Assonometrie e viste ausiliarie

Le proiezioni ortogonali (Proiezioni ortogonali - metodo europeo e americanoUn oggetto 3D si descrive con più proiezioni ortogonali su piani perpendicolari (frontale, orizzontale, laterale), ribaltati nel piano del foglio. Metodo europeo (E, primo diedro): l'oggetto sta tra l'osservatore e il piano, quindi la pianta va sotto la frontale e la vista da sinistra a destra. Metodo americano (A, terzo diedro): il piano sta tra osservatore e oggetto, quindi la pianta va sopra e la vista da sinistra a sinistra. Le viste sono allineate (stessa larghezza tra frontale e pianta, stessa altezza tra frontale e laterale), la profondità si riporta con la linea a 45 gradi; si disegna il minimo di viste che definisce il pezzo; il simbolo del metodo va nel cartiglio.Proiezioni ortogonali - metodo europeo e americano →) sono precise ma "scomposte": per capire un pezzo bisogna combinare mentalmente tre immagini. L'assonometria dà invece una sola immagine del solido, in cui si vedono insieme tre facce: è il disegno che si usa per spiegare, per i cataloghi, per gli esplosi di montaggio e per gli schizzi di idee. Le viste ausiliarie, invece, restano proiezioni ortogonali ma su piani inclinati, per mostrare in vera forma le facce che le viste principali deformano. Prima: Disegno tecnico e norme UNI-ISO - formati, linee, scale e cartiglioIl disegno tecnico è un linguaggio normato (UNI EN ISO): ogni foglio ha un formato della serie A (rapporto 1 : √2, A0 = 1 m²: A4 = 210 × 297 mm), una cornice, un cartiglio in basso a destra e una scala scelta tra quelle unificate (1:2, 1:5, 1:10, 2:1, 5:1 ...). Le linee hanno tipo e spessore con significato preciso (continua grossa = contorni in vista, tratteggiata = nascosti, mista punto-tratto = assi, continua sottile = quote e tratteggi); gli spessori seguono la serie con ragione √2 e la scrittura ha altezze 2,5 - 3,5 - 5 - 7 mm.Disegno tecnico e norme UNI-ISO - formati, linee, scale e cartiglio →. Seguito: Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazioneUna sezione mostra l'interno di un pezzo: si taglia con un piano (traccia in linea mista, grossa agli estremi, con frecce e lettere A-A), si toglie la parte davanti e si disegna ciò che resta; la parte tagliata si tratteggia con linee sottili a 45 gradi a passo costante (stesso pezzo, stesso tratteggio; pezzi adiacenti in direzione opposta). Tipi: totale, a piani paralleli, a piani concorrenti, mezza sezione (pezzi simmetrici), parziale, ribaltata in loco (contorno sottile) e traslata. Per convenzione non si tratteggiano, se tagliati nel senso della lunghezza, viti, bulloni, dadi, perni, spine, chiavette, rivetti, alberi pieni, sfere, rulli, nervature, razze e denti. Altre convenzioni: viste interrotte, semi-viste, elementi ripetuti, intersezioni fittizie, superfici piane con diagonali.Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazione →. Esercizi: Esercizio - coordinate isometriche e ellissi di una staffa, Esercizio - cavaliera di un cilindro e confronto tra assonometrie, Esercizio - vera forma di una faccia inclinata con la vista ausiliaria.

Che cos'è un'assonometria

Si fissano nello spazio tre assi $x, y, z$ solidali al pezzo e si proietta il pezzo con raggi paralleli su un unico piano, il quadro. Sul quadro i tre assi appaiono come tre rette concorrenti e le lunghezze lungo ciascuno risultano moltiplicate per un coefficiente di riduzione ($k_x$, $k_y$, $k_z$), pari al rapporto tra lunghezza sul disegno e lunghezza vera. Secondo l'inclinazione dei raggi rispetto al quadro:

• assonometrie ortogonali (raggi perpendicolari al quadro): isometrica (i tre coefficienti sono uguali), dimetrica (due uguali), trimetrica (tutti diversi);
• assonometrie oblique (raggi inclinati): cavaliera e planometrica, con una faccia parallela al quadro.

Nelle assonometrie le linee parallele del pezzo restano parallele nel disegno, e i segmenti paralleli a un asse si misurano con il coefficiente di quell'asse. Le quote non si leggono: l'assonometria non serve per costruire il pezzo, ma per capirne la forma (la quotatura per la fabbricazione sta sulle proiezioni ortogonali).

Assonometria isometrica

Si guarda il pezzo lungo la diagonale del cubo, cioè dalla direzione $(1,1,1)$: i tre assi sono ugualmente inclinati rispetto al quadro e appaiono a $120^\circ$ l'uno dall'altro. Convenzionalmente $z$ è verticale e gli altri due assi sono inclinati di $30^\circ$ sull'orizzontale (da cui "assi a $30^\circ$").

