Isometrie e matrici ortogonali

Prerequisiti: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Basi ortonormali e Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →, Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici → (matrice trasposta), Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →. Usi: Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. È l'ortodiagonalizzazione delle matrici simmetriche reali: serve per le direzioni principali (tensioni, momenti d'inerzia) e permette di scrivere le forme quadratiche come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche → (la matrice $P$ che ortodiagonalizza una simmetrica è ortogonale), Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →. Esercizi svolti: Esercizio 130 · riconoscere e completare matrici ortogonali, Esercizio 131 · una rotazione in R3, asse e angolo, Esercizio 132 · riflessione rispetto a un piano e isometria affine, Esercizio 133 · composizione di rotazioni e cambio di riferimento.

Che cosa è un'isometria

Una isometria è una trasformazione che conserva le distanze: manda una figura in una congruente, senza deformarla. Sono le trasformazioni "rigide": spostare un pezzo meccanico, ruotarlo attorno a un albero, specchiarlo. Quelle che fissano l'origine sono funzioni lineari, e le loro matrici hanno una forma particolare.

Definizione. Una funzione lineare $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $f(x) = Qx$, è una isometria lineare se conserva la norma: $\|Qx\| = \|x\|$ per ogni $x$. Una matrice $Q \in M_n(\mathbb{R})$ si dice ortogonale se $Q^T Q = I$.

Teorema. Per una matrice quadrata $Q$ sono equivalenti:

1. $Q^T Q = I$ (cioè $Q$ è invertibile con $Q^{-1} = Q^T$);
2. le colonne di $Q$ sono una base ortonormaleUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt → di $\mathbb{R}^n$;
3. le righe di $Q$ sono una base ortonormale di $\mathbb{R}^n$;
4. $Qx \cdot Qy = x \cdot y$ per ogni $x, y$ (conserva il prodotto scalare);
5. $\|Qx\| = \|x\|$ per ogni $x$ (conserva la norma).

Perché.

• (1) $\Leftrightarrow$ (2). L'elemento di posto $(i, j)$ di $Q^T Q$ è il prodotto scalare tra la colonna $i$ e la colonna $j$ di $Q$ (la riga $i$ di $Q^T$ è la colonna $i$ di $Q$). Quindi $Q^TQ = I$ vuol dire $q_i \cdot q_j = 1$ se $i = j$ e $0$ se $i \ne j$: colonne ortonormali.
• (1) $\Leftrightarrow$ (3). Da $Q^TQ = I$ segue $Q^{-1} = Q^T$ e quindi anche $QQ^T = I$, che dice che le righe sono ortonormali.
• (1) $\Rightarrow$ (4). $Qx \cdot Qy = (Qx)^T(Qy) = x^T Q^T Q\, y = x^T y = x \cdot y$.
• (4) $\Rightarrow$ (5). Si prende $y = x$: $\|Qx\|^2 = \|x\|^2$.
• (5) $\Rightarrow$ (4). Il prodotto scalare si ricava dalle norme: $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\,x \cdot y + \|y\|^2$, quindi $x \cdot y = \frac12\left(\|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right)$; se $Q$ conserva le tre norme (e $Q(x + y) = Qx + Qy$) conserva anche $x \cdot y$.
• (4) $\Rightarrow$ (2). $Qe_i \cdot Qe_j = e_i \cdot e_j = \delta_{ij}$, e $Qe_i$ è la colonna $i$ di $Q$. ∎

Dunque una matrice ortogonale conserva lunghezze, angoli (perché $\cos\alpha = \frac{x \cdot y}{\|x\|\,\|y\|}$ è fatto di prodotti scalari e norme) e ortogonalità: manda basi ortonormali in basi ortonormali. Nel linguaggio della nota sulle basi, è la matrice di passaggio tra due basi ortonormali.

Esempio. $Q = \begin{pmatrix} \frac35 & -\frac45 \\ \frac45 & \frac35 \end{pmatrix}$ ha colonne $(\frac35, \frac45)$ e $(-\frac45, \frac35)$, di norma $\sqrt{\frac9{25} + \frac{16}{25}} = 1$ e con prodotto scalare $-\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$. È ortogonale. Per $x = (5, 0)$: $Qx = (3, 4)$, di norma $5 = \|x\|$ ✓. Invece $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ ha colonne ortogonali ma di norma $\sqrt2$: non è ortogonale (la sua trasposta per se stessa dà $2I$); dividendo per $\sqrt2$ lo diventa.

