Teoremi sui limiti di funzioni

Prerequisiti: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, Teorema ponte tra limiti di funzioni e successionilim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni →, Calcolo dei limiti di successioniGli strumenti per calcolare i limiti senza la definizione: algebra dei limiti, permanenza del segno, carabinieri, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco, confronto per le divergenti e forme indeterminate.Calcolo dei limiti di successioni →.

In tutta la nota $f, g, h: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ è di accumulazione per $X$. "Definitivamente per $x \to x_0$" significa "per tutti gli $x \in X$, $x \ne x_0$, in un opportuno intorno di $x_0$".

L'idea: tutto arriva dalle successioni

Il teorema pontelim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni → trasforma ogni affermazione sul limite di $f$ in un'affermazione sui limiti delle successioni $f(x_n)$. Così i teoremi sulle successioni diventano teoremi sulle funzioni senza nuove dimostrazioni. Esempio completo:

Teorema 1: unicità del limite

Teorema (unicità del limite). Se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ ($\ell \in \overline{\mathbb{R}}$), è unico.

Esempio. $\lim_{x \to 3} 2x = 6$ e nessun altro valore $\ell \ne 6$ può essere il limite di $2x$ per $x \to 3$.

Dimostrazione. Per assurdo, siano $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1$ e $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_2$ con $\ell_1 \ne \ell_2$. Si prende una qualunque successione $(x_n) \subseteq X$ con $x_n \ne x_0$ e $x_n \to x_0$ (esiste perché $x_0$ è di accumulazione). Per il teorema ponte, applicato due volte, la successione $y_n = f(x_n)$ tende sia a $\ell_1$ sia a $\ell_2$: assurdo, per l'unicità del limite delle successioni ∎.

Criterio di non esistenza del limite

Criterio (di non esistenza del limite). Se esistono due successioni $(x_n^1), (x_n^2) \subseteq X$, con termini diversi da $x_0$ e $\lim_n x_n^1 = \lim_n x_n^2 = x_0$, tali che $$\lim_n f(x_n^1) \ne \lim_n f(x_n^2)$$ allora $\nexists \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$.

Perché: se il limite esistesse e valesse $\ell$, per il teorema ponte entrambe le successioni $f(x_n^1)$, $f(x_n^2)$ dovrebbero tendere a $\ell$.

Esempio. $\nexists \lim_{x \to 0} \sin\frac1x$: avvicinandosi a $0$, $\frac1x$ va all'infinito e il seno oscilla sempre più in fretta tra $-1$ e $1$. Dettagli nell'Esercizio 53 · sin(1/x), x sin(1/x) e il criterio di non esistenza.

Teorema 2: limitatezza locale

Teorema (limitatezza locale). Se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$, allora $f$ è limitata definitivamente per $x \to x_0$: esistono $K > 0$ e un intorno $U_{x_0}$ tali che $|f(x)| \le K$ per ogni $x \in X \cap (U_{x_0} \setminus \{x_0\})$.

Perché: con $\varepsilon = 1$ nella definizione, vicino a $x_0$ si ha $\ell - 1 < f(x) < \ell + 1$, quindi $|f(x)| < |\ell| + 1$.

Differenza con le successioni. Una successione convergente è limitata tutta ($|a_n| \le K$ per ogni $n$), perché fuori dalla "coda" restano solo un numero finito di termini. Per le funzioni si può dire solo che sono limitate vicino a $x_0$.

Esempio. $\tan x$ non è limitata sul suo dominio ($\inf = -\infty$, $\sup = +\infty$). Ma $\lim_{x \to \pi/4} \tan x = 1$, quindi esiste $\delta > 0$ tale che $\tan x$ è limitata in $]\frac{\pi}{4} - \delta, \frac{\pi}{4} + \delta[$ (per esempio con $\varepsilon = 1$ si ha $0 < \tan x < 2$ vicino a $\frac{\pi}{4}$).