Coefficiente di riduzione. L'angolo tra un asse e la direzione di osservazione ha coseno $1/\sqrt3$, quindi la sua proiezione sul quadro ha lunghezza

$$k = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0{,}816$$

Una lunghezza $L$ lungo un asse appare lunga $0{,}816\,L$. Per comodità si ignora la riduzione e si disegnano le lunghezze in scala 1:1: l'immagine risulta ingrandita di $1/0{,}816 = 1{,}225$ volte, ma resta fedele nelle proporzioni. (Si chiama allora "disegno in isometria", con le lunghezze vere sugli assi.)

Coordinate sul disegno. Con $x$ a destra in alto e $y$ a sinistra in alto, entrambi a $30^\circ$ sull'orizzontale, il punto $(x, y, z)$ ha coordinate sul foglio

$$u = (x - y)\cos 30^\circ, \qquad v = z + (x + y)\sin 30^\circ$$

(è la combinazione dei tre vettori degli assi; cfr. Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →). In questa scelta l'osservatore sta in basso a sinistra davanti e vede dall'alto: si vedono la faccia anteriore (piano $y = 0$), quella di sinistra ($x = 0$) e quella superiore.

Cerchi. Un cerchio disegnato su una faccia (cioè su un piano coordinato) diventa un'ellisse. Il suo asse minore è parallelo al terzo asse (quello perpendicolare al piano del cerchio) e quello maggiore gli è perpendicolare. Per un cerchio di diametro $d$:

• con la riduzione vera: asse maggiore $d$, asse minore $d/\sqrt3 = 0{,}577\,d$;
• disegnando in scala $1:1$ (ingrandimento $1{,}225$): asse maggiore $1{,}225\,d$, minore $0{,}707\,d$.

In tutti i casi il rapporto minore/maggiore è $1/\sqrt3 = 0{,}577$: le tre ellissi di un cubo sono uguali, solo ruotate. Nel disegno a mano le ellissi si approssimano con quattro archi di cerchio raccordati.

Esempio. Foro Ø14 sulla faccia superiore (disegno $1:1$): asse maggiore $14 \cdot \sqrt{3/2} = 17{,}1$ mm, orizzontale; asse minore $14/\sqrt2 = 9{,}9$ mm, verticale (parallelo all'asse $z$).

import math
c, s = math.cos(math.radians(30)), math.sin(math.radians(30))
def iso(x, y, z):
    return ((x - y) * c, z + (x + y) * s)

for nome, p in [("fronte base, destra in alto", (60, 0, 10)), ("angolo posteriore base", (60, 40, 10)),
                ("cima montante, dietro", (0, 40, 40)), ("cima montante, davanti-destra", (20, 20, 40))]:
    u, v = iso(*p)
    print(f"{nome}: u = {u:.2f}, v = {v:.2f}")
print("coefficiente di riduzione:", round(math.sqrt(2 / 3), 4), " ingrandimento:", round(math.sqrt(1.5), 4))
print("ellisse d = 14: maggiore", round(14 * math.sqrt(1.5), 2), " minore", round(14 / math.sqrt(2), 2))

L'uscita dà per i quattro punti $(51{,}96;\ 40{,}00)$, $(17{,}32;\ 60{,}00)$, $(-34{,}64;\ 60{,}00)$, $(0{,}00;\ 60{,}00)$; poi coefficiente $0{,}8165$, ingrandimento $1{,}2247$ e per le ellissi $17{,}15$ e $9{,}90$.

Cavaliera e dimetrica

Cavaliera. Il pezzo si orienta con una faccia importante (di solito quella con le forme circolari) parallela al quadro: si disegna in vera forma, con cerchi veri e angoli veri. La profondità si rappresenta con linee fuggenti inclinate di $45^\circ$ e ridotte a metà (coefficiente $0{,}5$), perché con la lunghezza intera l'oggetto sembrerebbe troppo lungo. Un cilindro con l'asse in profondità, di diametro 40 e lunghezza 40, si disegna con il cerchio frontale di diametro 40 e un secondo cerchio uguale spostato di $20\cos45^\circ = 14{,}1$ mm a destra e in alto, collegati da due tangenti. È la più facile da disegnare a mano, ma è la meno realistica.

Dimetrica. Due assi hanno lo stesso coefficiente. La versione ISO usa rapporti $1:1:1/2$ (due assi in scala vera, il terzo dimezzato) con l'asse verticale e il primo asse orizzontale in scala vera, quest'ultimo inclinato di circa $7^\circ$ (esattamente $7{,}2^\circ$) e l'asse dimezzato di circa $42^\circ$ (esattamente $41{,}4^\circ$, con $\cos 41{,}4^\circ = 3/4$), entrambi verso l'alto rispetto all'orizzontale, come nella isometrica: la faccia frontale è più grande e il disegno è più naturale della isometrica.

