Esercizio 132riflessione rispetto a un piano e isometria affine

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1. La matrice della riflessione

La normale al piano è $n = (1, 2, 2)$, con $n \cdot n = 1 + 4 + 4 = 9$. La riflessione è $Q = I - \dfrac{2}{n\cdot n}\, nn^T$. Il prodotto $nn^T$ (colonna per riga) ha elemento $(i, j)$ uguale a $n_in_j$: $$nn^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}, \qquad Q = I - \frac29\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \frac19\begin{pmatrix} 7 & -4 & -4 \\ -4 & 1 & -8 \\ -4 & -8 & 1 \end{pmatrix} .$$ (Sulla diagonale: $1 - \frac29 = \frac79$, $1 - \frac89 = \frac19$; fuori diagonale $-\frac49$ e $-\frac89$.)

Ortogonalità. Le colonne (uguali alle righe: $Q$ è simmetrica) hanno norma $\frac19\sqrt{49 + 16 + 16} = \frac99 = 1$, $\frac19\sqrt{16 + 1 + 64} = 1$, e il prodotto scalare delle prime due è $\frac1{81}(-28 - 4 + 32) = 0$, delle prime e terza $\frac1{81}(-28 + 32 - 4) = 0$, delle ultime due $\frac1{81}(16 - 8 - 8) = 0$. Quindi $Q^TQ = I$. Poiché $Q$ è anche simmetrica, $Q^2 = Q^TQ = I$: ripetere la riflessione riporta al punto di partenza.

Determinante, traccia, autovalori. Il piano $\pi_0$ è fissato punto per punto ($\lambda = 1$ con autospazio di dimensione $2$) e la normale è rovesciata, $Qn = -n$ ($\lambda = -1$): autovalori $1, 1, -1$, quindi $\det Q = -1$ e $\operatorname{tr} Q = 1$. Controllo sulla matrice: $\operatorname{tr} Q = \frac{7 + 1 + 1}9 = 1$ ✓ e $Qn = \frac19(7 - 8 - 8,\ -4 + 2 - 16,\ -4 - 16 + 2) = \frac19(-9, -18, -18) = -n$ ✓.

2. Simmetrico di $A$ rispetto a $\pi_0$

$$QA = \frac19\begin{pmatrix} 7 - 4 - 4 \\ -4 + 1 - 8 \\ -4 - 8 + 1 \end{pmatrix} = \frac19\begin{pmatrix} -1 \\ -11 \\ -11 \end{pmatrix} .$$ Controllo. Il punto medio tra $A$ e $QA$ deve stare sul piano: $\frac12\left(A + QA\right) = \frac1{18}(8, -2, -2)$, e $n \cdot \frac1{18}(8, -2, -2) = \frac{8 - 4 - 4}{18} = 0$ ✓; e il vettore $A - QA = \frac19(10, 20, 20) = \frac{10}9\, n$ è parallelo alla normale ✓.

3. La riflessione rispetto al piano affine $\pi$

Per un piano $n\cdot x = d$ (qui $d = 3$) il simmetrico di $x$ è $F(x) = x - 2\,\dfrac{n\cdot x - d}{n\cdot n}\,n$. Sviluppando: $$F(x) = \underbrace{\left(x - \frac{2\,(n\cdot x)}{n\cdot n}\, n\right)}_{Qx} + \underbrace{\frac{2d}{n\cdot n}\, n}_{b}, \qquad b = \frac{2\cdot3}{9}(1, 2, 2) = \left(\frac23, \frac43, \frac43\right) .$$ Quindi $F(x) = Qx + b$ è una isometria affine inversa: la stessa $Q$ di prima seguita da una traslazione. Si controlla che i punti di $\pi$ restano fermi: $P = (3, 0, 0) \in \pi$ ($3 = 3$) ha $QP = \frac19(21, -12, -12) = \left(\frac73, -\frac43, -\frac43\right)$ e $QP + b = (3, 0, 0) = P$ ✓.

Immagine di $A$. $n \cdot A = 1 + 2 + 2 = 5$, quindi $n\cdot A - d = 2$ e $$F(A) = A - 2\cdot\frac29\,(1, 2, 2) = \left(1 - \frac49,\ 1 - \frac89,\ 1 - \frac89\right) = \left(\frac59, \frac19, \frac19\right) .$$ Con la forma $Qx + b$: $QA + b = \frac19(-1, -11, -11) + \frac19(6, 12, 12) = \frac19(5, 1, 1)$ ✓ (stesso risultato).

Distanza. $A$ dista dal piano $\frac{|n\cdot A - 3|}{\|n\|} = \frac23$, quindi $d(A, F(A)) = \frac43$. Verifica diretta: $A - F(A) = \left(\frac49, \frac89, \frac89\right)$ ha norma $\frac19\sqrt{16 + 64 + 64} = \frac{12}9 = \frac43$ ✓. Il punto medio $\frac12(A + F(A)) = \left(\frac79, \frac59, \frac59\right)$ sta su $\pi$: $\frac79 + \frac{10}9 + \frac{10}9 = \frac{27}9 = 3$ ✓.

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Errori comuni

• Usare $I - \frac{nn^T}{n\cdot n}$: è la proiezione ortogonale sul piano (rango $2$, non invertibile), non la riflessione.
• Per un piano che non passa per l'origine, usare solo la matrice $Q$: manca la traslazione $b = \frac{2d}{n\cdot n}n$ (la riflessione $Qx$ lascia fermo $\pi_0$, non $\pi$).
• Dimenticare di dividere per $n\cdot n$ quando $n$ non ha norma $1$.