Esercizio 86angoli, aree e volumi con il prodotto scalare

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1. Angolo e area in $\mathbb{R}^4$

Norme e prodotto scalare

$$v \cdot w = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2, \qquad \|v\| = \sqrt{1 + 1 + 1 + 1} = 2, \qquad \|w\| = \sqrt{1 + 0 + 1 + 0} = \sqrt2 .$$

Angolo

Per la definizione di angolo in $\mathbb{R}^n$Si pone cos α = (v·w)/(‖v‖‖w‖); la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz garantisce che questo numero stia tra −1 e 1.Prodotto scalare, norma e angoli →:

$$\cos \alpha = \frac{v \cdot w}{\|v\|\,\|w\|} = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \frac{\pi}{4} \ (45°).$$

L'angolo è $\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt2}$: l'[[Funzioni trigonometriche e loro inverse|arcocoseno|arccos è l'inversa del coseno ristretto a [0, π]: restituisce l'unico angolo di [0, π] che ha quel coseno.]] dà l'unico angolo in $[0, \pi]$ con coseno $\frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$, cioè $\frac{\pi}{4}$ (valore notevole: $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$).

Si può interpretare: $w$ "vede" solo la prima e la terza coordinata, dove $v$ e $w$ coincidono; il resto di $v$, cioè $(0, 1, 0, 1)$, è perpendicolare a $w$ e ha la stessa lunghezza $\sqrt 2$ della parte comune. Un triangolo rettangolo isoscele: $45°$.

Area del parallelogramma

Il quadrato dell'area è il determinante della matrice dei prodotti scalari (matrice di GramDa area = ‖v‖ ‖w‖ sin α e sin² = 1 − cos² si ottiene area² = ‖v‖²‖w‖² − (v·w)², che è il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →):

$$\mathcal{A}^2 = \det \begin{pmatrix} v \cdot v & v \cdot w \\ w \cdot v & w \cdot w \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 8 - 4 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \mathcal{A} = 2 .$$

Controllo con base × altezza: $\mathcal{A} = \|v\|\,\|w\| \sin \alpha = 2 \cdot \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 2$ ✓.

Il disegno. Il parallelogramma sta nel piano $\langle v, w \rangle$, e lì si può disegnare. Si prende come primo asse la direzione di $w$ e come secondo la direzione della parte di $v$ perpendicolare a $w$, cioè $(0, 1, 0, 1)$, che ha norma $\sqrt2$. In questi assi $w = (\sqrt2, 0)$ e $v = (\sqrt2, \sqrt2)$ (la parte comune $(1, 0, 1, 0) = w$ ha norma $\sqrt2$): base $\|w\| = \sqrt2$, altezza $\sqrt2$, area $2$.

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2. Area di un triangolo in $\mathbb{R}^4$

Il triangolo $PQR$ è metà del parallelogramma di lati $\vec{PQ}$ e $\vec{PR}$ (i vettori che partono dallo stesso vertice $P$):

$$a = Q - P = (1, 1, 0, 1), \qquad b = R - P = (0, 1, 1, -1).$$

Prodotti scalari:

$$a \cdot a = 1 + 1 + 0 + 1 = 3, \qquad b \cdot b = 0 + 1 + 1 + 1 = 3, \qquad a \cdot b = 0 + 1 + 0 - 1 = 0 .$$

$a \cdot b = 0$: i lati $PQ$ e $PR$ sono perpendicolari, il triangolo è rettangolo in $P$.

$$\mathcal{A}_{\text{parall.}}^2 = \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 9, \qquad \mathcal{A}_{\text{parall.}} = 3, \qquad \mathcal{A}_{PQR} = \frac32 .$$

Controllo (triangolo rettangolo: cateto × cateto / 2): $\frac{\|a\|\,\|b\|}{2} = \frac{\sqrt3 \cdot \sqrt3}{2} = \frac32$ ✓.

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3. Volume di un parallelepipedo in $\mathbb{R}^3$

Con la matrice dei prodotti scalari

$$u_i \cdot u_i = 2 \ \text{per ogni } i, \qquad u_1 \cdot u_2 = 0 + 0 + 1 = 1, \quad u_1 \cdot u_3 = 1 + 0 + 0 = 1, \quad u_2 \cdot u_3 = 0 + 1 + 0 = 1 .$$

$$\mathcal{V}^2 = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 2(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2) = 6 - 1 - 1 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \mathcal{V} = 2 .$$

(Sviluppo di LaplaceSi sviluppa lungo la prima riga: ogni elemento per il determinante della sottomatrice che resta cancellando riga e colonna, con segni alterni +, −, +.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → lungo la prima riga.)

Con il determinante della matrice dei vettori

Sia $M = (u_1\ u_2\ u_3)$ la matrice con i vettori in colonna:

$$\det M = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1(0 - 1) - 0 + 1(0 - 1) = -2, \qquad \lvert \det M \rvert = 2 = \mathcal{V} \ ✓.$$

(Sviluppo lungo la prima riga: $1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - 0 \cdot (\dots) + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (0 - 1) + 1 \cdot (0 - 1)$.)

Perché le due strade coincidono. La matrice dei prodotti scalari è $M^T M$ (l'elemento $(i, j)$ di $M^T M$ è riga $i$ di $M^T$ per colonna $j$ di $M$, cioè $u_i \cdot u_j$). Per il teorema di Binetdet(AB) = det A · det B per due matrici quadrate dello stesso ordine.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → e perché $\det M^T = \det M$:

$$\det(M^T M) = \det(M^T) \det(M) = (\det M)^2 .$$

Quindi in $\mathbb{R}^3$ (e in generale con $n$ vettori in $\mathbb{R}^n$) il volume è semplicemente $\lvert \det M \rvert$. La matrice dei prodotti scalari serve quando i vettori sono meno della dimensione dello spazio (come nei punti 1 e 2), perché allora $M$ non è quadrata e il suo determinante non esiste.

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Errori comuni

• Usare $\det(v\ w)$ in $\mathbb{R}^4$: la matrice $4 \times 2$ non ha determinante; serve la matrice $2 \times 2$ dei prodotti scalari.
• Dimenticare la radice: il determinante della matrice dei prodotti scalari è il quadrato dell'area (o del volume).
• Area del triangolo con i vettori posizione $P, Q, R$ invece che con le differenze $Q - P$, $R - P$.
• Dare un volume negativo: $\det M$ può essere negativo (dipende dall'orientazione), il volume è il suo valore assoluto.