Spazi vettoriali

Prerequisito: CampiUn campo è un insieme di numeri con somma e prodotto che rispettano le regole usuali (associativa, commutativa, neutri, opposti, inversi, distributiva): è ciò che serve per risolvere le equazioni di primo grado. Esempi: Q, R, C e i campi finiti.Campi →. Seguito: Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →, Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →.

Lo spazio vettoriale è l'oggetto centrale di tutto il corso. L'idea è prendere le due operazioni che si fanno con i vettori della fisica (somma e prodotto per un numero) e chiedere solo che rispettino le regole di calcolo abituali, senza dire chi siano gli elementi. Così la stessa teoria vale per frecce nel piano, sequenze di numeri, polinomi, funzioni, matrici.

Definizione

Definizione (spazio vettoriale). Sia $K$ un campo. Uno spazio vettoriale su $K$ è un insieme non vuoto $V$ con due operazioni:

• la somma di vettori: a $v, w \in V$ associa $v + w \in V$;
• il prodotto per uno scalare: a $\alpha \in K$ e $v \in V$ associa $\alpha v \in V$;

tali che per ogni $u, v, w \in V$ e $\alpha, \beta \in K$:

1. $(u + v) + w = u + (v + w)$ (associativa);
2. $u + v = v + u$ (commutativa);
3. esiste un vettore $\vec 0 \in V$, il vettore nullo, con $\vec 0 + v = v$ per ogni $v$;
4. per ogni $v$ esiste $-v \in V$, l'opposto, con $v + (-v) = \vec 0$;
5. $(\alpha \beta) v = \alpha (\beta v)$;
6. $(\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v$ e $\alpha (v + w) = \alpha v + \alpha w$ (distributive);
7. $1 \cdot v = v$.

Gli elementi di $V$ si chiamano vettori, quelli di $K$ scalari.

In termini di funzioniUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →, la somma è una funzione $V \times V \to V$ e il prodotto per scalari una funzione $K \times V \to V$ (con $\times$ il prodotto cartesianoL'insieme delle coppie ordinate (a, b) con a nel primo insieme e b nel secondo.Operazioni tra insiemi →): a ogni coppia di dati associano un solo risultato, e il risultato deve stare in $V$.

Esempio. $\mathbb{R}^2$ con somma e prodotto per scalari per componenti è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$; lo è anche l'insieme dei polinomi di grado al più $2$.

Due puntini diversi. Nella proprietà 5, in $(\alpha\beta)v$ il prodotto $\alpha\beta$ è un prodotto tra numeri (dentro $K$), mentre il prodotto per $v$ è un prodotto numero per vettore. Si usa lo stesso simbolo per comodità, ma sono operazioni diverse. Lo stesso per il "$+$" nella proprietà 6: $\alpha + \beta$ è una somma di numeri, $\alpha v + \beta v$ una somma di vettori.

Perché serve la proprietà 7. Sembra ovvia, perché $1$ è il neutro del prodotto in $K$. Ma quello garantisce $1 \cdot a = a$ solo per $a \in K$; qui $v$ sta in un altro insieme, quindi la proprietà va chiesta esplicitamente.

Il vettore nullo non è il numero zero. $\vec 0 \in V$ è un vettore (per esempio $(0, 0)$ in $\mathbb{R}^2$, o la funzione costante $0$), mentre $0 \in K$ è uno scalare. Quando non c'è rischio di confusione si scrive $0$ per entrambi.

Prime conseguenze

Dalle 7 proprietà seguono le regole che si usano senza pensarci. Le dimostrazioni sono le stesse fatte per i numeri in CampiUn campo è un insieme di numeri con somma e prodotto che rispettano le regole usuali (associativa, commutativa, neutri, opposti, inversi, distributiva): è ciò che serve per risolvere le equazioni di primo grado. Esempi: Q, R, C e i campi finiti.Campi → e in Campi ordinati (Q e R)Gli assiomi di somma, prodotto e ordine comuni a Q e R, da cui derivano le regole di equazioni e disequazioni.Campi ordinati (Q e R) →: si usano solo le proprietà dell'elenco.

