Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio 120 · operazioni, coniugato, modulo e quoziente di numeri complessi

Esercizio 120operazioni, coniugato, modulo e quoziente di numeri complessi

In questa pagina 6

Testo. Siano z=3−4iz = 3 - 4i e w=−1+2iw = -1 + 2i.

  1. Calcolare z+wz + w, z−2wz - 2w, zwzw e zw\dfrac zw in forma algebrica.
  2. Calcolare ∣z∣|z|, ∣w∣|w|, ∣zw∣|zw| e verificare che ∣zw∣=∣z∣ ∣w∣|zw| = |z|\,|w|.
  3. Calcolare zˉ w\bar z\, w e z−wˉ1+i\dfrac{z - \bar w}{1 + i}.
  4. Calcolare i2027i^{2027}.
  5. Risolvere in C\mathbb{C} le equazioni (2+i) u=3−i(2 + i)\,u = 3 - i e u+2uˉ=3−6iu + 2\bar u = 3 - 6i.

Teoria: Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenzialeUn numero complesso è z = a + ib con i² = −1: si somma e si moltiplica come un polinomio in i, si divide con il coniugato, e si disegna come il punto (a, b) del piano. In forma trigonometrica z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ} il prodotto moltiplica i moduli e somma gli argomenti, da cui la formula di De Moivre zⁿ = rⁿ e^{inθ} e le n radici n-esime, che stanno ai vertici di un poligono regolare. Il teorema fondamentale dell'algebra dice che ogni polinomio di grado n ha n radici complesse (contate con molteplicità).Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale →.

1. Somma, differenza, prodotto, quoziente

Somma e differenza si fanno parte reale con parte reale e parte immaginaria con parte immaginaria: z+w=(3−1)+(−4+2) i=2−2i,z−2w=3−4i−(−2+4i)=5−8i.z + w = (3 - 1) + (-4 + 2)\,i = 2 - 2i, \qquad z - 2w = 3 - 4i - (-2 + 4i) = 5 - 8i . (Si calcola prima 2w=−2+4i2w = -2 + 4i e poi si sottrae, cambiando il segno di entrambe le parti.)

Prodotto. Come per i polinomi in ii: zw=(3−4i)(−1+2i)=−3+6i+4i−8i2=−3+10i+8=5+10i,zw = (3 - 4i)(-1 + 2i) = -3 + 6i + 4i - 8i^2 = -3 + 10i + 8 = 5 + 10i, perché −4i⋅2i=−8i2=+8-4i \cdot 2i = -8i^2 = +8.

Quoziente. Si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, wˉ=−1−2i\bar w = -1 - 2i, in modo che il denominatore diventi il numero reale ∣w∣2=1+4=5|w|^2 = 1 + 4 = 5: zw=(3−4i)(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=−3−6i+4i+8i25=−11−2i5=−115−25 i.\frac zw = \frac{(3 - 4i)(-1 - 2i)}{(-1 + 2i)(-1 - 2i)} = \frac{-3 - 6i + 4i + 8i^2}{5} = \frac{-11 - 2i}{5} = -\frac{11}5 - \frac25\,i . Controllo: w⋅zw=(−1+2i)(−115−25i)=115+25i−225i−45i2=115+45−4i=3−4i=zw \cdot \frac zw = (-1 + 2i)\left(-\frac{11}5 - \frac25 i\right) = \frac{11}5 + \frac25 i - \frac{22}5 i - \frac45 i^2 = \frac{11}5 + \frac45 - 4i = 3 - 4i = z ✓.

2. Moduli

∣z∣=9+16=5,∣w∣=1+4=5,∣zw∣=∣5+10i∣=25+100=125=55.|z| = \sqrt{9 + 16} = 5, \qquad |w| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5, \qquad |zw| = |5 + 10i| = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt5 . E infatti ∣z∣ ∣w∣=55|z|\,|w| = 5\sqrt5 ✓: il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli.

3. Coniugati

zˉ=3+4i\bar z = 3 + 4i, quindi zˉ w=(3+4i)(−1+2i)=−3+6i−4i+8i2=−11+2i\bar z\, w = (3 + 4i)(-1 + 2i) = -3 + 6i - 4i + 8i^2 = -11 + 2i.

Per la seconda espressione: wˉ=−1−2i\bar w = -1 - 2i, quindi z−wˉ=3−4i+1+2i=4−2iz - \bar w = 3 - 4i + 1 + 2i = 4 - 2i, e 4−2i1+i=(4−2i)(1−i)2=4−4i−2i+2i22=2−6i2=1−3i.\frac{4 - 2i}{1 + i} = \frac{(4 - 2i)(1 - i)}{2} = \frac{4 - 4i - 2i + 2i^2}{2} = \frac{2 - 6i}{2} = 1 - 3i .