Proprietà

Il segno del determinante distingue due famiglie. Se $\det Q = 1$ la trasformazione conserva l'orientazione (una terna destrorsa resta destrorsa): è una rotazione (isometria diretta). Se $\det Q = -1$ la inverte, come uno specchio: è una isometria inversa (riflessione, o riflessione composta con una rotazione). Il determinante a $\pm 1$ dice anche che aree e volumi non cambiano (Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →).

Attenzione. Il determinante $1$ non basta: $\operatorname{diag}(2, \frac12)$ ha determinante $1$ ma non è ortogonale. Serve $Q^TQ = I$.

Le isometrie del piano

Una matrice ortogonale $2 \times 2$ ha come prima colonna un vettore di norma $1$, cioè $(\cos\theta, \sin\theta)$ per un angolo $\theta$. La seconda colonna è un vettore di norma $1$ ortogonale alla prima, e nel piano ci sono solo due scelte: $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$. Quindi:

Le matrici ortogonali $2 \times 2$ sono tutte e sole $$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \ (\det = 1), \qquad S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \ (\det = -1) .$$ $R_\theta$ è la rotazione di angolo $\theta$ (in senso antiorario) attorno all'origine. $S_\theta$ è la riflessione rispetto alla retta per l'origine che forma l'angolo $\frac\theta2$ con l'asse $x$.

Per $R_\theta$: $R_\theta e_1 = (\cos\theta, \sin\theta)$ è $e_1$ ruotato di $\theta$. Gli autovalori sono $\cos\theta \pm i\sin\theta = e^{\pm i\theta}$, reali solo per $\theta = 0$ e $\theta = \pi$ (dove $R_\pi = -I$): una rotazione non fissa nessuna direzione. Per $S_\theta$ il polinomio caratteristico è $\lambda^2 - 1$ (traccia $0$, determinante $-1$): autovalori $1$ e $-1$, con autovettore $\left(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\right)$ per $1$ (la retta dello specchio, fissata punto per punto) e $\left(-\sin\frac\theta2, \cos\frac\theta2\right)$ per $-1$ (la direzione perpendicolare, che viene rovesciata).

Esempio. Per $\theta = 60^\circ$ si ha $S_\theta = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}2 \\ \frac{\sqrt3}2 & -\frac12 \end{pmatrix}$, la riflessione rispetto alla retta per l'origine che forma $30^\circ$ con l'asse $x$. Manda $e_1 = (1, 0)$ in $\left(\frac12, \frac{\sqrt3}2\right)$ (che sta a $60^\circ$, a distanza $30^\circ$ dalla retta dalla parte opposta di $e_1$) e fissa $\left(\frac{\sqrt3}2, \frac12\right)$: infatti $\frac12\cdot\frac{\sqrt3}2 + \frac{\sqrt3}2\cdot\frac12 = \frac{\sqrt3}2$ e $\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2 - \frac12\cdot\frac12 = \frac12$ ✓.

Composizioni. Il prodotto di due rotazioni è la rotazione che somma gli angoli, $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ (nel piano le rotazioni commutano). Due riflessioni successive danno una rotazione, di angolo il doppio di quello tra le due rette-specchio; una rotazione e una riflessione danno una riflessione (determinante $1 \cdot (-1) = -1$).

Le isometrie dello spazio

In $\mathbb{R}^3$ gli autovalori di una $Q$ ortogonale sono tre numeri (reali $\pm 1$, oppure una coppia coniugata $e^{\pm i\theta}$ di modulo $1$) con prodotto $\det Q = \pm 1$. Un polinomio caratteristico reale di grado $3$ ha almeno una radice reale (Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenzialeUn numero complesso è z = a + ib con i² = −1: si somma e si moltiplica come un polinomio in i, si divide con il coniugato, e si disegna come il punto (a, b) del piano. In forma trigonometrica z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ} il prodotto moltiplica i moduli e somma gli argomenti, da cui la formula di De Moivre zⁿ = rⁿ e^{inθ} e le n radici n-esime, che stanno ai vertici di un poligono regolare. Il teorema fondamentale dell'algebra dice che ogni polinomio di grado n ha n radici complesse (contate con molteplicità).Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale →), quindi c'è sempre un autovalore reale $\pm 1$. Se $\det Q = 1$ gli autovalori sono $1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}$ (per $\theta = 0$ o $\pi$ anche tutti reali).

