Esercizio 42rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026)

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(a) Rango al variare di $a$

Strategia. Con un parametro conviene fare l'eliminazione di Gauss scegliendo come pivot elementi che non dipendono da $a$ (così non si rischia di dividere per qualcosa che potrebbe essere zero), e solo alla fine discutere i casi.

Pivot $a_{11} = 1$:

• $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$: $(2, 4a^2, -1) - (2, 4, 2) = (0, \ 4a^2 - 4, \ -3)$;
• $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$: $(-1, -2, a) + (1, 2, 1) = (0, \ 0, \ a + 1)$.

$$A \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4(a^2 - 1) & -3 \\ 0 & 0 & a + 1 \end{pmatrix}$$

È già triangolare. Il rango dipende da quali elementi diagonali si annullano: $4(a^2 - 1) = 0 \iff a = \pm 1$ e $a + 1 = 0 \iff a = -1$.

• $a \ne \pm 1$: i tre elementi diagonali sono non nulli, tre pivot: $\operatorname{rango}(A) = 3$.
• $a = 1$: la matrice è $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$; con $R_3 \leftarrow R_3 + \frac23 R_2$ l'ultima riga si annulla: $\operatorname{rango}(A) = 2$.
• $a = -1$: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\operatorname{rango}(A) = 2$.

Controllo con il determinante. Le operazioni fatte (sommare a una riga un multiplo di un'altra) non cambiano il determinanteIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →, e il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi diagonali; quindi, scomponendo la differenza di quadrati $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$, $\det A = 1 \cdot 4(a^2 - 1) \cdot (a + 1) = 4(a - 1)(a + 1)^2$, nullo esattamente per $a = \pm 1$ ✓. Il determinante dice quando il rango è massimo, ma non quanto vale il rango negli altri casi: per quello serve la forma a scala.

Risposta: $\operatorname{rango}(A) = 3$ per $a \ne \pm 1$, $\operatorname{rango}(A) = 2$ per $a = \pm 1$.

(b) Dimensione delle soluzioni di $AX = 0$

Lo spazio delle soluzioni di $AX = 0$ è il nucleo di $A$ e, per il teorema nullità + rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →, ha dimensione $3 - \operatorname{rango}(A)$ ($3$ = numero di incognite):

Per $a = \pm 1$ le soluzioni si trovano dalla forma a scala: la seconda riga è $(0, 0, -3)$ in entrambi i casi (perché $4(a^2 - 1) = 0$), cioè $-3x_3 = 0$, quindi $x_3 = 0$; la terza riga dà $2x_3 = 0$ (per $a = 1$) o $0 = 0$ (per $a = -1$), niente di nuovo. Poi la prima riga dà $x_1 + 2x_2 + 0 = 0$, cioè $x_1 = -2x_2$ con $x_2$ libera; ponendo $x_2 = 1$ si trova $(-2, 1, 0)$. Lo spazio è $\langle (-2, 1, 0) \rangle$ in entrambi i casi (si vede anche guardando $A$: la seconda colonna è il doppio della prima solo quando $4a^2 = 4$).

(c) $a = 1$: condizione su $b_1, b_2, b_3$

Si riduce la matrice completa con le stesse operazioni, portandosi dietro la colonna dei termini noti:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & b_1 \\ 2 & 4 & -1 & b_2 \\ -1 & -2 & 1 & b_3 \end{array}\right) \xrightarrow[R_3 + R_1]{R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & b_1 \\ 0 & 0 & -3 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 2 & b_3 + b_1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 + \frac23 R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & b_1 \\ 0 & 0 & -3 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 + b_1 + \frac23(b_2 - 2b_1) \end{array}\right)$$

L'ultimo termine noto si semplifica: $b_3 + b_1 + \frac23 b_2 - \frac43 b_1 = -\frac13 b_1 + \frac23 b_2 + b_3$.

L'ultima riga dice $0 = -\frac13 b_1 + \frac23 b_2 + b_3$. Per Rouché-CapelliAX = B ha soluzioni se e solo se rango(A) = rango(A|B).Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → il sistema ha soluzioni se e solo se questo numero è $0$ (altrimenti la riga sarebbe un'equazione impossibile $0 =$ numero non nullo, e il rango della completa salirebbe a $3$). Moltiplicando per $-3$:

$$\boxed{\ b_1 - 2b_2 - 3b_3 = 0\ }$$

Interpretazione. I $B$ per cui $AX = B$ ha soluzione sono quelli dell'immagine di $A$ (lo spazio generato dalle colonne, perché le immagini di una base generano l'immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine → e $Ae_j$ è la colonna $j$), che per $a = 1$ ha dimensione $\operatorname{rango}(A) = 2$: un piano per l'origine di $\mathbb{R}^3$, descritto da una equazione cartesianaProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi → ($3 - 2 = 1$ equazione). Controllo sulle colonne di $A$: prima colonna $(1, 2, -1)$: $1 - 4 + 3 = 0$ ✓; seconda colonna $(2, 4, -2)$, il doppio della prima: $2 - 8 + 6 = 0$ ✓; terza colonna $(1, -1, 1)$: $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

(d) $a = -1$, $C = (2, 7, c)$

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -1 & 7 \\ -1 & -2 & -1 & c \end{array}\right) \xrightarrow[R_3 + R_1]{R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & c + 2 \end{array}\right)$$

I conti delle righe: $R_2 - 2R_1 = (2 - 2,\ 4 - 4,\ -1 - 2 \,|\, 7 - 4) = (0, 0, -3 \,|\, 3)$ e $R_3 + R_1 = (-1 + 1,\ -2 + 2,\ -1 + 1 \,|\, c + 2) = (0, 0, 0 \,|\, c + 2)$. (La terza riga si annulla del tutto nella parte dei coefficienti, perché per $a = -1$ è l'opposta della prima.) Per Rouché-Capelli serve $\operatorname{rango}(A \,|\, C) = \operatorname{rango}(A) = 2$, cioè $c + 2 = 0$: $c = -2$.

Soluzioni per $c = -2$. Dalla seconda equazione $-3x_3 = 3$, cioè $x_3 = -1$. Dalla prima $x_1 + 2x_2 + x_3 = 2$, cioè $x_1 = 2 - 2x_2 + 1 = 3 - 2x_2$, con $x_2$ libera:

$$X = (3 - 2t, \ t, \ -1) = \underbrace{(3, 0, -1)}_{\text{soluzione particolare}} + t\,\underbrace{(-2, 1, 0)}_{\text{nucleo}}, \qquad t \in \mathbb{R}.$$

È la struttura generaleUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →: una soluzione particolare più il nucleo trovato in (b).

Verifica con $t = 0$: $A(3, 0, -1)^T = (3 + 0 - 1, \ 6 + 0 + 1, \ -3 + 0 + 1) = (2, 7, -2)$ ✓.

Errori comuni

• Dividere per un'espressione con il parametro (per esempio usare $4(a^2 - 1)$ come pivot senza dire "se $a \ne \pm 1$"): nei casi esclusi va rifatto il conto.
• Fermarsi al determinante: $\det A = 0$ dice solo che il rango è minore di $3$, non che è $2$.
• Dimenticare il nucleo in (d): le soluzioni sono infinite, una retta di $\mathbb{R}^3$, non il solo $(3, 0, -1)$.