Coordinate rispetto a una base

Prerequisiti: Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →, Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →. Seguito: Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →, Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → $n$ sul campo $K$ e sia $\mathcal B = \{v_1, \dots, v_n\}$ una base ordinata (conta anche l'ordine dei vettori). Ogni $v \in V$ si scrive in un solo modo come

$$v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n = \sum_{j=1}^n \lambda_j v_j$$

(l'esistenza viene dal fatto che la base generaDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi → $V$, l'unicità dal fatto che i $v_j$ sono linearmente indipendentiUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →). Il perché dell'unicità in due righe: se $v = \sum_j \lambda_j v_j = \sum_j \mu_j v_j$, sottraendo le due scritture si ottiene $\sum_j (\lambda_j - \mu_j) v_j = \vec 0$; per l'indipendenza tutti i coefficienti sono nulli, cioè $\lambda_j = \mu_j$ per ogni $j$.

Definizione (coordinate rispetto a una base). I numeri $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in K$ si chiamano coordinate (o componenti) di $v$ rispetto alla base $\mathcal B$. Si scrivono in colonna: $$[v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in K^n$$

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, il vettore $v = (3,1)$ nella base $\{(1,1), (1,-1)\}$ ha coordinate $[v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, perché $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$.

Perché in colonna: è una convenzione scelta una volta per tutte, che rende naturale il prodotto con le matrici (vedi Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →). Alcuni testi indicano la base scrivendone il nome sopra la colonna; qui la scriviamo in basso a destra, $[v]_{\mathcal B}$. Quando nel discorso c'è una sola base si può anche omettere; quando ce ne sono due bisogna indicarla, altrimenti non si capisce di quali coordinate si parla.

Analogia geometrica. Una base è un sistema di riferimento. Chiedere "quali sono le coordinate di questa freccia?" non ha senso finché non si dice rispetto a quali assi. Nel piano, con gli assi dati da $v_1$ e $v_2$, le coordinate di $v$ si trovano tracciando dalla punta di $v$ le parallele ai due assi: i due numeri letti sugli assi sono $\lambda_1$ e $\lambda_2$. Cambiando assi (un'altra base $w_1, w_2$) lo stesso vettore ha coordinate diverse $\mu_1, \mu_2$.

Come si calcolano

In $K^n$ con la base canonica $e_1 = (1, 0, \dots, 0), \dots, e_n = (0, \dots, 0, 1)$ è immediato: le coordinate di $(x_1, \dots, x_n)$ sono proprio $x_1, \dots, x_n$, perché $(x_1, \dots, x_n) = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$.

Con un'altra base bisogna risolvere un sistema lineare.

Esempio 1. In $\mathbb{R}^2$, coordinate di $v = (3, 1)$ rispetto a $\mathcal B = \{b_1 = (1, 1), \ b_2 = (1, -1)\}$. Si cercano $\lambda_1, \lambda_2$ con $\lambda_1 (1, 1) + \lambda_2 (1, -1) = (3, 1)$:

$$\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 = 3 \\ \lambda_1 - \lambda_2 = 1 \end{cases}$$

(la prima equazione confronta le prime componenti: $\lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 = 3$; la seconda le seconde: $\lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot (-1) = 1$). Sommando le due equazioni $\lambda_2$ si elimina: $2\lambda_1 = 4$, quindi $\lambda_1 = 2$ e dalla prima $\lambda_2 = 3 - 2 = 1$. Verifica: $2(1, 1) + 1(1, -1) = (2 + 1, \ 2 - 1) = (3, 1)$ ✓. Quindi

$$[v]_{\text{canonica}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad [v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

stesso vettore, coordinate diverse.

Nel grafico si vede la regola del parallelogramma: si va da $\vec 0$ a $2b_1 = (2, 2)$ lungo la direzione di $b_1$, poi da lì si aggiunge $b_2$ e si arriva alla punta di $v$. I due numeri $2$ e $1$ sono "quante volte" si percorre ciascun vettore di base.

Lo stesso conto per un vettore qualsiasi. Con $v = (x, y)$ il sistema è $\lambda_1 + \lambda_2 = x$, $\lambda_1 - \lambda_2 = y$; sommando e sottraendo le due equazioni $$\lambda_1 = \frac{x + y}{2}, \qquad \lambda_2 = \frac{x - y}{2}$$ Con $(x, y) = (3, 1)$ si ritrova $(2, 1)$. Questa formula vale per tutti i vettori del piano ed è un primo esempio di cambiamento di coordinate: in Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base → si vedrà che si scrive come prodotto per una matrice, $[v]_{\mathcal B} = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Esempio 2. In $\mathbb{R}^3$, coordinate di $v = (1, 2, 3)$ rispetto a $\mathcal B = \{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\}$. Da $a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) = (1, 2, 3)$:

$$\begin{cases} a + b + c = 1 \\ b + c = 2 \\ c = 3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad c = 3, \quad b = 2 - 3 = -1, \quad a = 1 - (-1) - 3 = -1$$

(prima componente: $a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1 = 1$; seconda: solo $b$ e $c$ hanno la seconda componente uguale a $1$; terza: solo $c$. Il sistema è già "a scala": si risolve dal basso, ricavando $c$ dall'ultima equazione e sostituendo nelle precedenti, come nella sostituzione all'indietro dell'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →). Quindi $[v]_{\mathcal B} = (-1, -1, 3)$ in colonna. Verifica: $-(1,0,0) - (1,1,0) + 3(1,1,1) = (1, 2, 3)$ ✓.

