Limiti di funzioni - definizione

Prerequisiti: Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →, Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →.

Per le successioni il limite si fa solo per $n \to +\infty$. Per una funzione $f(x)$ di variabile reale ci si può chiedere che cosa succede a $f(x)$ quando $x$ si avvicina a qualunque punto $x_0$, finito o infinito. Si segue quest'ordine: prima l'idea, poi gli intorni, poi una definizione unica ("topologica") che vale in tutti i casi.

L'idea, con due esempi

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ significa: per $x$ vicino a $x_0$, $f(x)$ è vicino a $\ell$. Sia $x_0$ sia $\ell$ possono essere numeri reali oppure $\pm\infty$.

Esempio 1: $y = e^x$, definita su tutto $\mathbb{R}$

Leggendo il grafico:

• per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$, quando $x$ si avvicina a $x_0$ il valore $e^x$ si avvicina a $e^{x_0}$: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} e^x = e^{x_0}$;
• $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (il grafico si schiaccia sull'asse $x$);
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Il dominio è $\mathbb{R}$, e il limite si può fare per $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$.

Esempio 2: $y = \log x$, definita per $x > 0$

• per ogni $x_0 > 0$: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \log x = \log x_0$;
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \log x = +\infty$;
• $\displaystyle\lim_{x \to 0} \log x = -\infty$.

Il dominio è $]0, +\infty[$, ma il limite si può fare per $x_0 \in [0, +\infty[ \,\cup \{+\infty\}$: anche in $x_0 = 0$, che non sta nel dominio. Ha senso perché ci sono punti del dominio vicini a $0$ quanto si vuole (e si avvicinano a $0$ da destra).

Le due domande da chiarire

Per trasformare l'idea in una definizione bisogna precisare:

1. che cosa significa "$x$ vicino a $x_0$" e "$f(x)$ vicino a $\ell$" (risposta: gli intorni, qui sotto);
2. data $f: X \to \mathbb{R}$, per quali $x_0$ ha senso calcolare il limite (risposta: i punti di accumulazione del dominio $X$).

La retta reale estesa

Siccome $x_0$ e $\ell$ possono essere anche infiniti, conviene dare un nome all'insieme dei reali con i due simboli $\pm\infty$ aggiunti:

$$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$$

si legge "erre esteso" o "retta reale estesa". Attenzione: $\pm\infty$ non sono numeri (non ci si fanno le operazioni come con i numeri); servono solo per indicare "verso dove" vanno $x$ o $f(x)$.

Intorni

Un intorno di un punto è un intervallo aperto "attorno" al punto: l'insieme dei punti che consideriamo "vicini" a lui. Quanto vicini lo decide un parametro ($\delta$ oppure $M$), che si potrà scegliere piccolo o grande a piacere.

Definizione (intorno di un punto). Intorno di $x_0 \in \mathbb{R}$ (di raggio $\delta > 0$): $$U_{x_0} = \{x \in \mathbb{R} : |x - x_0| < \delta\} = \,]x_0 - \delta,\ x_0 + \delta[$$

Esempio. Con $x_0 = 2$ e $\delta = 0{,}5$: $U_2 = \,]1{,}5,\ 2{,}5[$.

È l'insieme dei punti che distano da $x_0$ meno di $\delta$ (la disuguaglianza col moduloPer δ maggiore di 0, dire che il modulo di x − x0 è minore di δ equivale a x0 − δ < x < x0 + δ.Valore assoluto (modulo) → si scioglie in $x_0 - \delta < x < x_0 + \delta$). Per esempio con $x_0 = 2$ e $\delta = 0{,}1$: $U_2 = \,]1{,}9;\ 2{,}1[$. Più $\delta$ è piccolo, più l'intorno è "stretto".

Definizione (intorno di +∞). Intorno di $+\infty$ (con $M \in \mathbb{R}$): $$U_{+\infty} = \{x \in \mathbb{R} : x > M\} = \,]M, +\infty[$$

Esempio. Con $M = 10$: $U_{+\infty} = \,]10, +\infty[$.