Procedura (schizzo isometrico con il metodo della scatola).

1. Disegna i tre assi a $120^\circ$ e il parallelepipedo che contiene il pezzo (lunghezza, larghezza, altezza vere sugli assi).
2. "Scava" la scatola togliendo le parti vuote, riportando le quote sempre parallelamente agli assi.
3. Aggiungi i fori: centro sulla faccia e ellisse con asse minore parallelo al terzo asse.
4. Cancella gli spigoli nascosti (di norma, nelle assonometrie, non si disegnano) e ripassa i contorni in vista.

Viste ausiliarie

Una faccia inclinata rispetto ai piani di proiezione compare accorciata e deformata nelle viste principali: se è inclinata dell'angolo $\alpha$ rispetto al piano di proiezione, una lunghezza $L$ lungo la linea di massima pendenza appare lunga $L\cos\alpha$, un'area $A$ appare $A\cos\alpha$ e un cerchio appare un'ellisse con asse minore $d\cos\alpha$. Per ricavare $\cos\alpha$ si può usare il prodotto scalare tra la normale alla faccia e la direzione di osservazione (Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →). Un segmento si vede in vera lunghezza solo se è parallelo al piano di proiezione.

Esempio. Una faccia rettangolare lunga $40$ mm lungo la pendenza e larga $50$ mm in profondità, inclinata di $30^\circ$ rispetto al piano orizzontale e perpendicolare al piano frontale: nella frontale si vede di taglio, come un segmento lungo $40$ mm (vera lunghezza); nella pianta appare larga $40\cos30^\circ = 34{,}6$ mm, con un'area $40 \cdot 50 \cos 30^\circ = 1732$ mm$^2$ invece di $2000$ mm$^2$; un foro Ø16 al centro appare in pianta come un'ellisse con assi $16$ mm (lungo la profondità) e $16\cos30^\circ = 13{,}9$ mm.

La vista ausiliaria è la proiezione ortogonale del pezzo su un piano parallelo alla faccia inclinata (e perpendicolare a uno dei piani principali), ribaltata sul foglio. Si costruisce così:

1. Si traccia da ogni punto della faccia una linea di richiamo perpendicolare alla traccia della faccia (cioè perpendicolare al suo lato visto di taglio).
2. Su queste linee si riportano le distanze: la larghezza lungo la faccia è quella vera del lato inclinato (vera lunghezza), la profondità (distanza dal riferimento) si trasporta dalla vista che mostra la profondità.
3. Si disegna la forma in vera grandezza; nel disegno si indica la direzione di osservazione con una freccia e una lettera maiuscola, che si ripete sotto la vista ausiliaria ("A").

Come si disegna di solito. Si mostra solo la parte che interessa (vista parziale, delimitata da una linea sottile a mano libera) così da non disegnare il resto del pezzo deformato; le parti del pezzo che nelle viste principali risultano deformate possono essere interrotte (viste parziali anche nelle principali). La vista ausiliaria si può disporre in linea con la freccia, oppure ruotata purché vi sia l'indicazione della rotazione accanto alla lettera. Altri casi di viste speciali: la vista locale (di una singola parte, per esempio un foro, senza disegnare tutto) e la vista particolare (un ingrandimento di un dettaglio, racchiuso da un cerchio sottile con una lettera e disegnato con la scala indicata, per esempio $A\ (5:1)$).

Riassunto

Errori comuni

• Usare angoli di $45^\circ$ nell'isometrica (sono $30^\circ$ sull'orizzontale): i $45^\circ$ sono della cavaliera.
• Disegnare i cerchi come cerchi veri nell'isometrica: sono ellissi con l'asse minore parallelo al terzo asse.
• Misurare con il righello oltre gli assi: in assonometria si misura solo parallelamente agli assi, mai lungo le diagonali.
• Dimenticare di ridurre a metà le fuggenti della cavaliera.
• Quotare un'assonometria per costruire il pezzo: le quote di fabbricazione stanno nelle proiezioni ortogonali.

Domande d'esame

1. Quanto valgono gli angoli tra gli assi in un'assonometria isometrica e che cosa sono i coefficienti di riduzione? Gli assi formano $120^\circ$; i coefficienti sono uguali e pari a $\sqrt{2/3} = 0{,}816$ (in pratica si disegna in scala $1:1$).
2. Che forma ha un cerchio in assonometria isometrica? Un'ellisse con rapporto minore/maggiore $0{,}577$; l'asse minore è parallelo al terzo asse.
3. Quali sono le caratteristiche della cavaliera? Faccia frontale in vera forma; fuggenti a $45^\circ$ ridotte a metà.
4. Quando serve una vista ausiliaria? Quando una faccia è inclinata rispetto ai piani principali e si vuole la sua forma vera: si proietta su un piano parallelo alla faccia, indicando freccia e lettera.