Esempio 3 (polinomi). Nello spazio $\mathbb{R}_2[x]$ dei polinomi di grado $\le 2$, con la base $\{1, x, x^2\}$, il polinomio $p(x) = 2 - x + 3x^2$ ha coordinate $(2, -1, 3)$: i coefficienti, nell'ordine della base, perché $p = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot x + 3 \cdot x^2$. Con la base ordinata $\{x^2, x, 1\}$ le coordinate sarebbero $(3, -1, 2)$.

Esempio 4 (polinomi, base non canonica). Con la base $\{1, \ 1 + x, \ (1 + x)^2\}$ di $\mathbb{R}_2[x]$, le coordinate di $p(x) = 2 - x + 3x^2$ sono i numeri $a, b, c$ con $a + b(1 + x) + c(1 + 2x + x^2) = 2 - x + 3x^2$. Due polinomi sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficienti, quindi si confrontano i coefficienti di $x^2$, $x$ e del termine noto: $$\begin{cases} c = 3 \\ b + 2c = -1 \\ a + b + c = 2 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad c = 3, \quad b = -1 - 6 = -7, \quad a = 2 + 7 - 3 = 6$$ Verifica: $6 - 7(1 + x) + 3(1 + 2x + x^2) = (6 - 7 + 3) + (-7 + 6)x + 3x^2 = 2 - x + 3x^2$ ✓. Sono i coefficienti dello sviluppo di $p$ "intorno a $x = -1$", come nella formula di TaylorUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano → con centro $-1$: $p(-1) = 6$, $p'(-1) = -7$, $\frac{p''(-1)}{2} = 3$.

L'isomorfismo con $K^n$

La funzione che associa a ogni vettore le sue coordinate,

$$\varphi_{\mathcal B} : V \to K^n, \qquad v \mapsto [v]_{\mathcal B}$$

è ben definita (le coordinate sono uniche) e biiettivaIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →: è suriettiva perché ogni colonna $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ è la colonna di coordinate del vettore $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$, ed è iniettiva perché due vettori con le stesse coordinate sono la stessa combinazione dei $v_j$, quindi sono uguali. La sua inversa è $\varphi_{\mathcal B}^{-1}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$. In più è lineare:

• se $v = \sum \lambda_j v_j$ e $v' = \sum \lambda'_j v_j$, allora $v + v' = \sum (\lambda_j + \lambda'_j) v_j$, cioè $[v + v']_{\mathcal B} = [v]_{\mathcal B} + [v']_{\mathcal B}$: le coordinate della somma sono la somma delle coordinate;
• $\alpha v = \sum (\alpha \lambda_j) v_j$, cioè $[\alpha v]_{\mathcal B} = \alpha [v]_{\mathcal B}$.

Quindi $\varphi_{\mathcal B}$ è un isomorfismoUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →. Abbiamo dimostrato:

Teorema. Ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$ è isomorfo a $K^n$.

Perché è importante. Spazi definiti in modo molto astratto (polinomi, matrici, funzioni…) si comportano, una volta fissata una base, esattamente come $K^n$: chi sa lavorare in $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \dots, \mathbb{R}^n$ sa lavorare in qualunque spazio vettoriale di dimensione finita. Per esempio, poiché un isomorfismo conserva le combinazioni lineari, dei vettori sono indipendenti se e solo se lo sono le loro colonne di coordinate. Il motivo: per la linearità $\big[\sum_i c_i u_i\big]_{\mathcal B} = \sum_i c_i [u_i]_{\mathcal B}$, e un vettore è nullo se e solo se la sua colonna di coordinate è nulla ($\vec 0 = 0 v_1 + \dots + 0 v_n$ e le coordinate sono uniche). Quindi $\sum_i c_i u_i = \vec 0$ e $\sum_i c_i [u_i]_{\mathcal B} = 0$ hanno esattamente le stesse soluzioni $c_1, \dots, c_k$.

Esempio. I polinomi $p_1 = 1 + x$, $p_2 = x + x^2$, $p_3 = 1 + 2x + x^2$ sono indipendenti? Le coordinate rispetto a $\{1, x, x^2\}$ sono $(1, 1, 0)$, $(0, 1, 1)$, $(1, 2, 1)$; la terza è la somma delle prime due ($(1 + 0, \ 1 + 1, \ 0 + 1) = (1, 2, 1)$), quindi le colonne sono dipendenti e anche i polinomi lo sono: infatti $p_3 = p_1 + p_2$. Il vantaggio è che sulle colonne si possono usare tutti gli strumenti di $K^n$, per esempio il rangoFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare → calcolato con l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →.

Conseguenza. Due spazi della stessa dimensione $n$ sono isomorfi tra loro (entrambi sono isomorfi a $K^n$). Il viceversa (spazi isomorfi hanno la stessa dimensione) segue dal teorema in Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →.

L'isomorfismo dipende dalla base

Non esiste un isomorfismo "privilegiato" tra $V$ e $K^n$: ogni scelta di base ne dà uno diverso, e non c'è motivo di preferire una base a un'altra (in $K^n$ la base canonica è la più comoda per i conti, ma in uno spazio astratto non c'è niente di "canonico"). Due persone che scelgono basi diverse associano allo stesso vettore coordinate diverse, come nell'esempio 1. Come si passa dalle une alle altre è l'argomento di Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →.

Errori comuni

• Dimenticare l'ordine della base: con $\mathcal B = \{b_2, b_1\}$ invece di $\{b_1, b_2\}$ le coordinate dell'esempio 1 diventano $(1, 2)$, non $(2, 1)$.
• Scambiare il vettore con le sue coordinate: $(2, 1)$ nell'esempio 1 non è il vettore $v$ (che è $(3, 1)$), è la lista di coefficienti rispetto a $\mathcal B$.
• Scrivere coordinate senza dire rispetto a quale base quando nell'esercizio ce n'è più di una.
• Leggere le coordinate "a occhio" rispetto a una base non canonica: va risolto il sistema.