Definizione (intorno di −∞). Intorno di $-\infty$ (con $M \in \mathbb{R}$): $$U_{-\infty} = \{x \in \mathbb{R} : x < M\} = \,]-\infty, M[$$

Esempio. Con $M = -5$: $U_{-\infty} = \,]-\infty, -5[$.

Per $\pm\infty$ "essere vicino" significa "essere molto grande" (o molto grande in negativo): un intorno di $+\infty$ è una semiretta verso destra, ed è tanto più "piccolo" quanto più $M$ è grande. Per esempio con $M = 1000$: $U_{+\infty} = \,]1000, +\infty[$.

Perché gli intorni

Con gli intorni i tre casi ($x_0$ finito, $+\infty$, $-\infty$) si trattano allo stesso modo: "$x$ vicino a $x_0$" diventa sempre "$x \in U_{x_0}$", qualunque sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$. Lo stesso per $\ell$. Questo permetterà di scrivere una sola definizione di limite valida per tutti i casi, e poi di "tradurla" caso per caso con $\varepsilon$, $\delta$, $M$.

Il legame con le successioni: nella definizione di $\lim_n a_n = +\infty$ la condizione "$a_n > L$" dice proprio che $a_n$ sta nell'intorno $]L, +\infty[$ di $+\infty$; e "$|a_n - \ell| < \varepsilon$" dice che $a_n$ sta nell'intorno $]\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon[$ di $\ell$ (vedi Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →).

Punti di accumulazione

Ora la seconda domanda: data $f: X \to \mathbb{R}$, verso quali $x_0$ ha senso fare il limite? Serve che $x$ possa avvicinarsi a $x_0$ restando nel dominio, cioè che vicino a $x_0$ ci siano sempre punti di $X$ (diversi da $x_0$).

Definizione. Sia $X \subseteq \mathbb{R}$, $X \ne \emptyset$. Si dice che $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ è punto di accumulazione per $X$ se per ogni intorno $U_{x_0}$ di $x_0$ $$X \cap \left(U_{x_0} \setminus \{x_0\}\right) \ne \emptyset$$

Esempio. In $X = \,]0, 1[$ il punto $0$ è di accumulazione (ogni intorno di $0$ contiene punti di $X$ diversi da $0$) anche se $0 \notin X$. In $X = \{1, 2\}$ nessun punto è di accumulazione.

In parole: ogni intorno di $x_0$, per quanto piccolo, contiene almeno un punto di $X$ diverso da $x_0$. Il punto $x_0$ può stare in $X$ oppure no: non conta (per questo si toglie $x_0$ dall'intorno).

Formulazione equivalente con le successioni. $x_0$ è di accumulazione per $X$ se e solo se esiste una successione $(x_n)_{n \ge n_0}$ di punti di $X$, con $x_n \ne x_0$ per ogni $n$, tale che $\lim_n x_n = x_0$. (Idea, per $x_0 \in \mathbb{R}$: se ogni intorno contiene punti di $X$, si sceglie un punto $x_n$ nell'intorno di raggio $\frac1n$, e questi punti si avvicinano a $x_0$.)

Esempi

(La densità di Q in RTra due numeri reali distinti c'è sempre un numero razionale: è una conseguenza dell'archimedeità. è quella vista con i numeri reali.)

Il caso di $\mathbb{N}$. Nessun $n_0 \in \mathbb{N}$ è di accumulazione: l'intorno $]n_0 - \delta, n_0 + \delta[$ con $\delta < 1$ (per esempio $\delta = \frac12$) non contiene altri naturali oltre a $n_0$, perché due naturali distinti distano almeno $1$. Lo stesso vale per i reali non naturali (per esempio $2{,}5$: l'intorno $]2{,}3;\ 2{,}7[$ non contiene naturali). Invece $+\infty$ è di accumulazione: ogni intorno $]M, +\infty[$ contiene naturali, per l'Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N → (esiste $n > M$).

Ecco perché per le successioni si fa solo il limite per $n \to +\infty$: una successione è una funzione con dominio $\mathbb{N}$, e l'unico punto di accumulazione di $\mathbb{N}$ è $+\infty$.

