Permutazioni e definizione di determinante

Esercizi svolti: Esercizio 47 · determinante 4×4 con Laplace e con Gauss. Seguito: Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →, Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

Da dove si parte

Per una matrice $2 \times 2$ la formula dell'inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa → è

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}:$$

tutti gli elementi hanno lo stesso denominatore $ad - bc$, e l'inversa esiste se e solo se questo numero non è zero. Il numero $ad - bc$ "determina" l'invertibilità: si chiama determinante. Si ricorda così: prodotto della diagonale principale ($a \cdot d$) meno prodotto della diagonale secondaria ($b \cdot c$).

Si vorrebbe lo stesso numero per matrici $n \times n$: calcolando l'inversa di una matrice più grande compaiono ancora frazioni con un unico denominatore comune, che sarà il determinante. Il problema è che la sua espressione è molto più complicata, e per scriverla servono le permutazioni.

La teoria dei determinanti è tecnica. Delle dimostrazioni più pesanti si dà solo l'idea; i risultati vanno saputi usare.

Permutazioni

Definizione (permutazione). Una permutazione di $\{1, 2, \dots, n\}$ è una funzione biiettivainiettiva (elementi diversi vanno in elementi diversi) e suriettiva (ogni elemento è immagine di qualcuno): ha quindi una funzione inversaFunzioni iniettive, suriettive e inverse → $\sigma : \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}$. L'insieme di tutte le permutazioni di $n$ elementi si indica con $S_n$.

Esempio. $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ è una permutazione di $\{1,2,3\}$; in $S_3$ ce ne sono $3! = 6$.

In pratica una permutazione rimescola i numeri da $1$ a $n$. Si scrive con due righe: sopra i numeri in ordine, sotto dove va ciascuno:

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{significa} \qquad \sigma(1) = 3, \ \sigma(2) = 2, \ \sigma(3) = 4, \ \sigma(4) = 1.$$

(Non è una matrice $2 \times 4$: è solo un modo comodo di scrivere la funzione.)

Quante sono. Per $\sigma(1)$ ci sono $n$ scelte; per $\sigma(2)$ ne restano $n - 1$ (non si può ripetere il numero già usato, perché $\sigma$ è iniettiva); per $\sigma(3)$ ne restano $n - 2$; …; per l'ultimo $1$. In totale

$$|S_n| = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 2 \cdot 1 = n!$$

(le scelte si moltiplicano perché ogni scelta per $\sigma(1)$ si può combinare con ogni scelta per $\sigma(2)$, e così via; $n!$ è il fattorialeFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali → di $n$). Le scelte finiscono senza ripetizioni proprio quando $\sigma$ è iniettiva; e una funzione iniettiva da un insieme finito in sé stesso è automaticamente anche suriettiva ($n$ immagini diverse tra $n$ numeri li usano tutti), quindi è biiettiva.

$n!$ cresce velocissimo: questo sarà il problema della definizione.

Scambi e parità

Uno scambio è una permutazione che scambia due soli numeri $i \ne j$ e lascia fermi tutti gli altri.

Fatto 1. Ogni permutazione si ottiene facendo uno dopo l'altro un numero finito di scambi.

È intuitivo: scambiando due numeri alla volta si può mettere una lista in qualunque ordine. Esempio: per passare da $1\,2\,3\,4$ a $3\,1\,4\,2$:

$$1\,2\,3\,4 \xrightarrow{2 \leftrightarrow 3} 1\,3\,2\,4 \xrightarrow{2 \leftrightarrow 4} 1\,3\,4\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 3} 3\,1\,4\,2 \qquad (3 \text{ scambi}).$$

Il numero di scambi però non è unico: con un'altra strada

$$1\,2\,3\,4 \xrightarrow{2 \leftrightarrow 4} 1\,4\,3\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 4} 4\,1\,3\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 3} 4\,3\,1\,2 \xrightarrow{3 \leftrightarrow 4} 3\,4\,1\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 4} 3\,1\,4\,2 \qquad (5 \text{ scambi}).$$

Fatto 2 (teorema, senza dimostrazione). La parità del numero di scambi è sempre la stessa: se una permutazione si ottiene con un numero dispari di scambi, ogni modo di ottenerla usa un numero dispari di scambi (qui $3$, $5$, $7$, … ma mai $4$ o $6$); lo stesso per il pari.

Ha quindi senso dire che una permutazione è pari o dispari, e definire il suo segno:

$$\operatorname{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1 & \text{se } \sigma \text{ è pari (numero pari di scambi)} \\ -1 & \text{se } \sigma \text{ è dispari (numero dispari di scambi)} \end{cases}$$

• La permutazione identica ($\sigma(i) = i$ per ogni $i$) richiede $0$ scambi: è pari, segno $+1$.
• Ogni scambio in più cambia la parità.
• Per $n \ge 2$, metà delle permutazioni sono pari e metà dispari. Perché: fissato lo scambio $\tau = (1 \leftrightarrow 2)$, la regola "fai prima $\sigma$ e poi $\tau$" manda ogni permutazione pari in una dispari e viceversa (aggiunge uno scambio); facendola due volte si torna a $\sigma$, quindi è una corrispondenza biunivoca tra pari e dispari, che sono perciò lo stesso numero, $n!/2$.