Rotazioni ($\det Q = 1$). Una $Q \in M_3(\mathbb{R})$ ortogonale con $\det Q = 1$, diversa da $I$, è una rotazione attorno a un asse:

• l'asse è l'autospazio di $\lambda = 1$, cioè $\operatorname{Ker}(Q - I)$ (la retta dei punti fissi);
• l'angolo $\theta$ si ricava dalla traccia: $\operatorname{tr} Q = 1 + 2\cos\theta$, cioè $\cos\theta = \frac{\operatorname{tr} Q - 1}2$ (la traccia è la somma degli autovalori $1 + e^{i\theta} + e^{-i\theta}$);
• il verso si legge con il segno di $u \cdot (v \times Qv)$, dove $u$ è un vettore dell'asse e $v \perp u$ qualsiasi non nullo: positivo se la rotazione è antioraria guardando l'asse dalla punta di $u$ (regola della mano destra).

Nel piano ortogonale all'asse $Q$ agisce come una rotazione $R_\theta$: in una base ortonormale $\{u, v_1, v_2\}$ con $u$ sull'asse la matrice è $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$.

Riflessioni ($\det Q = -1$). La riflessione rispetto al piano per l'origine di normale $n \ne 0$ è $$Q = I - \frac{2}{n \cdot n}\, n n^T, \qquad Qx = x - 2\,\frac{x \cdot n}{n \cdot n}\, n .$$ Ha autovalori $1, 1, -1$: il piano è fissato punto per punto (autospazio di $1$, di dimensione $2$) e $n$ è rovesciato ($Qn = -n$). In generale una isometria inversa dello spazio è una riflessione composta con una rotazione attorno all'asse perpendicolare allo specchio (rotoriflessione): ha autovalore $-1$ con autovettore la normale e agisce come una rotazione sul piano ortogonale.

La formula della riflessione viene dalla proiezione ortogonaleL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →: il vettore $\frac{x \cdot n}{n \cdot n}n$ è la componente di $x$ lungo $n$, e per specchiare si toglie due volte quella componente (una volta per portare $x$ sul piano, una per andare dall'altra parte).

Come si riconosce una matrice $3 \times 3$.

1. Si controlla che $Q^TQ = I$ (colonne ortonormali).
2. Si calcola $\det Q$.
3. Se $\det Q = 1$: asse $= \operatorname{Ker}(Q - I)$, angolo da $\operatorname{tr} Q = 1 + 2\cos\theta$, verso dal segno di $u \cdot (v \times Qv)$.
4. Se $\det Q = -1$: si cerca l'autovettore di $-1$ (la normale $n$). Se la traccia è $1$ (autovalori $1, 1, -1$) è una riflessione pura nel piano $n^\perp$; altrimenti c'è anche una rotazione di angolo $\theta$ con $\operatorname{tr} Q = -1 + 2\cos\theta$.

Esempio. $Q = \frac13\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Le colonne hanno norma $\frac13\sqrt{4 + 4 + 1} = 1$ e sono a due a due ortogonali (per esempio $(2, 2, -1) \cdot (-1, 2, 2) = -2 + 4 - 2 = 0$). Il determinante vale $1$ e la traccia $2$: $\cos\theta = \frac{2 - 1}2 = \frac12$, $\theta = 60^\circ$. L'asse: la somma di ogni riga è $1$, quindi $Q(1, 1, 1) = (1, 1, 1)$ e l'asse è $\langle(1, 1, 1)\rangle$. Il verso: con $u = (1, 1, 1)$, $v = (1, -1, 0)$ e $Qv = (1, 0, -1)$ si ha $v \times Qv = (1, 1, 1)$ e $u \cdot (v \times Qv) = 3 > 0$: antioraria. È la rotazione di $60^\circ$ attorno a $(1,1,1)$ (dettagli in Esercizio 131 · una rotazione in R3, asse e angolo).

Isometrie affini

Una isometria dello spazio affine è una trasformazione $F$ che conserva le distanze tra punti: $d(F(P), F(P')) = d(P, P')$. Ogni isometria è del tipo (enunciato, senza dimostrazione) $$F(x) = Qx + b, \qquad Q \text{ ortogonale}, \ b \in \mathbb{R}^n,$$ cioè una isometria lineare seguita da una traslazione. Che questa $F$ conservi le distanze si vede subito: $\|F(x) - F(y)\| = \|Q(x - y)\| = \|x - y\|$. Esempi: le traslazioni ($Q = I$), le rotazioni attorno a un asse che non passa per l'origine, le riflessioni rispetto a un piano affine $n \cdot x = d$: $F(x) = x - 2\,\frac{n \cdot x - d}{n \cdot n}\, n$ (il punto simmetrico di $P$ si trova sulla retta per $P$ ortogonale al piano, alla stessa distanza dall'altra parte; vedi Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →).

Un'applicazione alla meccanica: cambiare riferimento

Le componenti di un vettore (una forza, una velocità) dipendono dal riferimento. Se il riferimento $x'y'$ è ruotato di $\theta$ rispetto a $xy$, i versori dei nuovi assi sono le colonne $e_1' = (\cos\theta, \sin\theta)$ e $e_2' = (-\sin\theta, \cos\theta)$ di $R_\theta$, e le componenti nel nuovo riferimento di un vettore $F$ sono $F' = (F \cdot e_1',\ F \cdot e_2') = R_\theta^T F = R_{-\theta} F$ (si usa che $R_\theta$ è ortogonale: la sua inversa è la trasposta). Per una forza $F = (100, 0)$ N e $\theta = 30^\circ$: $$F' = \begin{pmatrix} \cos30^\circ & \sin30^\circ \\ -\sin30^\circ & \cos30^\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 0 \end{pmatrix} = (50\sqrt3,\ -50) \approx (86{,}6;\ -50) \text{ N} .$$ Il modulo non cambia, $\sqrt{86{,}6^2 + 50^2} = 100$ N, perché il cambio di riferimento tra assi ortonormali è una matrice ortogonale. Lo stesso vale in $\mathbb{R}^3$ per le componenti di velocità angolare, momenti, tensioni.

Domande d'esame

• Dire se $Q$ (data) è ortogonale; in caso positivo calcolarne la matrice inversa senza fare l'eliminazione.
• Dato $Q$ ortogonale $3 \times 3$ con $\det Q = 1$, trovare asse e angolo di rotazione.
• Scrivere la matrice della riflessione rispetto al piano $x + 2y + 2z = 0$ e il simmetrico di un punto dato (anche rispetto a un piano che non passa per l'origine).
• Vero o falso: il determinante di una matrice ortogonale vale $\pm1$ (vero); una matrice con determinante $1$ è ortogonale (falso, controesempio $\operatorname{diag}(2, \frac12)$); una matrice ortogonale è sempre diagonalizzabile su $\mathbb{R}$ (falso: le rotazioni del piano non hanno autovettori reali).
• Per quali valori di un parametro una matrice è ortogonale: si impone che le colonne abbiano norma $1$ e siano ortogonali.

Errori comuni

• Controllare solo che le colonne siano ortogonali e non che abbiano norma 1: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ non è ortogonale.
• Calcolare $Q^{-1}$ con Gauss: per una ortogonale è $Q^T$.
• Dedurre l'angolo dalla traccia senza il verso: $\cos\theta$ non distingue $\theta$ da $-\theta$. Il verso si legge con $u \cdot (v \times Qv)$.
• Credere che una matrice ortogonale abbia sempre autovalori reali.
• Confondere la formula della riflessione $I - \frac{2nn^T}{n\cdot n}$ con quella della proiezione sul piano $I - \frac{nn^T}{n \cdot n}$: la riflessione toglie la componente normale due volte.