Prodotto scalare, norma e angoli

Esercizi svolti: Esercizio 86 · angoli, aree e volumi con il prodotto scalare, Esercizio 84 · prodotto scalare tra matrici con la traccia. Seguito: Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →, Basi ortonormali e Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →.

Perché serve una struttura in più

Gli elementi di uno spazio vettoriale possono essere oggetti molto diversi: frecce nel piano, matrici, polinomi, funzioni. In tutti questi casi si possono sommare e moltiplicare per un numero, ed è tutto quello che la definizione di spazio vettorialeUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali → richiede. Ma domande come "quanto è lungo questo polinomio?" o "che angolo formano queste due matrici?" non hanno una risposta naturale: lunghezze e angoli (e di conseguenza aree e volumi) sono una struttura metrica che non fa parte della definizione e va aggiunta. Lo strumento che la aggiunge è il prodotto scalare: da esso si ricavano norme, angoli, aree e volumi.

Si parte dai casi familiari ($\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$, dove lunghezze e angoli hanno un significato fisico) e poi definisce le stesse cose in $\mathbb{R}^n$ per analogia.

Lunghezza di un vettore in $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$

Il vettore $v = (a, b) \in \mathbb{R}^2$ si rappresenta con la freccia dall'origine al punto $(a, b)$. Con il teorema di Pitagora (i cateti sono lunghi $\lvert a \rvert$ e $\lvert b \rvert$: una lunghezza non può essere negativa, quindi si prende il valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) → della coordinata; elevando al quadrato il segno sparisce comunque, $\lvert a \rvert^2 = a^2$) la sua lunghezza è

$$\|v\| = \sqrt{a^2 + b^2} .$$

In $\mathbb{R}^3$, con $v = (a, b, c)$, si applica Pitagora due volte: prima nel piano orizzontale (la proiezione di $v$ sul piano $xy$ è lunga $\sqrt{a^2 + b^2}$), poi nel triangolo rettangolo verticale che ha come cateti questa proiezione e il segmento lungo $\lvert c \rvert$:

$$\|v\| = \sqrt{\left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} .$$

Notazione. In fisica si scrive $\lvert v \rvert$ e si chiama modulo. Qui si usano le doppie barre $\|v\|$ e il nome norma, per non confondere con il valore assoluto di un numero.

Il prodotto scalare in $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$

La definizione "fisica" è

$$v \cdot w = \|v\|\, \|w\| \cos \alpha ,$$

dove $\alpha$ è l'angolo tra i due vettori. L'espressione "l'angolo tra due vettori" è ambigua (i due vettori formano un angolo $\alpha$ e un angolo $360° - \alpha$), ma non importa: $\cos(360° - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos \alpha$ (il coseno è periodico di periodo $360°$ ed è una funzione pari, vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →), quindi il risultato è lo stesso. Il prodotto scalare è un numero, non un vettore.

Formula con le componenti. Se $v = (a_1, a_2)$ e $w = (b_1, b_2)$,

$$v \cdot w = a_1 b_1 + a_2 b_2 ,$$

e in $\mathbb{R}^3$ allo stesso modo $v \cdot w = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. È una formula molto comoda: si calcola con somme e prodotti, senza conoscere l'angolo.

Perché vale (la dimostrazione è breve). I vettori $v$, $w$ e $w - v$ formano un triangolo: $w - v$ è il lato che va dalla punta di $v$ alla punta di $w$. Il teorema del coseno (o di Carnot, la generalizzazione di Pitagora a un triangolo qualsiasi) dice che il lato opposto all'angolo $\alpha$ soddisfa

$$\|w - v\|^2 = \|v\|^2 + \|w\|^2 - 2\, \|v\|\, \|w\| \cos \alpha .$$

Si calcola il membro di sinistra con le componenti, $w - v = (b_1 - a_1,\ b_2 - a_2)$, sviluppando i quadrati:

$$\|w - v\|^2 = (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 = \underbrace{a_1^2 + a_2^2}_{\|v\|^2} + \underbrace{b_1^2 + b_2^2}_{\|w\|^2} - 2\,(a_1 b_1 + a_2 b_2) .$$

Confrontando le due espressioni, $\|v\|^2$ e $\|w\|^2$ si semplificano e resta $-2\|v\|\|w\| \cos\alpha = -2(a_1 b_1 + a_2 b_2)$, cioè $\|v\|\,\|w\| \cos \alpha = a_1 b_1 + a_2 b_2$. In $\mathbb{R}^3$ il conto è identico con una componente in più.

