Esercizio 176caduta con attrito viscoso e velocità limite

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1. L'equazione e la soluzione

Con l'asse verso il basso, agiscono il peso $+mg$ e la resistenza $-cv$. La legge di Newton $m\,v' = mg - c\,v$ diventa, dividendo per $m = 2$, $$v' + \frac cm\,v = g \quad\Longleftrightarrow\quad v' + 2{,}5\,v = 9{,}81$$ È lineare del primo ordine con $a(t) = 2{,}5$ e $b(t) = 9{,}81$ costanti, definita su $I = \mathbb{R}$. Una primitiva di $a$ è $A(t) = 2{,}5\,t$, e per la formula risolvente $$v(t) = e^{-2{,}5t}\left[c_1 + \int 9{,}81\,e^{2{,}5t}\,dt\right] = e^{-2{,}5t}\left[c_1 + \frac{9{,}81}{2{,}5}\,e^{2{,}5t}\right] = c_1\,e^{-2{,}5t} + 3{,}924$$ (con $\frac{9{,}81}{2{,}5} = 3{,}924$). Da $v(0) = c_1 + 3{,}924 = 0$ segue $c_1 = -3{,}924$: $$v(t) = 3{,}924\,\big(1 - e^{-2{,}5t}\big) \ \text{m/s}$$

2. Velocità limite e costante di tempo

$$v_\infty = \lim_{t \to +\infty} v(t) = 3{,}924 \ \text{m/s} = \frac{mg}{c} = \frac{2 \cdot 9{,}81}{5}$$ È la velocità per cui la resistenza equilibra il peso: $c\,v_\infty = mg$, cioè $v' = 0$. La costante di tempo è $$\tau = \frac mc = \frac25 = 0{,}4 \ \text{s}$$ e $v(t) = v_\infty\big(1 - e^{-t/\tau}\big)$. Dopo $\tau$ la velocità è il $63\%$ di $v_\infty$, dopo $3\tau = 1{,}2$ s il $95\%$.

3. Il $95\%$ della velocità limite

$$1 - e^{-2{,}5t} = 0{,}95 \iff e^{-2{,}5t} = 0{,}05 = \frac{1}{20} \iff t = \frac{\ln 20}{2{,}5} \approx \frac{2{,}9957}{2{,}5} \approx 1{,}198 \ \text{s}$$ (cioè $\tau\ln 20 \approx 3\tau$).

4. Lo spazio percorso in $2$ s

La posizione è l'integrale della velocità (teorema fondamentale del calcolo integrale): $$s(2) = \int_0^2 3{,}924\,\big(1 - e^{-2{,}5t}\big)\,dt = 3{,}924\left[t + \frac{e^{-2{,}5t}}{2{,}5}\right]_0^2 = 3{,}924\left[2 + \frac{e^{-5} - 1}{2{,}5}\right]$$ Con $e^{-5} \approx 0{,}006738$: $\frac{e^{-5} - 1}{2{,}5} \approx -0{,}39730$, e quindi $$s(2) \approx 3{,}924 \cdot 1{,}60270 \approx 6{,}289 \ \text{m}$$ (Senza attrito sarebbero $\frac12 g t^2 = 19{,}62$ m.) Per $t$ grande la velocità è quasi costante, e lo spazio cresce come $3{,}924\,t$ meno una costante.

5. Lancio verso il basso a $10$ m/s

La stessa equazione con $v(0) = 10$: $c_1 + 3{,}924 = 10 \Rightarrow c_1 = 6{,}076$, quindi $$v(t) = 3{,}924 + 6{,}076\,e^{-2{,}5t}$$ La velocità diminuisce verso $3{,}924$ (la resistenza è maggiore del peso finché $v > v_\infty$). Arriva a $4{,}5$ m/s quando $$6{,}076\,e^{-2{,}5t} = 0{,}576 \iff e^{-2{,}5t} = \frac{0{,}576}{6{,}076} \iff t = \frac{1}{2{,}5}\ln\frac{6{,}076}{0{,}576} \approx \frac{\ln 10{,}549}{2{,}5} \approx \frac{2{,}356}{2{,}5} \approx 0{,}942 \ \text{s}$$ Verifica (Python, dsolve e integrate): $v(t)$ e $s(2) = 6{,}2890$ m coincidono.

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Errori comuni

• Sbagliare il segno della resistenza scrivendo $v' = g + \frac cm v$: la resistenza si oppone al moto, quindi nell'equazione $v' + \frac cm v = g$ il termine $\frac cm v$ sta a sinistra con il segno $+$.
• Dimenticare di dividere per $m$: $a(t) = \frac cm = 2{,}5$, non $c = 5$.
• Pensare che $v_\infty$ si raggiunga in tempo finito: $e^{-t/\tau}$ non si annulla mai; si dice che il transitorio è finito dopo $3\tau$-$5\tau$.
• Dire che se $v(0) > v_\infty$ la velocità aumenta: la soluzione è comunque monotona verso $v_\infty$, quindi decresce.