Esercizio 130riconoscere e completare matrici ortogonali

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1. Riconoscere le matrici

Si calcola $M^TM$ (o, più rapidamente, si guardano le colonne: norma $1$ e ortogonali tra loro).

$A$. Colonne $\left(\frac35, \frac45\right)$ e $\left(-\frac45, \frac35\right)$: norme $\sqrt{\frac9{25} + \frac{16}{25}} = 1$, prodotto scalare $-\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$. Ortogonale, con $\det A = \frac9{25} + \frac{16}{25} = 1$: è una rotazione $R_\theta$ con $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$, cioè $\theta = \arctan\frac43 \approx 53{,}13^\circ$ (antioraria, perché $\sin\theta > 0$). Inversa: $A^{-1} = A^T = \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45 \\ -\frac45 & \frac35 \end{pmatrix}$ (rotazione di $-\theta$).

$B$. Colonne $\left(\frac35, \frac45\right)$ e $\left(\frac45, -\frac35\right)$: norme $1$, prodotto scalare $\frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0$. Ortogonale, con $\det B = -\frac9{25} - \frac{16}{25} = -1$: una riflessione $S_\theta$ con $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$. La retta dello specchio forma l'angolo $\frac\theta2$ con l'asse $x$; si trova come autospazio di $1$: $B - I = \begin{pmatrix} -\frac25 & \frac45 \\ \frac45 & -\frac85 \end{pmatrix}$ dà $-x + 2y = 0$, cioè la retta generata da $(2, 1)$. Controllo: $B(2, 1) = \left(\frac65 + \frac45,\ \frac85 - \frac35\right) = (2, 1)$ ✓. Inversa: $B^{-1} = B^T = B$ (una riflessione ripetuta due volte è l'identità).

$C$. Le colonne $(1, -1)$ e $(1, 1)$ sono ortogonali ma hanno norma $\sqrt2$: $C^TC = 2I \ne I$. Non è ortogonale (lo diventa dividendo per $\sqrt2$).

2. Il prodotto $AB$

$$AB = \begin{pmatrix} \frac9{25} - \frac{16}{25} & \frac{12}{25} + \frac{12}{25} \\ \frac{12}{25} + \frac{12}{25} & \frac{16}{25} - \frac9{25} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac7{25} & \frac{24}{25} \\ \frac{24}{25} & \frac7{25} \end{pmatrix} .$$ È ortogonale (prodotto di ortogonali) con determinante $1 \cdot (-1) = -1$: una riflessione, la $S_{\theta'}$ con $\cos\theta' = -\frac7{25}$, $\sin\theta' = \frac{24}{25}$. Coerenza: ruotare e poi riflettere (o viceversa) dà ancora una riflessione.

3. Completare $\left(\frac5{13}, \frac{12}{13}\right)$

La prima colonna ha norma $\frac{25 + 144}{169} = 1$ ✓. La seconda deve essere un vettore $(x, y)$ di norma $1$ ortogonale alla prima: $\frac5{13}x + \frac{12}{13}y = 0$, cioè $(x, y) = t(-12, 5)$, e $\|(x, y)\| = 1$ dà $13|t| = 1$. Due soluzioni, $t = \pm\frac1{13}$: $$Q_+ = \frac1{13}\begin{pmatrix} 5 & -12 \\ 12 & 5 \end{pmatrix} \ (\det = 1, \text{ rotazione}), \qquad Q_- = \frac1{13}\begin{pmatrix} 5 & 12 \\ 12 & -5 \end{pmatrix} \ (\det = -1, \text{ riflessione}).$$ Per $Q_-$ la retta dello specchio ha direzione $(3, 2)$: $Q_-(3, 2) = \frac1{13}(15 + 24,\ 36 - 10) = (3, 2)$ ✓.

4. Il parametro

Le colonne sono $(a, -b)$ e $(b, a)$. Hanno la stessa norma $\sqrt{a^2 + b^2}$ e sono sempre ortogonali ($ab - ba = 0$). Quindi la matrice è ortogonale se e solo se $a^2 + b^2 = 1$, cioè $(a, b) = (\cos\varphi, \sin\varphi)$: in tal caso è la rotazione di angolo $-\varphi$ (e $\det = a^2 + b^2 = 1$). Per esempio $a = \frac35$, $b = \frac45$.

5. Completare a $3 \times 3$

Le prime due colonne $c_1 = \frac13(1, 2, 2)$ e $c_2 = \frac13(2, 1, -2)$ hanno norma $\frac13\sqrt{9} = 1$ e sono ortogonali: $c_1 \cdot c_2 = \frac19(2 + 2 - 4) = 0$. La terza colonna deve essere un vettore di norma $1$ ortogonale a entrambe, quindi parallelo al prodotto vettoriale (Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →): $$c_1 \times c_2 = \frac19\left(2\cdot(-2) - 2\cdot 1,\ \ 2\cdot 2 - 1\cdot(-2),\ \ 1\cdot 1 - 2\cdot 2\right) = \frac19(-6, 6, -3) = \frac13(-2, 2, -1),$$ che ha già norma $1$. Le due scelte sono $c_3 = \pm\frac13(-2, 2, -1)$. Il determinante di $(c_1\ c_2\ c_3)$ è il prodotto misto $(c_1 \times c_2) \cdot c_3$:

• $c_3 = c_1 \times c_2 = \frac13(-2, 2, -1)$: $\det = \|c_1 \times c_2\|^2 = 1$ — rotazione;
• $c_3 = -c_1 \times c_2 = \frac13(2, -2, 1)$: $\det = -1$ — la matrice $\frac13\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, simmetrica, con traccia $1$: autovalori $1, 1, -1$, riflessione rispetto al piano $x - y - z = 0$: l'autovettore di $-1$ è $(-1, 1, 1)$, la normale (vedi Esercizio 132 · riflessione rispetto a un piano e isometria affine per una riflessione dello stesso tipo).

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Errori comuni

• Controllare soltanto che le colonne siano ortogonali: serve anche la norma $1$ (la matrice $C$).
• Dire "determinante $1$, quindi ortogonale": non è sufficiente.
• Dimenticare che c'è una seconda scelta (con segno opposto) per l'ultima colonna: la completazione è unica solo a meno del segno, e i due segni danno rotazione e riflessione.