Con i numeri del grafico: $v \cdot w = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$, $\|v\|^2 = 10$, $\|w\|^2 = 5$, $\|w - v\|^2 = 4 + 1 = 5$, e infatti $10 + 5 - 2 \cdot 5 = 5$ ✓.

Le due formule insieme danno il coseno dell'angolo a partire dalle componenti:

$$\cos \alpha = \frac{v \cdot w}{\|v\|\, \|w\|} .$$

Norma dal prodotto scalare. Con $w = v$ l'angolo è $0$ e $\cos 0 = 1$, quindi

$$v \cdot v = \|v\|^2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \|v\| = \sqrt{v \cdot v} .$$

Conclusione importante: la struttura fondamentale è il prodotto scalare. Da esso si ottengono le lunghezze ($\|v\| = \sqrt{v \cdot v}$) e quindi gli angoli (formula del coseno, che contiene solo prodotti scalari).

Prodotto scalare e norma in $\mathbb{R}^n$

In $\mathbb{R}^n$ non si può andare "col metro" a misurare: lunghezze e angoli si definiscono, copiando le formule di $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$.

Definizione. Per $v = (a_1, \dots, a_n)$ e $w = (b_1, \dots, b_n)$ in $\mathbb{R}^n$: $$v \cdot w = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n, \qquad \|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{a_1^2 + \dots + a_n^2} .$$

Se i vettori sono scritti in colonna, $v \cdot w = v^T w$ (riga per colonna).

Esempio. $v = (1, 2, -1, 3)$, $w = (2, 0, 4, 1)$: si moltiplicano le componenti nella stessa posizione e si sommano, $v \cdot w = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 2 + 0 - 4 + 3 = 1$; $\|v\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 1 + 9} = \sqrt{15}$.

Proprietà (si verificano direttamente dalla formula), per ogni $u, v, w \in \mathbb{R}^n$ e $\lambda \in \mathbb{R}$:

La positività è il motivo per cui la definizione di norma è ragionevole: $\|v\|$ è sempre un numero reale $\ge 0$ (radice di una somma di quadrati) e vale $0$ solo per il vettore nullo (una somma di quadrati è zero solo se ogni quadrato è zero). Queste tre proprietà (simmetria, bilinearità, positività) sono quelle che caratterizzano un prodotto scalare in generale: sono tutto ciò che serve a dimostrare Cauchy-Schwarz e Gram-Schmidt, che quindi valgono anche per altri prodotti scalari (per esempio quello tra matrici con la traccia, Esercizio 84 · prodotto scalare tra matrici con la traccia).

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e l'angolo in $\mathbb{R}^n$

Si vorrebbe definire l'angolo tra due vettori di $\mathbb{R}^n$ con la stessa formula $\cos \alpha = \frac{v \cdot w}{\|v\| \|w\|}$. Ha senso geometrico: due vettori, anche in $\mathbb{R}^n$, generano un sottospazio di dimensione (al più) $2$, cioè un piano, e l'angolo è quello in quel piano. Ma c'è un problema logico: il coseno sta sempre tra $-1$ e $1$, quindi bisogna essere sicuri che quel rapporto stia tra $-1$ e $1$. Non è automatico: serve un teorema.

Teorema (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Per ogni $v, w \in \mathbb{R}^n$: $$\lvert v \cdot w \rvert \le \|v\|\, \|w\| .$$ Inoltre vale l'uguaglianza se e solo se $v$ e $w$ sono proporzionali.

Esempio. $v = (1,2)$ e $w = (3,1)$: $|v \cdot w| = 5 \le \|v\|\,\|w\| = \sqrt{5}\sqrt{10} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$.