• Vettore nullo e opposto sono unici. Se $\vec 0$ e $\vec{0}'$ sono due vettori nulli, $\vec 0 = \vec 0 + \vec{0}' = \vec{0}'$ (la prima uguaglianza perché $\vec{0}'$ è neutro, la seconda perché lo è $\vec 0$). Se $w$ e $w'$ sono due opposti di $v$: $w = w + \vec 0 = w + (v + w') = (w + v) + w' = \vec 0 + w' = w'$. Per questo si può parlare de il vettore nullo e de **l'**opposto $-v$.
• $0 \cdot v = \vec 0$ per ogni $v$. Infatti $0 \cdot v = (0 + 0) v = 0 \cdot v + 0 \cdot v$ (in $K$ vale $0 + 0 = 0$, poi la distributiva 6). Si somma a entrambi i membri l'opposto $-(0 \cdot v)$: a sinistra si ottiene $\vec 0$; a destra $(0 \cdot v + 0 \cdot v) + (-(0 \cdot v)) = 0 \cdot v + (0 \cdot v + (-(0 \cdot v))) = 0 \cdot v + \vec 0 = 0 \cdot v$ (associativa, opposto, neutro). Quindi $\vec 0 = 0 \cdot v$.
• $\alpha \vec 0 = \vec 0$ per ogni $\alpha$: stesso ragionamento partendo da $\alpha \vec 0 = \alpha(\vec 0 + \vec 0) = \alpha \vec 0 + \alpha \vec 0$ e sommando l'opposto di $\alpha \vec 0$.
• $(-1) v = -v$: infatti $v + (-1)v = 1 \cdot v + (-1)v = (1 + (-1)) v = 0 \cdot v = \vec 0$ (proprietà 7, distributiva, punto precedente). Quindi $(-1)v$ è un opposto di $v$, e siccome l'opposto è unico è proprio $-v$.
• Annullamento: se $\alpha v = \vec 0$, allora $\alpha = 0$ oppure $v = \vec 0$. Se $\alpha \ne 0$ si moltiplica per $\alpha^{-1}$: $v = 1 \cdot v = (\alpha^{-1}\alpha) v = \alpha^{-1}(\alpha v) = \alpha^{-1} \vec 0 = \vec 0$. Servirà per l'indipendenza lineare di un solo vettore.

Esempio 1: $K^n$

Fissato un piano con assi cartesiani, a ogni vettore geometrico corrisponde la coppia delle sue componenti $(a, b)$. Sommando con la regola del parallelogramma, le componenti si sommano una per una: se $v = (a, b)$ e $w = (c, d)$ allora $v + w = (a + c, b + d)$. Nello spazio servono tre componenti $(a, b, c)$.

Generalizzando a $n$ numeri di un campo $K$:

Definizione (lo spazio Kⁿ). $K^n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in K\}$ (il prodotto cartesiano $K \times \dots \times K$ di $n$ copie di $K$, come $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$ in Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi →) con $$(a_1, \dots, a_n) + (b_1, \dots, b_n) = (a_1 + b_1, \dots, a_n + b_n), \qquad \lambda (a_1, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \dots, \lambda a_n).$$

Le 7 proprietà valgono automaticamente: ogni operazione su $K^n$ si riduce a somme e prodotti di numeri di $K$, che rispettano già le proprietà di campo. Per esempio la commutativa: $(a_i + b_i) = (b_i + a_i)$ componente per componente. Una distributiva per esteso: $$(\alpha + \beta)(a_1, \dots, a_n) = ((\alpha + \beta) a_1, \dots, (\alpha + \beta) a_n) = (\alpha a_1 + \beta a_1, \dots, \alpha a_n + \beta a_n) = \alpha(a_1, \dots, a_n) + \beta(a_1, \dots, a_n),$$ dove il passaggio centrale è la distributiva di $K$ applicata a ogni componente e l'ultimo è la definizione di somma in $K^n$ letta da destra a sinistra. Il vettore nullo è $(0, \dots, 0)$, l'opposto di $(a_1, \dots, a_n)$ è $(-a_1, \dots, -a_n)$.

