di tutti i punti, le forze interne spariscono:

Formula (somma delle equazioni di Newton: solo forze esterne). $$\sum_i m_i\,\vec a_i = \sum_i \vec F_i^{(E)} = \vec R^{(E)}$$

dove $\vec R^{(E)}$ è la risultante delle forze esterne. Questa uguaglianza è la base delle equazioni cardinali dei sistemi: dice che il moto "d'insieme" del sistema dipende solo dalle forze esterne. Il modo naturale di leggerla passa per il Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa → ($M\,\vec a_{CM} = \vec R^{(E)}$) e per la quantità di moto totale (Conservazione della quantità di motoSe la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto totale di un sistema resta costante (anche solo lungo un asse, se lì la forza esterna è nulla). Nelle esplosioni e negli urti si conserva perché le forze esterne non impulsive sono trascurabili nel brevissimo intervallo.Conservazione della quantità di moto →).

Esempio. Due blocchi da $2$ e $3$ kg uniti da un filo su un piano liscio e tirati da $F = 10$ N: $\sum m_i a_i = 10$ N, cioè $a = \frac{10}{5} = 2\ \text{m/s}^2$ per entrambi.

Attenzione: le forze interne si annullano nella somma, ma non spariscono dal moto dei singoli punti. Una molla compressa tra due blocchi non sposta il centro di massa, però fa allontanare i blocchi l'uno dall'altro.

Le forze interne possono compiere lavoro

Che la risultante delle forze interne sia nulla non vuol dire che il loro lavoro totale sia nullo. Il lavoro della coppia $\vec F_{12}$, $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$ è

$$dW = \vec F_{12}\cdot d\vec r_1 + \vec F_{21}\cdot d\vec r_2 = \vec F_{12}\cdot (d\vec r_1 - d\vec r_2)$$

che è diverso da zero ogni volta che la distanza tra i due punti cambia. Esempi: una molla compressa tra due carrelli che si allontanano (lavoro positivo, l'energia elastica diventa cinetica); l'attrito tra un blocchetto e una piattaforma su cui striscia (lavoro totale negativo, energia dissipata in calore). Se invece la distanza resta fissa (punti collegati da un'asta rigida, o un filo teso e inestensibile) il lavoro interno totale è nullo: è il caso del corpo rigidoUn corpo rigido è un sistema di punti a distanze reciproche fisse. Il suo centro di massa si calcola con integrali sulla densità (e con le simmetrie); il moto più generale è una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno a un asse.Corpo rigido e suo centro di massa →.

Per questo nel bilancio dell'energia di un sistema (Teoremi di König ed energia di un sistemaTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema →) compaiono sia il lavoro delle forze esterne sia quello delle forze interne, mentre nel bilancio della quantità di moto compaiono solo le esterne.

Le due equazioni cardinali

Per un sistema di punti valgono due equazioni che contengono solo le forze esterne (le interne si annullano anche nella somma dei momenti, perché ogni coppia di forze interne sta su una stessa retta e ha momento totale nullo):

Qui $\vec P = \sum_i m_i \vec v_i$ è la quantità di moto totale, $\vec L_O$ il momento angolare totale rispetto a un polo $O$ fisso e $\vec M_O^{(E)}$ il momento risultante delle forze esterne.

Errori comuni

• Non dichiarare il sistema prima di classificare le forze: la stessa forza (per esempio l'attrito tra blocchetto e piattaforma) è interna o esterna a seconda della scelta.
• Contare le forze interne nella risultante: per il moto del centro di massa non servono, ed è un vantaggio enorme, perché spesso sono le più difficili da calcolare (reazioni tra corpi, forze durante un urto).
• Concludere che le forze interne non compiono lavoro: lo compiono quando le distanze tra i punti cambiano (molle, attrito, esplosioni).