Dimostrazione (è breve). Se $w = 0$ entrambi i membri sono $0$. Se $w \ne 0$, per ogni $t \in \mathbb{R}$ il vettore $v + t w$ ha norma al quadrato $\ge 0$:

$$0 \le (v + tw) \cdot (v + tw) = \|w\|^2\, t^2 + 2 (v \cdot w)\, t + \|v\|^2 .$$

(Lo sviluppo usa la linearità in ciascun argomento e la simmetria: $(v + tw) \cdot (v + tw) = v \cdot v + t\, (v \cdot w) + t\, (w \cdot v) + t^2\, (w \cdot w)$, e i due termini centrali sono uguali.)

È un polinomio di secondo grado $a t^2 + b t + c$ in $t$, con $a = \|w\|^2 > 0$, $b = 2(v \cdot w)$, $c = \|v\|^2$, che non diventa mai negativo. Se avesse due radici reali distinte, tra le due radici sarebbe negativo (una parabola con $a > 0$ sta sotto l'asse proprio tra le radici): quindi non le ha, e il suo discriminante è $\le 0$. Con $b$ pari conviene la formula ridotta $\frac{\Delta}{4} = \left(\frac b2\right)^2 - ac$:

$$\frac{\Delta}{4} = (v \cdot w)^2 - \|w\|^2 \|v\|^2 \le 0 \quad \Longrightarrow \quad (v \cdot w)^2 \le \|v\|^2 \|w\|^2 ,$$

e prendendo la radice (che è crescente, e $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$ per il valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →) si ottiene $\lvert v \cdot w \rvert \le \|v\|\,\|w\|$. L'uguaglianza vale quando $\Delta = 0$, cioè quando la parabola tocca l'asse in un punto $t_0$: lì $\|v + t_0 w\| = 0$, quindi $v + t_0 w = 0$ per la positività, cioè $v = -t_0 w$: i vettori sono proporzionali ∎.

Conseguenza. Dividendo per $\|v\|\,\|w\|$ (se entrambi non nulli): $-1 \le \frac{v \cdot w}{\|v\|\,\|w\|} \le 1$. Ora la definizione è lecita:

Definizione. L'angolo tra due vettori non nulli $v, w \in \mathbb{R}^n$ è l'unico $\alpha \in [0, \pi]$ tale che $$\cos \alpha = \frac{v \cdot w}{\|v\|\, \|w\|}, \qquad \text{cioè} \quad \alpha = \arccos \frac{v \cdot w}{\|v\|\, \|w\|} .$$

"L'unico" è giustificato dall'arcocosenoPer angoli tra 0 e π il coseno è strettamente decrescente e assume una sola volta ogni valore tra −1 e 1: la sua inversa su quell'intervallo è arccos.Funzioni trigonometriche e loro inverse →: ogni numero di $[-1, 1]$ è il coseno di uno e un solo angolo di $[0, \pi]$.

I casi estremi confermano che la definizione è sensata:

Esempio. $v = (1, 1, 1, 1)$, $w = (1, 0, 1, 0)$: $v \cdot w = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$, $\|v\| = \sqrt{4} = 2$, $\|w\| = \sqrt{2}$, quindi $\cos \alpha = \frac{2}{2 \cdot \sqrt2} = \frac{1}{\sqrt 2}$ e $\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\pi}{4}$ ($45°$). Dettagli nell'Esercizio 86 · angoli, aree e volumi con il prodotto scalare.

Disuguaglianza triangolare (conseguenza di Cauchy-Schwarz): $\|v + w\| \le \|v\| + \|w\|$. Infatti $\|v + w\|^2 = \|v\|^2 + 2 v \cdot w + \|w\|^2 \le \|v\|^2 + 2\|v\|\|w\| + \|w\|^2 = (\|v\| + \|w\|)^2$. Il passaggio $\le$ usa $v \cdot w \le \lvert v \cdot w \rvert \le \|v\|\,\|w\|$ (un numero non supera il suo valore assoluto, poi Cauchy-Schwarz); l'ultimo è il quadrato di un binomio. Infine si prende la radice: entrambi i membri sono $\ge 0$ e la radice è crescente, quindi la disuguaglianza resta nello stesso verso. In un triangolo un lato non supera la somma degli altri due.