La definizione topologica di limite

Definizione. Siano $f: X \to \mathbb{R}$ con $X \subseteq \mathbb{R}$, $X \ne \emptyset$, e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ di accumulazione per $X$. Si dice che $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \qquad (\ell \in \overline{\mathbb{R}})$$ quando per ogni intorno $U_\ell$ di $\ell$ esiste un intorno $U_{x_0}$ di $x_0$ tale che $$f(x) \in U_\ell \qquad \forall x \in X \cap \left(U_{x_0} \setminus \{x_0\}\right)$$

Esempio. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$: per ogni intorno $\,]-\varepsilon, \varepsilon[$ di $0$ esiste l'intorno $\,]\frac{1}{\varepsilon}, +\infty[$ di $+\infty$ in cui $0 < \frac{1}{x} < \varepsilon$.

Si legge come una sfida: qualunque "bersaglio" $U_\ell$ attorno a $\ell$ venga fissato (anche piccolissimo), si deve riuscire a trovare un intorno di $x_0$ in cui tutti i valori $f(x)$ (con $x$ nel dominio e $x \ne x_0$) cadono nel bersaglio. L'intorno di $x_0$ dipende da quello di $\ell$: più il bersaglio è stretto, più di solito bisogna avvicinarsi a $x_0$.

È una definizione sola per tutti i casi. Ora la si traduce, sostituendo gli intorni giusti: $U_\ell = \,]\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon[$ se $\ell \in \mathbb{R}$, $U_{+\infty} = \,]N, +\infty[$, $U_{-\infty} = \,]-\infty, N[$ (si usa la lettera $N$ per l'intorno di $\ell$ e $M$ per quello di $x_0$, così non si confondono).

Caso $x_0 \in \mathbb{R}$

Qui $U_{x_0} = \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$, e la condizione "$x \in U_{x_0} \setminus \{x_0\}$" si scrive $0 < |x - x_0| < \delta$ (distanza da $x_0$ minore di $\delta$, ma non zero).

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$

Definizione (limite finito in un punto). $$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \text{ tale che } \ |f(x) - \ell| < \varepsilon \quad \forall x \in X,\ 0 < |x - x_0| < \delta$$

Esempio. $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$: dato $\varepsilon > 0$ basta $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$, perché $|3x - 1 - 5| = 3|x - 2| < \varepsilon$ se $0 < |x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$.

Graficamente: si disegna la striscia orizzontale tra $y = \ell - \varepsilon$ e $y = \ell + \varepsilon$; si deve trovare una striscia verticale attorno a $x = x_0$, larga $2\delta$, in cui il grafico (tolto eventualmente il punto di ascissa $x_0$) sta tutto dentro la striscia orizzontale. Dato $\varepsilon$, si trova $\delta$, che dipende da $\varepsilon$.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$

Definizione (limite +∞ in un punto). $$\forall N \in \mathbb{R}\ (N > 0) \ \ \exists \delta > 0 \ \text{ tale che } \ f(x) > N \quad \forall x \in X,\ 0 < |x - x_0| < \delta$$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$: dato $N > 0$, $\frac{1}{x^2} > N$ se $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{N}}$, quindi $\delta = \frac{1}{\sqrt{N}}$.

Graficamente: fissata una retta orizzontale $y = N$ (alta quanto si vuole), vicino a $x_0$ il grafico sta tutto sopra di essa. (Si può supporre $N > 0$ perché interessano gli $N$ grandi: se la condizione vale per un $N$, vale per tutti quelli più piccoli.)

$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$

Definizione (limite −∞ in un punto). $$\forall N \in \mathbb{R}\ (N < 0) \ \ \exists \delta > 0 \ \text{ tale che } \ f(x) < N \quad \forall x \in X,\ 0 < |x - x_0| < \delta$$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\infty$: dato $N < 0$ basta $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{-N}}$.

Graficamente: vicino a $x_0$ il grafico sta tutto sotto la retta $y = N$, bassa quanto si vuole.

La definizione di limite è locale: dipende solo da come è fatta $f$ vicino a $x_0$. Cambiando $x_0$, la stessa funzione può avere limiti del tutto diversi.