Teorema 3: limiti delle funzioni monotone

Teorema (limiti delle funzioni monotone). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ monotona (con $-\infty \le a < b \le +\infty$). Allora per ogni $x_0 \in \,]a, b[$ esistono finiti i limiti $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$, ed esistono anche $f(a^+)$ e $f(b^-)$ (che possono essere infiniti). In particolare:

• $f$ crescente: $f(a^+) \le f(x_0^-) \le f(x_0) \le f(x_0^+) \le f(b^-)$ per ogni $x_0 \in \,]a, b[$;
• $f$ decrescente: $f(a^+) \ge f(x_0^-) \ge f(x_0) \ge f(x_0^+) \ge f(b^-)$ per ogni $x_0 \in \,]a, b[$.

Esempio. $\arctan x$ è crescente su $\mathbb{R}$: esistono finiti $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$ e $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$.

Perché (idea, $f$ crescente). A sinistra di $x_0$ i valori $f(x)$ crescono avvicinandosi a $x_0$ e sono tutti $\le f(x_0)$: l'insieme $\{f(x) : x < x_0\}$ è limitato superiormente, e per la completezza di $\mathbb{R}$ ha un estremo superiore, che risulta essere il limite sinistro: $f(x_0^-) = \sup_{x < x_0} f(x) \le f(x_0)$. Allo stesso modo $f(x_0^+) = \inf_{x > x_0} f(x) \ge f(x_0)$. È lo stesso ragionamento delle successioni monotoneUna successione crescente tende al suo sup (finito o +∞), una decrescente al suo inf.Successioni limitate e monotone →. In $a$ e $b$ i valori possono non essere limitati, e il limite può essere infinito.

Graficamente: il grafico di una funzione monotona può avere al massimo dei salti (con $f(x_0^-) \ne f(x_0^+)$), ma i limiti destro e sinistro esistono sempre.

Teorema 4: algebra dei limiti

Teorema (algebra dei limiti). Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1 \in \mathbb{R}$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell_2 \in \mathbb{R}$, allora

1. $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = \ell_1 + \ell_2$; $\quad \lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = \ell_1 - \ell_2$;
2. $\lim_{x \to x_0} c\,f(x) = c\,\ell_1$ per ogni $c \in \mathbb{R}$; $\quad \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \ell_1\ell_2$;
3. se $\ell_2 \ne 0$: $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\ell_2}$ e $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$.

Esempio. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{4 + 1}{2 - 1} = 5$.

Teoremi 5 e 6: permanenza del segno

Teorema (permanenza del segno, prima forma). Prima forma. Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell > 0$ (oppure $+\infty$), allora $f(x) > 0$ definitivamente per $x \to x_0$. Se $\ell < 0$ (oppure $-\infty$), $f(x) < 0$ definitivamente.

Esempio. $\lim_{x \to 1} (x + 2) = 3 > 0$, quindi $x + 2 > 0$ in un intorno di $1$ (in effetti per ogni $x > -2$).

Teorema (permanenza del segno, seconda forma). Seconda forma. Se $f(x) \ge 0$ definitivamente per $x \to x_0$ ed esiste $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$, allora $\ell \ge 0$. Se $f(x) \le 0$ definitivamente, $\ell \le 0$.

Esempio. $x^2 > 0$ per $x \ne 0$, ma $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ non è $> 0$: le disuguaglianze strette non passano al limite.

NB: nella seconda forma le disuguaglianze strette non passano al limite: $f(x) = \frac1x > 0$ per $x > 0$, ma $\lim_{x \to +\infty} \frac1x = 0$, che non è $> 0$.

(Verifica di $\lim_{x \to +\infty} \frac1x = 0$ con il teorema ponte: per ogni successione $x_n \to +\infty$ con $x_n \ne 0$, $\frac{1}{x_n} \to 0$ per il teorema del reciproco delle successioni.)

Teorema 7: confronto (dei due carabinieri)

Teorema (del confronto, o dei due carabinieri). Se $f(x) \le h(x) \le g(x)$ definitivamente per $x \to x_0$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell \in \mathbb{R}$, allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} h(x) = \ell$.