Ortogonalità e versori

Definizione. Due vettori $v, w$ sono ortogonali (o perpendicolari), e si scrive $v \perp w$, se $v \cdot w = 0$.

Esempio. $(1,2) \cdot (2,-1) = 2 - 2 = 0$: i due vettori sono ortogonali.

Per vettori non nulli vuol dire angolo retto, perché $\cos \alpha = 0$. Il vettore nullo è ortogonale a tutti.

Perché è importante. Una base è come un sistema di riferimento: lavorare con assi perpendicolari è molto più comodo che con assi inclinati. Per questo si cercheranno basi ortonormaliUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →.

Teorema di Pitagora in $\mathbb{R}^n$: se $v \perp w$ allora $\|v + w\|^2 = \|v\|^2 + \|w\|^2$ (nello sviluppo di $\|v + w\|^2$ il termine $2\, v \cdot w$ è nullo).

Definizione. Un vettore è normalizzato (un versore) se ha norma $1$.

Normalizzare un vettore $v \ne 0$ è facile: si divide per la sua norma,

$$\frac{v}{\|v\|} \quad \text{ha norma} \quad \frac{\|v\|}{\|v\|} = 1 \qquad \text{(per la proprietà } \|\lambda v\| = \lvert \lambda \rvert \|v\| \text{ con } \lambda = 1/\|v\|).$$

Esempio: $v = (3, 0, 4)$, $\|v\| = 5$, versore $\left(\frac35, 0, \frac45\right)$.

Proiezione ortogonale su una retta

Più delicato che normalizzare è rendere perpendicolari due vettori che non lo sono. L'idea: si tiene fisso il primo vettore $u$ e si scompone il secondo, $w$, in una parte parallela a $u$ e una parte perpendicolare a $u$:

$$w = w' + v, \qquad w' \in \langle u \rangle, \qquad v \perp u .$$

Calcolo di $w'$. Una incognita richiede una equazione.

1. $w'$ sta sulla retta generata da $u$, quindi $w' = \lambda u$ per un certo numero $\lambda$ (l'incognita).
2. La parte perpendicolare è $v = w - w' = w - \lambda u$.
3. L'equazione è la condizione di perpendicolarità $v \cdot u = 0$: $$(w - \lambda u) \cdot u = 0 \iff w \cdot u - \lambda\, (u \cdot u) = 0 \iff \lambda = \frac{w \cdot u}{u \cdot u} .$$

Proiezione ortogonale di $w$ sulla retta $\langle u \rangle$ ($u \ne 0$): $$w' = \frac{w \cdot u}{u \cdot u}\, u .$$

Esempio. $u = (1, 1)$, $w = (3, 1)$: $\lambda = \frac{3 + 1}{1 + 1} = 2$, $w' = (2, 2)$, $v = w - w' = (1, -1)$. Controllo: $v \cdot u = 1 - 1 = 0$ ✓.

Questa formula è il mattone di tutto il seguito: la proiezione su un sottospazio qualunque (Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →) e il procedimento di Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →.

Un'applicazione: il lavoro di una forza

In meccanica il lavoro di una forza costante $F$ su uno spostamento $s$ è il prodotto scalare $L = F \cdot s = \|F\|\,\|s\| \cos\alpha$: conta solo la componente della forza lungo lo spostamento, la proiezione di $F$ su $s$ (si veda la sezione sulla proiezione ortogonale su una retta). Esempio: $F = (30, 40)$ N e $s = (2, 0)$ m danno $L = 30 \cdot 2 + 40 \cdot 0 = 60$ J, e infatti la componente di $F$ lungo $x$ è $30$ N, per $2$ m. L'angolo tra forza e spostamento è dato da $\cos\alpha = \frac{F \cdot s}{\|F\|\,\|s\|} = \frac{60}{50 \cdot 2} = \frac35$, cioè $\alpha \approx 53{,}1^\circ$. Una forza perpendicolare allo spostamento, come $F = (0, 100)$ N con $s = (2, 0)$ m, ha $F \cdot s = 0$: non compie lavoro.