Metodo pratico: contare le inversioni. Un'inversione di $\sigma$ è una coppia di posizioni $i < j$ con $\sigma(i) > \sigma(j)$ (due numeri "in ordine sbagliato" nella riga di sotto). Si ha $\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{numero di inversioni}}$. Per $3\,1\,4\,2$ le coppie in ordine sbagliato sono $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(4, 2)$: tre inversioni, dispari, come trovato con gli scambi. Per $\sigma = 3\,2\,4\,1$ (l'esempio sopra) si controllano tutte le $6$ coppie di posizioni: $(3,2)$ sì, $(3,4)$ no, $(3,1)$ sì, $(2,4)$ no, $(2,1)$ sì, $(4,1)$ sì: quattro inversioni, quindi $\sigma$ è pari, $\operatorname{sgn}(\sigma) = +1$.

Perché funziona. Scambiare due numeri vicini nella riga di sotto cambia l'ordine di una sola coppia, quindi il numero di inversioni cambia di $\pm 1$ e la parità si inverte. Mettendo in ordine la riga di sotto con scambi di vicini (come nel bubble sort) si fa esattamente un passo per ogni inversione: la permutazione si ottiene quindi con "numero di inversioni" scambi, e il segno è $(-1)$ elevato a quel numero.

Definizione di determinante

Definizione (determinante). Sia $A = (a_{ij}) \in M_n(K)$. Il determinante di $A$ è il numero $$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \, a_{1\sigma(1)} \, a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}.$$

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = -2$.

Come si legge, pezzo per pezzo.

• Il simbolo $\sum_{\sigma \in S_n}$ è una sommatoriaIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → in cui l'indice non è un numero ma una permutazione: c'è un addendo per ogni permutazione, in tutto $n!$ addendi.
• Ogni addendo è un prodotto di $n$ elementi della matrice: dalla riga $1$ si prende l'elemento della colonna $\sigma(1)$, dalla riga $2$ quello della colonna $\sigma(2)$, e così via. Siccome $\sigma$ è biiettiva, le colonne $\sigma(1), \dots, \sigma(n)$ sono tutte diverse: si prende un elemento per ogni riga e uno per ogni colonna, mai due sulla stessa riga o sulla stessa colonna.
• Ogni prodotto si prende con il segno $+$ se $\sigma$ è pari, $-$ se è dispari.

In parole: si fanno tutti i prodotti di $n$ elementi scelti uno per riga e uno per colonna, in tutti i modi possibili, ciascuno con il segno della permutazione corrispondente, e si sommano. Si scrive anche $\det A = |A|$.

Matrici $2 \times 2$

$S_2$ ha due permutazioni: l'identità $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (pari) e lo scambio $\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (dispari). Quindi

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = (+1)\, a_{11} a_{22} + (-1)\, a_{12} a_{21} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21},$$

che è proprio $ad - bc$ ✓.

Significato geometrico nel piano

Le colonne di $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ sono due vettori del piano, $u = (a, c)$ e $v = (b, d)$. Il numero $ad - bc$ è l'area del parallelogramma di lati $u$ e $v$, presa con un segno: $+$ se per andare da $u$ a $v$ si gira in senso antiorario, $-$ se si gira in senso orario.

Verifica con l'area (caso $a, b, c, d > 0$ e $v$ "più a sinistra" di $u$). Il parallelogramma di vertici $0$, $u$, $u + v$, $v$ sta nel rettangolo $[0, a + b] \times [0, c + d]$, di area $(a + b)(c + d)$. Fuori dal parallelogramma, dentro il rettangolo, restano: due triangoli rettangoli di cateti $a$ e $c$ (area $\tfrac{ac}{2}$ ciascuno), due di cateti $b$ e $d$ (area $\tfrac{bd}{2}$ ciascuno) e due rettangolini $b \times c$. Quindi

$$\text{area} = (a + b)(c + d) - ac - bd - 2bc = ac + ad + bc + bd - ac - bd - 2bc = ad - bc.$$

Con $u = (3, 1)$ e $v = (1, 2)$: $(3 + 1)(1 + 2) - 3 - 2 - 2 = 12 - 7 = 5$, e infatti $\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$. Scambiando le colonne, $\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 6 = -5$: stessa area, verso opposto.

Ne seguono due fatti che si ritroveranno in Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →: $\det A = 0$ esattamente quando $u$ e $v$ sono linearmente dipendentiUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → (il parallelogramma si schiaccia su un segmento, area $0$), e scambiare le colonne cambia il segno.