Esempio numerico in $\mathbb{R}^3$: prima il prodotto, $3 \cdot (2, 1, 4) = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (6, 3, 12)$, poi la somma componente per componente: $(1, -2, 0) + (6, 3, 12) = (1 + 6, -2 + 3, 0 + 12) = (7, 1, 12)$.

Significato geometrico (con $K = \mathbb{R}$):

Righe o colonne. I vettori di $K^n$ si possono scrivere in riga $(a_1, \dots, a_n)$ o in colonna; è la stessa cosa. Nei conti (sistemi, matrici) conviene la colonna, perché le equazioni si leggono riga per riga.

Esempio 2: le funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$

$V = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$ con

$$(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x), \qquad (\lambda f)(x) = \lambda \, f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$

Sono le operazioni tra funzioni di Composizione e operazioni tra funzioniLa composta g(f(x)) e come trovarne il dominio, somma, prodotto e quoziente di funzioni, e i grafici di f(x+a), f(x)+a, f(|x|) e |f(x)|.Composizione e operazioni tra funzioni →. A sinistra dell'uguale c'è una somma di funzioni (che si sta definendo), a destra una somma di numeri reali (già nota). Anche qui le proprietà di spazio vettoriale discendono da quelle di $\mathbb{R}$: per esempio $(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) = f_2(x) + f_1(x) = (f_2 + f_1)(x)$ per ogni $x$, quindi $f_1 + f_2 = f_2 + f_1$ (due funzioni sono uguali quando hanno lo stesso valore in ogni punto). Il vettore nullo è la funzione nulla $f_N(x) = 0$ per ogni $x$, l'opposto di $f$ è $-f$, con $(-f)(x) = -f(x)$. I "vettori" di questo spazio sono funzioni come $\sin x$, $e^x$, $x^2$ (Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →, Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →): è il motivo per cui conviene lavorare in generale, perché ogni teorema dimostrato per gli spazi vettoriali vale anche per le funzioni.

Esempio 3: i polinomi

L'insieme $\mathbb{R}[x]$ dei polinomi $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$ a coefficienti reali è uno spazio vettoriale: la somma di polinomi è un polinomio (si sommano i coefficienti dei termini dello stesso grado) e il prodotto per un numero è un polinomio (si moltiplicano tutti i coefficienti). Anche l'insieme $\mathbb{R}[x]_{\le 3}$ dei polinomi di grado $\le 3$ è uno spazio vettoriale (sommando due polinomi di grado $\le 3$ il grado resta $\le 3$).

Esempio: $(1 + 2x - x^3) + 2(x + x^2) = (1 + 2x - x^3) + (2x + 2x^2) = 1 + (2 + 2)x + 2x^2 - x^3 = 1 + 4x + 2x^2 - x^3$ (prima si moltiplicano per $2$ i coefficienti, poi si sommano quelli dello stesso grado).

Attenzione: i polinomi di grado esattamente $3$ non formano uno spazio vettoriale con queste operazioni, perché la somma può abbassare il grado: $x^3 + (-x^3 + x) = x$ ha grado $1$. Inoltre non contengono il polinomio nullo.

Altro esempio, che si incontrerà più avanti: le matrici $M_{m \times n}(K)$ (vedi Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →).

Riassunto

Errori comuni

• Moltiplicare due vettori: in uno spazio vettoriale non esiste un prodotto tra vettori, solo il prodotto di uno scalare per un vettore (il prodotto scalare arriverà molto più avanti ed è un'altra cosa).
• Scrivere $v + w = 0$ intendendo il numero zero: il risultato di una somma di vettori è un vettore, quindi è $\vec 0$.
• Pensare che i vettori debbano essere frecce: sono vettori anche le funzioni e i polinomi, perché si sommano e si moltiplicano per numeri con le stesse regole.