4. Potenza di ii

Le potenze di ii si ripetono con periodo 44 (i,−1,−i,1i, -1, -i, 1). 2027=4⋅506+32027 = 4 \cdot 506 + 3, quindi i2027=i3=−ii^{2027} = i^3 = -i.

5. Equazioni

(a) (2+i)u=3−i(2 + i)u = 3 - i si risolve dividendo: u=3−i2+i=(3−i)(2−i)∣2+i∣2=6−3i−2i+i25=5−5i5=1−iu = \dfrac{3 - i}{2 + i} = \dfrac{(3 - i)(2 - i)}{|2 + i|^2} = \dfrac{6 - 3i - 2i + i^2}{5} = \dfrac{5 - 5i}{5} = 1 - i. Controllo: (2+i)(1−i)=2−2i+i−i2=3−i(2 + i)(1 - i) = 2 - 2i + i - i^2 = 3 - i ✓.

(b) Qui compare anche uˉ\bar u: si pone u=x+iyu = x + iy con x,yx, y reali, così uˉ=x−iy\bar u = x - iy e u+2uˉ=(x+2x)+i(y−2y)=3x−iy=3−6i.u + 2\bar u = (x + 2x) + i(y - 2y) = 3x - iy = 3 - 6i . Uguagliando parte reale e parte immaginaria: 3x=33x = 3 e −y=−6-y = -6, cioè u=1+6iu = 1 + 6i. Controllo: 1+6i+2(1−6i)=3−6i1 + 6i + 2(1 - 6i) = 3 - 6i ✓.

Errori comuni

  • Dimenticare che i2=−1i^2 = -1 nei prodotti (in −4i⋅2i-4i \cdot 2i il risultato è +8+8, non −8-8).
  • Nel quoziente moltiplicare per ww invece che per wˉ\bar w: il denominatore non diventa reale.
  • Nelle equazioni con uˉ\bar u lavorare con uu come "una sola lettera": serve u=x+iyu = x + iy e due equazioni reali.

Versione ripasso

Testo. z=3−4iz = 3 - 4i, w=−1+2iw = -1 + 2i: operazioni, moduli, coniugati, i2027i^{2027} e due equazioni.

  • z+w=2−2iz + w = 2 - 2i, z−2w=5−8iz - 2w = 5 - 8i, zw=5+10izw = 5 + 10i (con i2=−1i^2 = -1).
  • zw=zwˉ∣w∣2=−11−2i5\dfrac zw = \dfrac{z\bar w}{|w|^2} = \dfrac{-11 - 2i}{5}.
  • ∣z∣=5|z| = 5, ∣w∣=5|w| = \sqrt5, ∣zw∣=125=55=∣z∣∣w∣|zw| = \sqrt{125} = 5\sqrt5 = |z||w|.
  • zˉw=−11+2i\bar z w = -11 + 2i; z−wˉ1+i=4−2i1+i=1−3i\dfrac{z - \bar w}{1 + i} = \dfrac{4 - 2i}{1 + i} = 1 - 3i.
  • i2027=i3=−ii^{2027} = i^3 = -i (resto di 20272027 per 44 è 33).
  • (2+i)u=3−i⇒u=1−i(2 + i)u = 3 - i \Rightarrow u = 1 - i; u+2uˉ=3−6iu + 2\bar u = 3 - 6i con u=x+iyu = x + iy: 3x=33x = 3, −y=−6-y = -6, u=1+6iu = 1 + 6i.

Errori tipici: perdere il segno di i2i^2; non coniugare il denominatore; trattare uˉ\bar u come uu. Passaggi. zw=3⋅(−1)+3⋅2i+(−4i)(−1)+(−4i)(2i)=−3+6i+4i+8=5+10izw = 3\cdot(-1) + 3\cdot 2i + (-4i)(-1) + (-4i)(2i) = -3 + 6i + 4i + 8 = 5 + 10i. Quoziente: (3−4i)(−1−2i)=−3−6i+4i+8i2=−11−2i(3 - 4i)(-1 - 2i) = -3 - 6i + 4i + 8i^2 = -11 - 2i, diviso ∣w∣2=5|w|^2 = 5. 4−2i1+i=(4−2i)(1−i)2=2−6i2\frac{4 - 2i}{1 + i} = \frac{(4 - 2i)(1 - i)}{2} = \frac{2 - 6i}{2}. 3−i2+i=(3−i)(2−i)5=5−5i5\frac{3 - i}{2 + i} = \frac{(3 - i)(2 - i)}{5} = \frac{5 - 5i}{5}.

Teoria collegata