Esempio. $-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ e $\lim_{x \to 0} |x| = 0$, quindi $\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$.

Teorema (confronto con limiti infiniti). Con limiti infiniti. Se $f(x) \le g(x)$ definitivamente per $x \to x_0$:

• $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \ \Rightarrow \ \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$ (chi sta sopra un infinito positivo va a $+\infty$);
• $\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty \ \Rightarrow \ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$.

Esempio. $x + \sin x \ge x - 1$ e $x - 1 \to +\infty$ per $x \to +\infty$, quindi $x + \sin x \to +\infty$.

Teorema 8: infinitesima per limitata

Teorema (infinitesima per limitata). Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ ed esiste $M > 0$ tale che $|g(x)| \le M$ definitivamente per $x \to x_0$, allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0$.

Esempio. $\lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$: $x \to 0$ e $\left|\sin\frac1x\right| \le 1$ per ogni $x \ne 0$, anche se $\sin\frac1x$ non ha limite. Graficamente $-|x| \le x\sin\frac1x \le |x|$: il grafico è "schiacciato" tra le rette $y = x$ e $y = -x$.

Teorema 9: algebra parziale degli infiniti

Teorema (algebra parziale degli infiniti). Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$:

• (a) $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = +\infty$ se $g(x) \ge M$ definitivamente per $x \to x_0$, con $M \in \mathbb{R}$ ($g$ limitata dal basso);
• (b) $\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = +\infty$ se $g(x) \ge M > 0$ definitivamente; $= -\infty$ se $g(x) \le M < 0$ definitivamente.

Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$:

• (a) $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = -\infty$ se $g(x) \le M$ definitivamente ($g$ limitata dall'alto);
• (b) $\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = -\infty$ se $g(x) \ge M > 0$ definitivamente; $= +\infty$ se $g(x) \le M < 0$ definitivamente.

Esempio. $x^2 + \cos x \to +\infty$ per $x \to +\infty$, perché $x^2 \to +\infty$ e $\cos x \ge -1$.

In particolare, se $g$ ha limite, valgono le regole "aritmetiche" già viste per le successioni: $+\infty + \ell = +\infty$, $+\infty + \infty = +\infty$, $+\infty \cdot \ell = \pm\infty$ secondo il segno di $\ell \ne 0$, $+\infty \cdot (\pm\infty) = \pm\infty$.

Teorema 10: limite del reciproco

Teorema (limite del reciproco).

• Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$, allora $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0^\pm$.
• Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0^\pm$, allora $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \pm\infty$.

Esempio. Per $x \to 0$ si ha $x^2 \to 0^+$, quindi $\frac{1}{x^2} \to +\infty$; per $x \to +\infty$ si ha $\frac{1}{x} \to 0^+$.

Attenzione: serve $0^+$ o $0^-$, non basta $0$. $\lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$, ma i valori cambiano segno infinite volte vicino a $0$: il limite non è né $0^+$ né $0^-$. Infatti $\frac{1}{x\sin(1/x)}$ non ha limite per $x \to 0$ (vedi Esercizio 53 · sin(1/x), x sin(1/x) e il criterio di non esistenza).

Forme indeterminate

Come per le successioni, i teoremi non dicono niente nei casi

$$+\infty - \infty, \qquad \pm\infty \cdot 0, \qquad \frac{\pm\infty}{\pm\infty}, \qquad \frac00$$

(e nelle forme esponenziali $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$, che si riportano a queste con $f^g = e^{g\log f}$). Si usano le stesse tecniche: raccogliere il termine dominante, asintoticità e o-piccolo, gerarchia degli infiniti, razionalizzazione. Per le funzioni sono in Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Usare una sola successione per dire che il limite esiste: il teorema ponte richiede tutte le successioni; una o due bastano solo per la non esistenza.
• Applicare il reciproco con limite $0$ "senza segno": serve $0^+$ o $0^-$.
• Pensare che una funzione con limite finito sia limitata ovunque: lo è solo vicino a $x_0$.