Funzione esponenziale e logaritmo

Prerequisiti: Funzioni potenzaLe potenze x^alfa al variare dell'esponente: domini, grafici, radici n-esime e proprietà delle potenze con base positiva.Funzioni potenza → (proprietà delle potenze), Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →. Esercizio svolto: Esercizio 20 · esponenziali e logaritmi in base e.

Dalla potenza all'esponenziale

Nella potenza $y = x^\alpha$ l'esponente $\alpha$ è fisso e la base $x$ varia. Scambiando i ruoli (base fissa, esponente variabile) si ottiene la funzione esponenziale.

Definizione. Per una base $a > 0$, $a \ne 1$:

$$\exp_a : \mathbb{R} \to (0, +\infty), \qquad \exp_a(x) = a^x$$

Esempio. $\exp_2(3) = 2^3 = 8$ e $\exp_{1/2}(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Perché $a > 0$: le potenze con esponente reale qualsiasi sono definite solo per base positiva (vedi Funzioni potenzaLe potenze x^alfa al variare dell'esponente: domini, grafici, radici n-esime e proprietà delle potenze con base positiva.Funzioni potenza →). Perché $a \ne 1$: $1^x = 1$ per ogni $x$ è una funzione costante, poco interessante (e non invertibile).

• Dominio: $\mathbb{R}$. Nessuna simmetria (non è né pari né dispari).
• Positività: $a^x > 0$ per ogni $x$ (proprietà delle potenze). Il grafico sta tutto sopra l'asse $x$.
• Passa per $(0, 1)$: $a^0 = 1$ per ogni base.
• Monotonia (dalla monotonia delle potenze rispetto all'esponente):
  • $0 < a < 1$: $x_1 < x_2 \Rightarrow a^{x_1} > a^{x_2}$, strettamente decrescente;
  • $a > 1$: $x_1 < x_2 \Rightarrow a^{x_1} < a^{x_2}$, strettamente crescente.
• Immagine: a priori $\exp_a(\mathbb{R}) \subseteq (0, +\infty)$, ma in realtà vale l'uguaglianza, grazie al teorema seguente.

Teorema (esistenza del logaritmo). Per ogni $y > 0$ esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che $a^x = y$. Questo $x$ si chiama logaritmo in base $a$ di $y$ e si scrive $x = \log_a y$.

Esempio. $\log_2 8 = 3$ perché $2^3 = 8$; $\log_{10} 0{,}01 = -2$ perché $10^{-2} = 0{,}01$.

(Discende dalla proprietà III di $\mathbb{R}$: per $a > 1$, $\log_a y = \sup\{x \in \mathbb{R} : a^x < y\}$. Vedi Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →.)

In parole: $\log_a y$ è l'esponente a cui elevare $a$ per ottenere $y$. Esempi: $\log_2 8 = 3$ (perché $2^3 = 8$); $\log_{10} 1000 = 3$; $\log_2 \frac12 = -1$ (perché $2^{-1} = \frac12$); $\log_a 1 = 0$ (perché $a^0 = 1$).

Il logaritmo come inversa dell'esponenziale

$\exp_a : \mathbb{R} \to (0, +\infty)$ è strettamente monotona, quindi iniettiva; per il teorema è anche suriettiva. Dunque è invertibile, e si definisce:

$$\log_a = \exp_a^{-1} : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$

• Dominio: $(0, +\infty)$: il logaritmo esiste solo per argomenti positivi ($\log_a 0$ e $\log_a(-1)$ non esistono, perché $a^x$ non vale mai $0$ né un negativo).
• Monotonia: la stessa dell'esponenziale (teorema sulle inverse di funzioni monotone): strettamente decrescente se $0 < a < 1$, strettamente crescente se $a > 1$.
• Grafico: il simmetrico di quello di $a^x$ rispetto alla bisettrice $y = x$. Passa per $(1, 0)$.

Il numero $e$. La base più usata in Analisi è il numero di Nepero $e \approx 2{,}718$. Il logaritmo in base $e$ si scrive $\log_e x = \ln x$ (o semplicemente $\log x$). Il motivo di questa scelta si vedrà con i limiti e le derivate.

Proprietà

Esponenziali: sono le proprietà delle potenze. Per $a > 0$, $a \ne 1$ e $x, y \in \mathbb{R}$: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, $(a^x)^y = a^{xy}$, $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$, ecc.

Proprietà (logaritmi). Logaritmi (derivano da quelle degli esponenziali). Per $a, b > 0$, $a, b \ne 1$:

1. $a^{\log_a x} = x$ per ogni $x > 0$;
2. $\log_a (a^x) = x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$;
3. $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ per ogni $x, y > 0$;
4. $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$ per ogni $x, y > 0$;
5. $\log_a (x^\alpha) = \alpha \cdot \log_a x$ per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$, $x > 0$;
6. $\log_b x = \log_b a \cdot \log_a x$ per ogni $x > 0$;
7. $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$ (formula del cambiamento di base).

Esempio. $\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5 = \log_2 32$, perché $4 \cdot 8 = 32$.

Le 1 e 2 sono la caratterizzazione dell'inversa ($f(f^{-1}(x)) = x$ e $f^{-1}(f(x)) = x$). La 7 si ottiene dalla 6 scegliendo $x = b$: $1 = \log_b b = \log_b a \cdot \log_a b$.

Dimostrazione della 3. Siano $x, y > 0$. Per la proprietà 1, $x = a^{\log_a x}$ e $y = a^{\log_a y}$. Moltiplicando e usando $a^s \cdot a^t = a^{s+t}$:

$$x \cdot y = a^{\log_a x} \cdot a^{\log_a y} = a^{\log_a x + \log_a y}$$

D'altra parte, sempre per la 1, $x \cdot y = a^{\log_a(x \cdot y)}$. Quindi $a^{\log_a x + \log_a y} = a^{\log_a (xy)}$, e poiché $a^x$ è iniettiva ($a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2$) gli esponenti sono uguali: $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ ∎.

Esempi numerici. $\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5 = \log_2 32$ ✓ (perché $4 \cdot 8 = 32$). $\log_3 (9^2) = 2 \log_3 9 = 2 \cdot 2 = 4$ ✓ ($3^4 = 81 = 9^2$).

Tutto si può riportare alla base $e$

Con le proprietà 1 e 6 ogni esponenziale e ogni logaritmo si scrivono in base $e$:

Formula (riduzione alla base e). $$a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x \ln a} \qquad \log_a x = \log_a e \cdot \ln x = \frac{\ln x}{\ln a}$$

Esempio. $\log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$, e $2^{2{,}32} \approx 5$.

Esempio svolto nell'Esercizio 20 · esponenziali e logaritmi in base e.

Errori comuni

• $\log_a(x + y) = \log_a x + \log_a y$: falso! La somma dei logaritmi è il logaritmo del prodotto.
• Calcolare il logaritmo di un numero $\le 0$: non esiste.
• $\log_a(x^4) = 4\log_a x$ per ogni $x \ne 0$: errore frequente. Il dominio di $\log_a(x^4)$ è $x \ne 0$ (perché $x^4 > 0$), ma $\log_a x$ esiste solo per $x > 0$. La formula giusta è $\log_a(x^4) = 4\log_a |x|$. In generale la proprietà 5 vale solo con $x > 0$.
• Dimenticare che per $0 < a < 1$ l'esponenziale e il logaritmo sono decrescenti (nelle disequazioni il verso si inverte).
• $a^{x+y} = a^x + a^y$: falso, è $a^x \cdot a^y$.