Campi

Seguito: Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →.

Perché servono i campi

In fisica un vettore (per esempio uno spostamento) non è descritto da un solo numero: servono anche una direzione e un verso. Si disegna come un segmento orientato: la retta su cui giace dà la direzione, la freccia il verso, la lunghezza il modulo.

Con i vettori si fanno due operazioni:

1. la somma di due vettori, con la regola del parallelogramma: $v + w$ è la diagonale del parallelogramma che ha per lati $v$ e $w$;
2. il prodotto di un numero per un vettore: per esempio $v + v$ ha la stessa direzione e lo stesso verso di $v$ ma lunghezza doppia, e si scrive $2v$.

Attenzione: nel secondo caso non si moltiplicano due vettori, si moltiplica un numero (in fisica si dice uno scalare) per un vettore, e il risultato è un vettore.

Moltiplicando per un numero negativo il verso si inverte: $-v$ ha la stessa direzione e la stessa lunghezza di $v$, ma verso opposto; $\frac12 v$ è lungo la metà.

Prima di definire i vettori in generale bisogna allora decidere con che tipo di numeri si lavora. La risposta del corso è: con i numeri di un campo.

Il problema con N e Z

Gli insiemi numerici sono quelli di Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →; qui conta solo quali operazioni si possono fare senza uscire dall'insieme.

Definizione di campo

Definizione (campo). Un campo è un insieme non vuoto $K$ con due operazioni, la somma $+$ e il prodotto $\cdot$, tali che per ogni $a, b, c \in K$:

1. $(a + b) + c = a + (b + c)$ (associativa della somma);
2. $a + b = b + a$ (commutativa della somma);
3. esiste un elemento $0 \in K$ con $0 + a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro della somma);
4. per ogni $a$ esiste $-a \in K$ con $a + (-a) = 0$ (opposto);
5. $(a b) c = a (b c)$ (associativa del prodotto);
6. $a b = b a$ (commutativa del prodotto);
7. esiste un elemento $1 \in K$, con $1 \ne 0$, tale che $1 \cdot a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro del prodotto);
8. per ogni $a \ne 0$ esiste $a^{-1} = \frac1a \in K$ con $a \cdot a^{-1} = 1$ (inverso);
9. $(a + b) c = a c + b c$ e $c (a + b) = c a + c b$ (distributive).

Esempio. $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ sono campi. $\mathbb{Z}$ non lo è: $2$ non ha inverso moltiplicativo in $\mathbb{Z}$. L'insieme $\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$, con somma e prodotto modulo $2$, è un campo.

Le proprietà 1–4 riguardano solo la somma, le 5–8 solo il prodotto, la 9 le lega. La richiesta $1 \ne 0$ serve a escludere il caso banale dell'insieme con un solo elemento.

Il legame con Analisi 1. È la stessa definizione di campo vista in Analisi 1Lì gli assiomi di somma e prodotto sono gli stessi; in più si chiede una relazione d'ordine compatibile con le operazioni, da cui vengono le regole delle disequazioni.Campi ordinati (Q e R) →, ma senza la relazione d'ordine $\le$. In algebra lineare non serve confrontare gli scalari, e non si potrebbe: $\mathbb{C}$ è un campo ma non è ordinato (in un campo ordinato ogni quadrato è $\ge 0$, mentre $i^2 = -1$). Le conseguenze già viste lì valgono in ogni campo, perché si ricavano solo dalle 9 proprietà:

• $a \cdot 0 = 0$ per ogni $a$: infatti $a \cdot 0 = a(0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$ (neutro e distributiva), e sommando l'opposto di $a \cdot 0$ a entrambi i membri resta $0 = a \cdot 0$;
• legge di annullamento del prodotto: se $ab = 0$ e $a \ne 0$, moltiplicando per $a^{-1}$ si ha $b = a^{-1} \cdot 0 = 0$.

A cosa servono queste proprietà: risolvere $ax + b = 0$

In tutto il corso si risolvono equazioni di primo grado e sistemi lineari. Per risolvere $ax + b = 0$ con $a \ne 0$:

1. si somma a entrambi i membri l'opposto di $b$ (proprietà 4): $ax = -b$. Per esteso, a sinistra $(ax + b) + (-b) = ax + (b + (-b)) = ax + 0 = ax$ (associativa, opposto, neutro), a destra $0 + (-b) = -b$;
2. si moltiplicano entrambi i membri per l'inverso di $a$ (proprietà 8): $x = -\frac{b}{a}$. Per esteso, a sinistra $a^{-1}(ax) = (a^{-1}a)x = 1 \cdot x = x$ (associativa, inverso, neutro), a destra $a^{-1}(-b)$, che si scrive $-\frac{b}{a}$.

La soluzione è anche unica: ogni passaggio si può rifare all'indietro (moltiplicando per $a$ e sommando $b$), quindi ogni soluzione deve essere proprio $-\frac ba$.

In $\mathbb{N}$ manca il passo 1 (non ci sono gli opposti), in $\mathbb{Z}$ manca il passo 2 (non ci sono gli inversi). Per questo gli scalari del corso sono sempre elementi di un campo.

Esempi di campi

Campi infiniti.