Attenzione: lo "$0 <$" in $0 < |x - x_0| < \delta$ è essenziale

Dimenticare lo $0 <$ e scrivere solo $|x - x_0| < \delta$ è un errore grave, perché cambia la definizione. Esempio:

$$f(x) = \begin{cases} 1 & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

Il grafico è la retta $y = 1$ con un "buco" in $x = 0$, più il punto isolato $(0, 0)$.

• Con la definizione giusta $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$: per ogni $\varepsilon > 0$, preso un $\delta$ qualunque, per $0 < |x| < \delta$ si ha $x \ne 0$, quindi $f(x) = 1$ e $|f(x) - 1| = 0 < \varepsilon$ ✓.
• Con la definizione sbagliata (senza $0 <$) la condizione dovrebbe valere anche per $x = 0$: $|f(0) - 1| = |0 - 1| = 1$, che non è $< \varepsilon$ se $\varepsilon < 1$. Il limite non esisterebbe.

Morale: se $x_0 \in \mathbb{R}$, il limite non dipende mai dal valore $f(x_0)$ (che potrebbe anche non esistere). Conta solo che cosa fa $f$ nei punti vicini a $x_0$.

Limite destro e limite sinistro

Quando $x_0 \in \mathbb{R}$ ci si può avvicinare a $x_0$ da due lati.

• $x_0$ è di accumulazione da destra per $X$ se per ogni $\delta > 0$ si ha $X \cap \,]x_0, x_0 + \delta[\, \ne \emptyset$. Allora si definisce il limite destro $$f(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell$$ se per ogni $U_\ell$ esiste $\delta > 0$ tale che $f(x) \in U_\ell$ per ogni $x \in X \cap \,]x_0, x_0 + \delta[$ (solo i punti a destra di $x_0$).
• $x_0$ è di accumulazione da sinistra se per ogni $\delta > 0$ si ha $X \cap \,]x_0 - \delta, x_0[\, \ne \emptyset$. Il limite sinistro $f(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell$ si definisce allo stesso modo con $x \in X \cap \,]x_0 - \delta, x_0[$.

(Il simbolo $f(x_0^+)$ è solo un'abbreviazione per il limite destro, che può anche non esistere o essere $\pm\infty$.)

Proprietà (limite, limite destro e limite sinistro). Legame con il limite. Se $x_0$ è di accumulazione sia da destra sia da sinistra: $$\exists \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \iff \exists\, f(x_0^-) = f(x_0^+) = \ell$$ cioè il limite esiste se e solo se esistono il limite destro e quello sinistro e sono uguali.

Esempio: $\log x$ in $0$. Il dominio è $]0, +\infty[$: $0$ è di accumulazione solo da destra. Hanno senso sia $\lim_{x \to 0} \log x$ sia $\lim_{x \to 0^+} \log x$, e coincidono (entrambi $-\infty$): le due definizioni chiedono "$\log x < N$ per ogni $x \in \,]0, +\infty[$ con $0 < |x| < \delta$" e "per ogni $x \in \,]0, +\infty[\, \cap \,]0, \delta[$", e in entrambi i casi gli $x$ coinvolti sono quelli di $]0, \delta[$.

Esempio: $\frac1x$ in $0$. $\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$ e $\lim_{x \to 0^-} \frac1x = -\infty$ (dimostrazione nell'Esercizio 51 · verificare limiti di funzioni con la definizione). Sono diversi, quindi $\nexists \lim_{x \to 0} \frac1x$.

Funzioni pari e dispari. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, quello di una pari rispetto all'asse $y$; quindi

• $f$ dispari: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\lim_{x \to 0^+} f(x)$;
• $f$ pari: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$.

Per $\frac1x$, che è dispari: $\lim_{x \to 0^-} \frac1x = -(+\infty) = -\infty$.

Il limite destro o sinistro infinito dà gli asintoti verticali: vedi Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →.

Caso $x_0 = +\infty$ oppure $x_0 = -\infty$

Qui l'intorno di $x_0$ è una semiretta: $U_{+\infty} = \,]M, +\infty[$, cioè $x > M$; $U_{-\infty} = \,]-\infty, M[$, cioè $x < M$. Si suppone che $+\infty$ (o $-\infty$) sia di accumulazione per $X$, cioè che $X$ sia illimitato superiormente (o inferiormente).

