Funzioni convesse, concave e punti di flesso

Prerequisiti: Derivate successive e funzioni di classe CnLa derivata seconda è la derivata di f', la derivata n-esima è la derivata della (n−1)-esima. Se esiste f⁽ⁿ⁾(x0), allora f, f', …, f⁽ⁿ⁻¹⁾ sono continue in x0. Cⁿ(I) = funzioni derivabili n volte su I con f⁽ⁿ⁾ continua; Cⁿ ⊊ Cⁿ⁻¹ ⊊ … ⊊ C¹ ⊊ C⁰.Derivate successive e funzioni di classe Cn →, Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →, Teoremi di Rolle e di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange → (equazione della corda).

È la prima applicazione delle derivate successive: la derivata seconda dice da che parte "si piega" il grafico.

Definizione

Definizione (funzione convessa e concava). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$, dove $(a, b)$ è un intervallo qualsiasi (anche $]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$). Se per ogni $x_1, x_2 \in (a, b)$ con $x_1 < x_2$ si ha

1. $\displaystyle f(x) \le f(x_1) + \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ per ogni $x \in [x_1, x_2]$, $f$ è convessa; se vale $<$ per ogni $x \in \,]x_1, x_2[$, è strettamente convessa;
2. $\displaystyle f(x) \ge f(x_1) + \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ per ogni $x \in [x_1, x_2]$, $f$ è concava; se vale $>$ per ogni $x \in \,]x_1, x_2[$, è strettamente concava.

Esempio. $x^2$ è strettamente convessa su $\mathbb{R}$ (grafico a coppa); $-x^2$ e $\log x$ sono strettamente concave (grafico a cupola).

Il significato. $y = f(x_1) + \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ è la retta per i punti $P_1 = (x_1, f(x_1))$ e $P_2 = (x_2, f(x_2))$: la corda tra due punti del grafico. Quindi:

• convessa: ogni corda sta sopra (o sul) grafico, tra i suoi due estremi. Il grafico è "a coppa", $\cup$;
• concava: ogni corda sta sotto il grafico. Il grafico è "a cupola", $\cap$.

Esempi.

• $y = ax^2 + bx + c$ con $a > 0$ (parabola verso l'alto): strettamente convessa. Con $a < 0$: strettamente concava.
• $y = |x|$: convessa ma non strettamente (sulla semiretta $x \ge 0$ la corda coincide con il grafico). $y = -|x|$: concava non strettamente.
• $e^x$ è strettamente convessa, $\log x$ strettamente concava (si vedrà con la derivata seconda).

Due fatti immediati:

• $f$ è concava se e solo se $-f$ è convessa (ribaltare il grafico scambia "sopra" e "sotto");
• le funzioni $y = ax + b$ sono le uniche contemporaneamente convesse e concave (non strettamente): per essere entrambe, ogni corda deve coincidere con il grafico.

Definizione equivalente con il parametro $t$

Ogni punto di $[x_1, x_2]$ si scrive come $$[x_1, x_2] = \{x = (1 - t)\,x_1 + t\,x_2 : t \in [0, 1]\}$$ ($t = 0$ dà $x_1$, $t = 1$ dà $x_2$, $t = \frac12$ il punto medio). Sostituendo $x = (1 - t)x_1 + t x_2$ nella definizione, la retta vale $(1 - t)f(x_1) + t f(x_2)$ e si ottiene:

Proprietà (convessità con il parametro t). $f$ è convessa se per ogni $x_1 < x_2$ in $(a, b)$ $$f\big((1 - t)\,x_1 + t\,x_2\big) \le (1 - t)\,f(x_1) + t\,f(x_2) \qquad \forall t \in [0, 1]$$ (strettamente se vale $<$ per $t \in \,]0, 1[$). Concava con $\ge$ (strettamente con $>$).

Esempio. $f(x) = x^2$, $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $t = \frac{1}{2}$: $f(1) = 1 \le \frac{1}{2} f(0) + \frac{1}{2} f(2) = 2$.

In parole: il valore di $f$ in una media dei punti è al più la media dei valori. Con $t = \frac12$: $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$.

Proprietà (senza dimostrazione)

Teorema 1 (regolarità). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ convessa o concava. Allora:

1. $f$ è continua in ogni $x_0 \in \,]a, b[$;
2. in ogni $x_0 \in \,]a, b[$ esistono finite $f'(x_0^-)$ e $f'(x_0^+)$. Quindi in ogni punto interno $f$ è derivabile (se $f'(x_0^-) = f'(x_0^+)$) oppure ha un punto angoloso.

Esempio. $|x|$ è convessa su $\mathbb{R}$: è continua e in $0$ ha un punto angoloso, con $f'(0^-) = -1$ e $f'(0^+) = 1$ finiti.

Una funzione convessa non può avere salti, cuspidi o flessi a tangente verticale nei punti interni. Negli estremi invece può succedere di tutto (per esempio $f = 0$ su $]0, 1[$ e $f(0) = f(1) = 1$ è convessa e discontinua negli estremi).