• $\mathbb{Q}$, i razionali;
• $\mathbb{R}$, i reali: più grande di $\mathbb{Q}$ (per esempio $\sqrt2 \in \mathbb{R}$ ma $\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$, dimostrato in Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →);
• $\mathbb{C}$, i complessi: si aggiunge l'unità immaginaria $i$, con $i^2 = -1$, per poter risolvere equazioni come $x^2 = -1$, che in $\mathbb{R}$ non hanno soluzione perché un quadrato reale è sempre $\ge 0$. Somma, prodotto e inverso $\frac1z = \frac{\bar z}{|z|^2}$, e le forme trigonometrica ed esponenziale con le radici, sono in Numeri complessiUn numero complesso è z = a + ib con i² = −1: si somma e si moltiplica come un polinomio in i, si divide con il coniugato, e si disegna come il punto (a, b) del piano. In forma trigonometrica z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ} il prodotto moltiplica i moduli e somma gli argomenti, da cui la formula di De Moivre zⁿ = rⁿ e^{inθ} e le n radici n-esime, che stanno ai vertici di un poligono regolare. Il teorema fondamentale dell'algebra dice che ogni polinomio di grado n ha n radici complesse (contate con molteplicità).Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale →.

Campi finiti. Esistono anche campi con un numero finito di elementi (non si usano nel corso, ma servono per esempio in informatica e in crittografia).

Campo con 2 elementi $\{0, 1\}$. Gli elementi $0$ e $1$ ci devono essere (neutri di somma e prodotto) e sono diversi. Quasi tutte le somme sono obbligate: $0 + 0 = 0$, $0 + 1 = 1 + 0 = 1$. Resta $1 + 1$: non può valere $1$, perché allora nessun elemento sommato a $1$ darebbe $0$ e mancherebbe l'opposto di $1$. Quindi $1 + 1 = 0$: $1$ è l'opposto di se stesso. Anche il prodotto è obbligato: $0 \cdot a = 0$ (vale in ogni campo, visto sopra) e $1 \cdot 1 = 1$ (neutro).

La somma di questo campo è lo XORoperazione logica che vale 1 quando i due bit sono diversi e 0 quando sono uguali dei bit e il prodotto è l'AND: per questo il campo con due elementi è quello dei bit, e i conti con i bit sono conti di algebra lineare su questo campo.

Campo con 3 elementi $\{0, 1, 2\}$: si fanno i conti "sull'orologio con 3 ore", cioè si prende il resto della divisione per 3. Per esempio $2 + 2 = 4$, che sull'orologio diventa $1$; $2 \cdot 2 = 4 \to 1$; $1 + 2 = 3 \to 0$.

Si controlla che ogni elemento non nullo ha un inverso: $1 \cdot 1 = 1$ e $2 \cdot 2 = 1$, cioè $2^{-1} = 2$. Ogni elemento ha l'opposto: nella tabella della somma ogni riga contiene uno $0$ ($-1 = 2$ perché $1 + 2 = 3 \to 0$, e $-2 = 1$). Associativa, commutativa e distributive non vanno ricontrollate una per una: valgono per somma e prodotto dei numeri interi, e prendere il resto della divisione per 3 prima o dopo un'operazione dà lo stesso risultato (per esempio $(2 + 2) \cdot 2 = 8 \to 2$ e $2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 1 + 1 = 2$).

Con 4 elementi l'orologio non funziona. Facendo i conti con i resti della divisione per 4, la riga del $2$ nella tabella del prodotto è $2 \cdot 0 = 0$, $2 \cdot 1 = 2$, $2 \cdot 2 = 4 \to 0$, $2 \cdot 3 = 6 \to 2$: non compare mai $1$, quindi $2$ non ha inverso e $\{0, 1, 2, 3\}$ con queste operazioni non è un campo.

Provando con $5, 6, 7, \dots$ elementi si scopre che l'orologio dà un campo con $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ elementi e non con $4, 6, 8, 9, 10, \dots$: funziona esattamente quando il numero di elementi è primo. I due versi:

• $m$ non primo: non è un campo. Se $m = p \cdot q$ con $1 < p, q < m$, allora $p \cdot q \to 0$. Se $p$ avesse un inverso $p^{-1}$, si avrebbe $q = 1 \cdot q = (p^{-1} p) q = p^{-1}(pq) = p^{-1} \cdot 0 = 0$, impossibile perché $q$ è uno dei numeri $1, \dots, m - 1$. È il caso $m = 4 = 2 \cdot 2$ visto sopra.
• $m$ primo: è un campo. Preso $a \ne 0$, si guardano gli $m$ prodotti $a \cdot 0, a \cdot 1, \dots, a \cdot (m - 1)$. Sono tutti diversi: se $a x$ e $a y$ avessero lo stesso resto, $m$ dividerebbe $a(x - y)$; un primo che divide un prodotto divide uno dei fattori, e $m$ non divide $a$ (che è tra $1$ e $m - 1$), quindi divide $x - y$, cioè $x = y$. Allora gli $m$ prodotti sono tutti gli $m$ elementi, e tra loro c'è anche $1$: $a$ ha un inverso.

Riassunto

Nel resto del corso $K$ indica un campo qualsiasi; nella pratica quasi sempre $K = \mathbb{R}$, a volte $K = \mathbb{C}$ (per esempio per gli autovalori complessi).

Errori comuni

• Pensare che i campi siano tutti infiniti: il campo con due elementi è un campo a tutti gli effetti.
• Dimenticare che l'inverso si chiede solo per gli elementi diversi da $0$: lo $0$ non è mai invertibile ($0 \cdot b = 0 \ne 1$ per ogni $b$, come dimostrato sopra).
• Confondere "numero" e "vettore": in $2v$ il $2$ è uno scalare del campo, $v$ è un vettore; sono oggetti di natura diversa.