Esercizio 2sin x, cos x ed e^x sono linearmente indipendenti

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Cosa bisogna dimostrare

Le funzioni sono "vettori" dello spazio delle funzioniSomma e prodotto per un numero sono definiti punto per punto: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λ f(x).Spazi vettoriali →. Per la definizione di indipendenzaL'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo deve essere quella con tutti i coefficienti nulli.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → si scrive

$$a_1 f_1 + a_2 f_2 + a_3 f_3 = f_N,$$

dove $f_N$ è la funzione nulla (il vettore nullo di questo spazio): $f_N(x) = 0$ per ogni $x$. Scritto punto per punto:

$$a_1 \sin x + a_2 \cos x + a_3 e^x = 0 \qquad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}.$$

Attenzione a chi sono le incognite. Questa non è un'equazione in $x$ (non si cercano i valori di $x$ che la risolvono): deve valere per ogni $x$. Le incognite sono $a_1, a_2, a_3$. Se si scopre che devono essere tutti zero, le funzioni sono indipendenti.

Qui non ci sono componenti da sostituire, quindi non si ottiene direttamente un sistema: si usano le proprietà delle funzioni.

Passo 1: $a_3 = 0$, guardando cosa succede per $x \to +\infty$

$\sin x$ e $\cos x$ sono limitate (valori tra $-1$ e $1$, vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →), quindi $a_1 \sin x + a_2 \cos x$ è limitata: per la disuguaglianza triangolareIl modulo di una somma è al massimo la somma dei moduli.Valore assoluto (modulo) →

$$|a_1 \sin x + a_2 \cos x| \le |a_1|\,|\sin x| + |a_2|\,|\cos x| \le |a_1| + |a_2|.$$

Invece $e^x \to +\infty$ per $x \to +\infty$ (l'esponenziale di base e > 1La funzione e^x è positiva, crescente e tende a +∞ per x → +∞ e a 0 per x → −∞.Esponenziale e logaritmo → è crescente e illimitata).

Se fosse $a_3 > 0$, il termine $a_3 e^x$ tenderebbe a $+\infty$ e la somma (limitata + qualcosa che va a $+\infty$) tenderebbe a $+\infty$: non potrebbe essere $0$ per ogni $x$. Se fosse $a_3 < 0$, la somma tenderebbe a $-\infty$. Quindi l'unica possibilità è

$$a_3 = 0.$$

Lo stesso ragionamento scritto con i limiti. Si divide l'identità per $e^x$, che non è mai zero:

$$a_1 \frac{\sin x}{e^x} + a_2 \frac{\cos x}{e^x} + a_3 = 0 \qquad \text{per ogni } x.$$

Per $x \to +\infty$ i primi due termini tendono a $0$, per il teorema infinitesima per limitataIl prodotto di una funzione che tende a 0 per una funzione limitata tende a 0.Teoremi sui limiti di funzioni → ($e^{-x} \to 0$, $\sin x$ e $\cos x$ limitate). Il primo membro è costantemente $0$, quindi anche il suo limite è $0$: resta $a_3 = 0$.

Passo 2: $a_2 = 0$, scegliendo $x = 0$

Ora resta $a_1 \sin x + a_2 \cos x = 0$ per ogni $x$. Visto che vale per ogni $x$, vale in particolare per i valori più comodi. Con $x = 0$: $\sin 0 = 0$ e $\cos 0 = 1$, quindi

$$a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 1 = 0 \iff a_2 = 0.$$

Passo 3: $a_1 = 0$, scegliendo $x = \frac\pi2$

Resta $a_1 \sin x = 0$ per ogni $x$. Con $x = \frac\pi2$, dove $\sin \frac\pi2 = 1$: $a_1 = 0$.

Conclusione

L'unica combinazione lineare uguale alla funzione nulla è quella con $a_1 = a_2 = a_3 = 0$: $\sin x$, $\cos x$ ed $e^x$ sono linearmente indipendenti.

Un secondo metodo: tre valori di $x$ e un sistema

Si può evitare il limite scegliendo tre valori di $x$, tanti quanti i coefficienti incogniti. Con $x = 0$, $x = \frac\pi2$ e $x = \pi$ (dove seno e coseno valgono $0$ o $\pm 1$: $\sin 0 = 0$, $\cos 0 = 1$; $\sin \frac\pi2 = 1$, $\cos \frac\pi2 = 0$; $\sin \pi = 0$, $\cos \pi = -1$):

$$\begin{cases} a_2 + a_3 = 0 & (x = 0) \\ a_1 + e^{\pi/2}\, a_3 = 0 & (x = \frac\pi2) \\ -a_2 + e^{\pi}\, a_3 = 0 & (x = \pi) \end{cases}$$

Sommando la prima e la terza equazione $a_2$ si cancella: $(1 + e^\pi)\, a_3 = 0$, e poiché $1 + e^\pi > 0$ si ha $a_3 = 0$. Poi la prima dà $a_2 = 0$ e la seconda $a_1 = 0$.

Questo sistema è solo una conseguenza dell'identità di partenza (che vale per ogni $x$, quindi anche per quei tre): se già lui obbliga i coefficienti a essere nulli, a maggior ragione li obbliga l'identità completa. Se invece il sistema avesse avuto soluzioni non nulle non si sarebbe potuto concludere nulla: si sarebbero dovuti provare altri valori di $x$.

Osservazioni

• Scegliere valori di $x$ è lecito solo in questa direzione. Dall'uguaglianza "per ogni $x$" si possono dedurre condizioni sui coefficienti sostituendo valori particolari. Non si può invece dimostrare che una combinazione è nulla controllando qualche valore di $x$.
• Un esempio di funzioni dipendenti: $f_1 = \sin^2 x$, $f_2 = \cos^2 x$, $f_3 = 1$ (la costante). Vale $1 \cdot \sin^2 x + 1 \cdot \cos^2 x - 1 \cdot 1 = 0$ per ogni $x$ (è la relazione fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ della circonferenza goniometricaIl punto (cos x, sin x) sta sulla circonferenza di raggio 1, quindi cos² x + sin² x = 1.Funzioni trigonometriche e loro inverse →), con coefficienti non nulli: sono dipendenti.

Errori comuni

• Risolvere $a_1 \sin x + a_2 \cos x + a_3 e^x = 0$ come equazione in $x$: l'uguaglianza deve valere per tutti gli $x$, e si cercano i coefficienti.
• Scegliere un solo valore di $x$ e concludere: con $x = 0$ si ottiene solo $a_2 + a_3 = 0$, che non basta.