Teorema 2 (caratterizzazione con le derivate). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua in $(a, b)$ e derivabile in $]a, b[$. Sono equivalenti:

1. $f$ è convessa in $(a, b)$;
2. per ogni $x_0, x \in \,]a, b[$: $f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, cioè il grafico sta sopra ogni sua retta tangente;
3. $f'$ è crescente in $]a, b[$.

Se inoltre $f$ è derivabile due volte in $]a, b[$, è equivalente anche: 4. $f''(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$.

Per $f$ concava: $\le$ al punto 2 (grafico sotto le tangenti), $f'$ decrescente, $f'' \le 0$.

Esempio. $f(x) = e^x$ ha $f''(x) = e^x > 0$, quindi è convessa: il grafico sta sopra la tangente in $0$, cioè $e^x \ge 1 + x$.

Perché 3 $\iff$ 4. È il test di monotoniaPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi → applicato alla funzione $f'$: $f'$ è crescente se e solo se la sua derivata $(f')' = f''$ è $\ge 0$.

Il significato di 2 e 3 (si vedono solo graficamente). Su una parabola verso l'alto:

• ogni tangente sta sotto il grafico (punto 2);
• spostandosi da sinistra verso destra le tangenti ruotano in senso antiorario: pendenza negativa, poi zero nel vertice, poi positiva. La pendenza $f'$ cresce (punto 3).

$f'' > 0$ basta, ma non è necessario

Osservazione. Se $f''(x) > 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$, allora $f$ è strettamente convessa (perché $f'$ è strettamente crescente). Ma esistono funzioni strettamente convesse con $f'' \ge 0$ che si annulla in punti isolati.

Esempio: $f(x) = x^4$. $f'(x) = 4x^3$, $f''(x) = 12x^2 > 0$ per $x \ne 0$, e $f''(0) = 0$. Eppure $x^4$ è strettamente convessa: $f' = 4x^3$ è strettamente crescente (si annulla solo in un punto isolato, come nel test di monotonia).

Punti di flesso

Definizione (punto di flesso). Sia $f$ definita e continua in un intorno $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ di $x_0$. Se $f$ è convessa in $]x_0 - \delta, x_0[$ e concava in $]x_0, x_0 + \delta[$, o viceversa, $x_0$ si dice punto di flesso.

Esempio. $f(x) = x^3$ ha $f''(x) = 6x$: è concava per $x < 0$ e convessa per $x > 0$, quindi $x_0 = 0$ è un punto di flesso.

È un punto in cui il grafico cambia "curvatura": da $\cup$ a $\cap$ o al contrario.

• Nel punto di flesso la derivata $f'(x_0)$, se esiste, può essere un numero qualunque, anche $0$ (come $x^3$ in $0$: flesso a tangente orizzontale); e può essere anche $\pm\infty$ (come $\sqrt[3]{x}$ in $0$: flesso a tangente verticale).
• Dove $f$ è convessa la retta tangente sta sotto il grafico, dove è concava sta sopra: in un flesso (con tangente) il grafico attraversa la tangente.

Teorema 3 (condizione necessaria). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ derivabile in $]a, b[$. Se $x_0 \in \,]a, b[$ è un punto di flesso ed esiste $f''(x_0)$, allora $$f''(x_0) = 0$$

Esempio. $f(x) = x^3$ ha un flesso in $0$ e infatti $f''(0) = 6 \cdot 0 = 0$. Il viceversa è falso: $x^4$ ha $f''(0) = 0$ ma $0$ non è un flesso.

Dimostrazione. Supponiamo $f$ concava a sinistra di $x_0$ e convessa a destra. Per il teorema 2, $f'$ è decrescente a sinistra di $x_0$ e crescente a destra: quindi $x_0$ è un punto di minimo relativo per $f'$. $f'$ è derivabile in $x_0$ (esiste $f''(x_0)$) e $x_0$ è interno: per il teorema di Fermat applicato a $f'$, $(f')'(x_0) = f''(x_0) = 0$ ∎.

È solo una condizione necessaria. $f(x) = x^4$ ha $f''(0) = 0$, ma $0$ non è un punto di flesso: $x^4$ è convessa da entrambe le parti. Per trovare i flessi si studia il segno di $f''$, non solo i suoi zeri.

Come si usa nello studio di funzione

1. Calcolare $f''$ dove esiste.
2. Studiare il segno: $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ convessa ($\cup$), $f'' < 0$ $\Rightarrow$ concava ($\cap$).
3. I flessi sono i punti (del dominio, dove $f$ è continua) in cui il segno di $f''$ cambia.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Dire che un punto con $f''(x_0) = 0$ è un flesso: bisogna che $f''$ cambi segno ($x^4$ in $0$).
• Confondere convessa e concava: convessa è "a coppa", come $x^2$, con $f'' \ge 0$.
• Dimenticare i flessi dove $f''$ non esiste: in $\sqrt[3]{x}$ il flesso è in $0$, dove $f'$ e $f''$ non esistono.