Tutte hanno la stessa struttura: "per ogni bersaglio attorno a $\ell$ esiste una soglia $M$ oltre la quale (a destra di $M$ se $x \to +\infty$, a sinistra se $x \to -\infty$) $f(x)$ sta nel bersaglio".

Graficamente, per esempio $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$: fissata una retta $y = N$ bassa quanto si vuole, da una certa ascissa $M$ in poi il grafico sta tutto sotto. Per $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$: fissata $y = N$ alta quanto si vuole, a sinistra di una certa $M$ il grafico sta tutto sopra.

Confronto con le successioni. La definizione di $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ è la stessa di $\lim_n a_n = \ell$, con la soglia $M$ reale al posto dell'indice $N$ naturale.

Il limite finito per $x \to \pm\infty$ dà gli asintoti orizzontali: vedi Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →.

Limite per eccesso e per difetto

Quando il limite è un numero $\ell \in \mathbb{R}$ (con $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ qualunque), si può precisare da che parte $f(x)$ si avvicina a $\ell$:

• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell^+$ (per eccesso) se $\forall \varepsilon > 0\ \exists U_{x_0}$ tale che $\ell < f(x) < \ell + \varepsilon$ $\forall x \in X \cap (U_{x_0} \setminus \{x_0\})$: i valori si avvicinano a $\ell$ stando sopra;
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell^-$ (per difetto) se $\forall \varepsilon > 0\ \exists U_{x_0}$ tale che $\ell - \varepsilon < f(x) < \ell$ $\forall x \in X \cap (U_{x_0} \setminus \{x_0\})$: i valori si avvicinano a $\ell$ stando sotto.

Si combinano con il limite destro e sinistro: per esempio $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell^+$ oppure $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell^-$.

Esempio. $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+$: l'esponenziale tende a $0$ restando sempre positiva. Serve per esempio a dire che $\frac{1}{e^x} \to +\infty$ (e non $-\infty$).

Notazione: "definitivamente per $x \to x_0$"

Quando esiste un intorno $U_{x_0}$ tale che una proprietà vale per ogni $x \in X \cap (U_{x_0} \setminus \{x_0\})$, si dice che la proprietà vale definitivamente per $x \to x_0$. Per esempio, con $x_0, \ell \in \mathbb{R}$:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \iff \forall \varepsilon > 0, \ |f(x) - \ell| < \varepsilon \ \text{ definitivamente per } x \to x_0$$

Attenzione a non dimenticare "per $x \to x_0$": la stessa frase con $x_0$ diversi ha significati diversi (per esempio "$|e^x - 0| < \varepsilon$ definitivamente" è vero per $x \to -\infty$, falso per $x \to +\infty$).

Altra notazione: $(a, b)$ indica un intervallo di cui non si specifica se gli estremi sono inclusi; può essere $[a, b]$, $[a, b[$, $]a, b[$, ...

Errori comuni

• Pensare che si possa fare il limite solo nei punti del dominio: $\lim_{x \to 0} \log x$ ha senso anche se $\log 0$ non esiste. Anzi, i limiti più interessanti sono proprio quelli nei punti dove la funzione non è definita.
• Dimenticare lo $0 <$ in $0 < |x - x_0| < \delta$: il limite non deve dipendere da $f(x_0)$.
• Usare intervalli chiusi come intorni: gli intorni sono aperti (disuguaglianze strette).
• Trattare $\pm\infty$ come numeri: un intorno di $+\infty$ non è "$]+\infty - \delta, +\infty + \delta[$", è una semiretta.
• Scambiare i quantificatori: è "per ogni $\varepsilon$ esiste $\delta$", non "esiste $\delta$ per ogni $\varepsilon$" ($\delta$ dipende da $\varepsilon$).
• Dire che il limite esiste perché esiste il limite destro: se $x_0$ è di accumulazione da entrambi i lati servono destro e sinistro uguali.

Esercizi: Esercizio 51 · verificare limiti di funzioni con la definizione, Esercizio 52 · punti di accumulazione. Il collegamento con i limiti di successioni è il Teorema ponte tra limiti di funzioni e successionilim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni →.