Esercizio 123equazioni nei complessi, coniugati e oscillatore smorzato

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1. Equazione di secondo grado

$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. Poiché $(4i)^2 = -16$, $\sqrt\Delta = 4i$ e $$z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i .$$ Le due radici sono coniugate, come deve essere per un polinomio a coefficienti reali. Controllo: somma $2$ (opposto del coefficiente di $z$) e prodotto $(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5$ (termine noto) ✓.

2. Radici di $p$

Il polinomio ha coefficienti reali, quindi se $2i$ è radice lo è anche il coniugato $-2i$ (stessa molteplicità). Verifica diretta: $p(2i) = (2i)^3 - 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 = -8i + 8 + 8i - 8 = 0$ ✓.

Il grado è $3$, quindi per il teorema fondamentale dell'algebra ci sono tre radici contate con molteplicità: la terza, $z_3$, si trova dalla somma delle radici, che è l'opposto del coefficiente di $z^2$ (qui $+2$): $$2i + (-2i) + z_3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad z_3 = 2 .$$ (Come controllo: il prodotto delle radici è $-$ termine noto $= 8$: $2i \cdot (-2i) \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$ ✓.) Quindi $$p(z) = (z - 2)(z - 2i)(z + 2i) = (z - 2)(z^2 + 4) .$$ Sviluppando: $z^3 + 4z - 2z^2 - 8$ ✓. La scomposizione reale è $(z - 2)(z^2 + 4)$: il fattore di secondo grado ha $\Delta < 0$.

3. $\bar z = z^2$

Si passa in forma esponenziale. Per $z = 0$ l'equazione è vera. Per $z \ne 0$ si scrive $z = re^{i\theta}$, quindi $\bar z = re^{-i\theta}$ e $z^2 = r^2 e^{2i\theta}$. Uguagliando i moduli, $r = r^2$, cioè $r = 1$. Uguagliando gli argomenti, $-\theta = 2\theta + 2k\pi$, cioè $3\theta = -2k\pi$ e $$\theta = -\frac{2k\pi}3, \quad k = 0, 1, 2 .$$ Sono le soluzioni di $z^3 = 1$ (infatti moltiplicando $\bar z = z^2$ per $z$ si ha $|z|^2 = z^3$, e $|z| = 1$). Insieme a $z = 0$: $$z \in \left\{0,\ 1,\ -\frac12 + \frac{\sqrt3}2 i,\ -\frac12 - \frac{\sqrt3}2 i\right\} .$$ Controllo con $z = -\frac12 + \frac{\sqrt3}2 i$: $z^2 = \frac14 - \frac{\sqrt3}2 i - \frac34 = -\frac12 - \frac{\sqrt3}2 i = \bar z$ ✓.

4. Oscillatore smorzato

Equazione caratteristica. Cercando $x = e^{\lambda t}$ si ottiene $\lambda^2 + 4\lambda + 13 = 0$, con $\Delta = 16 - 52 = -36$, $\sqrt\Delta = 6i$: $$\lambda = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i .$$ Poiché $e^{(-2 + 3i)t} = e^{-2t}(\cos 3t + i\sin 3t)$, le soluzioni reali sono $$x(t) = e^{-2t}\left(A\cos 3t + B\sin 3t\right) .$$ Condizioni iniziali. $x(0) = A = 1$. Derivando, $\dot x(t) = e^{-2t}\left[(-2A + 3B)\cos 3t + (-3A - 2B)\sin 3t\right]$, e $\dot x(0) = -2A + 3B = 0$ dà $B = \frac23$. Quindi $$x(t) = e^{-2t}\left(\cos 3t + \tfrac23\sin 3t\right) = \frac{\sqrt{13}}3\, e^{-2t}\cos(3t - \varphi), \qquad \varphi = \arctan\tfrac23 \approx 0{,}588 \text{ rad},$$ perché $\cos 3t + \frac23\sin 3t = \operatorname{Re}\left[\left(1 - \frac23 i\right)e^{3it}\right]$ e $\left|1 - \frac23 i\right| = \sqrt{1 + \frac49} = \frac{\sqrt{13}}3 \approx 1{,}202$.

Decadimento. L'inviluppo dell'ampiezza è $\frac{\sqrt{13}}3 e^{-2t}$; si riduce all'$1\%$ del valore iniziale quando $e^{-2t} = 0{,}01$, cioè $t = \frac{\ln 100}2 \approx 2{,}30$ s. La parte reale delle radici ($-2$) comanda il decadimento, la parte immaginaria ($3$ rad/s) la pulsazione dell'oscillazione.

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Errori comuni

• Dimenticare la radice coniugata di un polinomio reale: se $2i$ è radice anche $-2i$ lo è.
• Per $\bar z = z^2$ perdere la soluzione $z = 0$ (quando si divide per $z$ o si passa al modulo).
• Nell'oscillatore, tenere la parte immaginaria nel risultato: la soluzione fisica è reale e si ottiene dalle parti reale e immaginaria di $e^{\lambda t}$.