Matrici $3 \times 3$

$S_3$ ha $3! = 6$ permutazioni:

($\sigma_5$: $1\,2\,3 \to 2\,1\,3 \to 2\,3\,1$, due scambi. $\sigma_6$: $1\,2\,3 \to 1\,3\,2 \to 3\,1\,2$, due scambi. In ogni caso dovevano essere tre pari e tre dispari. Controllo con le inversioni: $1\,3\,2$, $3\,2\,1$, $2\,1\,3$ hanno rispettivamente $1$, $3$, $1$ inversioni, dispari; $2\,3\,1$ e $3\,1\,2$ ne hanno $2$, pari.) Quindi

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}.$$

La regola di Sarrus (solo per $3 \times 3$)

Per ricordare la formula: si ricopiano le prime due colonne a destra della matrice,

$$\begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}$$

• i prodotti lungo le tre diagonali che scendono da sinistra a destra ($a_{11}a_{22}a_{33}$, $a_{12}a_{23}a_{31}$, $a_{13}a_{21}a_{32}$) si prendono con il $+$;
• i prodotti lungo le tre diagonali che salgono da sinistra a destra ($a_{31}a_{22}a_{13}$, $a_{32}a_{23}a_{11}$, $a_{33}a_{21}a_{12}$) si prendono con il $-$.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$:

• diagonali "$+$": $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$, $\ 3 \cdot 0 \cdot 3 = 0$, $\ (-1) \cdot 1 \cdot (-2) = 2$;
• diagonali "$-$": $(-1) \cdot 1 \cdot 3 = -3$, $\ 2 \cdot 0 \cdot (-2) = 0$, $\ 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$.

$$\det A = (2 + 0 + 2) - (-3 + 0 + 3) = 4 - 0 = 4.$$

Attenzione. Sarrus vale solo per le matrici $3 \times 3$. Non esiste niente di simile per $4 \times 4$ o più: "copiando tre colonne" si otterrebbero $4 + 4 = 8$ prodotti, ma il determinante di una $4 \times 4$ ne ha $4! = 24$. Mancano $16$ termini, il risultato è sbagliato.

Il problema del costo

Con la definizione, una $5 \times 5$ richiede $120$ prodotti (ciascuno con il suo segno da calcolare), una $10 \times 10$ più di tre milioni. La definizione è fondamentale per la teoria ma inutilizzabile per i calcoli: nella pratica si usano l'eliminazione di GaussIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → o lo sviluppo di Laplace.

Due casi in cui la definizione è facile

Matrici triangolari

Teorema (determinante di una matrice triangolare). Se $A$ è triangolare (superiore: tutti zeri sotto la diagonale; oppure inferiore: tutti zeri sopra), il determinante è il prodotto degli elementi della diagonale:

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & \cdots & * \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.$$

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Dimostrazione (triangolare superiore). Un prodotto della definizione contiene un elemento per ogni colonna. Nella prima colonna l'unico elemento non nullo è $a_{11}$: se si sceglie un altro elemento della prima colonna, il prodotto vale $0$. Quindi gli unici prodotti che possono essere non nulli contengono $a_{11}$. Nella seconda colonna non si può più prendere $a_{12}$ (la riga $1$ è già usata) e gli elementi sotto $a_{22}$ sono zero: resta solo $a_{22}$. Nella terza colonna, per lo stesso motivo, resta solo $a_{33}$, e così via. L'unico prodotto non nullo è $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$, che corrisponde all'identità (pari): segno $+$. ∎

In particolare $\det I_n = 1$, e una matrice diagonale ha come determinante il prodotto della diagonale.

La trasposta

Teorema (determinante della trasposta). $\det A^T = \det A$.

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = -2 = \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

Idea. I prodotti della definizione sono "un elemento per ogni riga e uno per ogni colonna". Scambiando righe e colonne la frase diventa "uno per ogni colonna e uno per ogni riga": si ottengono gli stessi prodotti. (Bisognerebbe controllare che anche i segni coincidano: si può, ma lo omettiamo.) Traccia per i segni: il prodotto che in $A$ corrisponde a $\sigma$, letto in $A^T$, corrisponde alla permutazione inversa $\sigma^{-1}$; se $\sigma$ si ottiene con $k$ scambi, $\sigma^{-1}$ si ottiene facendo gli stessi $k$ scambi in ordine inverso, quindi ha la stessa parità e lo stesso segno.

Conseguenza importante: ogni proprietà del determinante dimostrata per le righe vale automaticamente anche per le colonne.

Errori comuni

• Usare una "Sarrus" per matrici $4 \times 4$: è sbagliato, non esiste.
• Calcolare il determinante di una matrice non quadrata: non è definito.
• Sbagliare il segno della diagonale secondaria nella $2 \times 2$: è $ad - bc$, non $ad + bc$.
• Confondere determinante e rango: il determinante è un numero (può essere negativo), il rango un numero naturale.
• Prendere due elementi sulla stessa riga (o colonna) in un prodotto: nella definizione ogni prodotto ha esattamente un elemento per riga e uno per colonna.