Aree e volumi in $\mathbb{R}^n$

Area di un parallelogramma

Due vettori $v, w \in \mathbb{R}^n$ individuano un parallelogramma: anche se sta in $\mathbb{R}^n$ è una figura piana (è contenuto nel piano $\langle v, w \rangle$), quindi la sua area è base per altezza. Presa come base $v$, l'altezza è la distanza della punta di $w$ dalla retta di $v$, cioè il cateto opposto ad $\alpha$ nel triangolo rettangolo di ipotenusa $\|w\|$: vale $\|w\| \sin \alpha$ (e $\sin \alpha \ge 0$ perché $\alpha \in [0, \pi]$). Quindi

$$\mathcal{A} = \|v\|\, \|w\| \sin \alpha .$$

Per non dover calcolare il seno (si conosce comodamente solo il coseno), si eleva al quadrato e si usa $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ (la relazione fondamentale $\sin^2 + \cos^2 = 1$):

$$\mathcal{A}^2 = \|v\|^2 \|w\|^2 (1 - \cos^2 \alpha) = \|v\|^2 \|w\|^2 - \|v\|^2 \|w\|^2 \frac{(v \cdot w)^2}{\|v\|^2 \|w\|^2} = \|v\|^2 \|w\|^2 - (v \cdot w)^2 .$$

Ricordando che $\|v\|^2 = v \cdot v$, si riconosce un determinante $2 \times 2$Il determinante di (a b; c d) è ad − bc.Permutazioni e definizione di determinante →:

$$\mathcal{A}^2 = (v \cdot v)(w \cdot w) - (v \cdot w)^2 = \det \begin{pmatrix} v \cdot v & v \cdot w \\ w \cdot v & w \cdot w \end{pmatrix} .$$

La matrice di tutti i prodotti scalari tra i vettori si chiama matrice di Gram; è simmetrica perché $v \cdot w = w \cdot v$. Il determinante, definito con le permutazioni in modo puramente combinatorio, ha quindi un significato geometrico: è legato alle aree.

Triangoli e poligoni. Un triangolo è metà parallelogramma: per il triangolo $PQR$ si usano i lati $Q - P$ e $R - P$. Un poligono si divide in triangoli con le diagonali.

Volume di un parallelepipedo

Tre vettori linearmente indipendenti $u, v, w$ individuano un parallelepipedo. Il volume (area di base per altezza) si calcola allo stesso modo, con conti più lunghi (sono nel libro); il risultato ha la stessa forma:

$$\mathcal{V}^2 = \det \begin{pmatrix} u \cdot u & u \cdot v & u \cdot w \\ v \cdot u & v \cdot v & v \cdot w \\ w \cdot u & w \cdot v & w \cdot w \end{pmatrix} .$$

Caso di $n$ vettori in $\mathbb{R}^n$. Se $M$ è la matrice che ha i vettori come colonne, la matrice di Gram è $M^T M$, e per il teorema di Binetdet(AB) = det A · det B, e inoltre det(Mᵀ) = det M.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → $\det(M^T M) = (\det M)^2$. Quindi in $\mathbb{R}^3$ il volume del parallelepipedo è semplicemente $\lvert \det M \rvert$, e in $\mathbb{R}^2$ l'area del parallelogramma è $\lvert \det(v\ w) \rvert$.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $v = (3, 1)$, $w = (1, 2)$: Gram $\begin{pmatrix} 10 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$, determinante $50 - 25 = 25$, area $5$; e infatti $\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 6 - 1 = 5$ ✓.

Queste formule sono la base su cui l'analisi costruisce, con gli integrali, aree e volumi di figure qualsiasi (suddivise in tanti piccoli parallelepipedi).

Riepilogo

Errori comuni

• Credere che il prodotto scalare sia un vettore: è un numero.
• Confondere $\|v\|^2$ con $\|v\|$: $v \cdot v$ dà il quadrato della norma.
• Scrivere la proiezione come $\frac{w \cdot u}{\|u\|} u$: al denominatore va $u \cdot u = \|u\|^2$. Solo se $u$ è un versore il denominatore vale $1$ e la formula diventa $(w \cdot u)\, u$.
• Calcolare l'area in $\mathbb{R}^n$ con un determinante $n \times 2$: non esiste; serve la matrice di Gram $2 \times 2$.
• Dimenticare la radice quadrata nelle formule di area e volume.