Esercizio 175ampiezza della risposta e frequenza di massima ampiezza

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1. Grandezze caratteristiche

$$\omega_0 = \sqrt{\frac km} = \sqrt{4} = 2 \ \text{rad/s}, \qquad c_{cr} = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{4} = 4 \ \text{N}\cdot\text{s/m}, \qquad \zeta = \frac{c}{c_{cr}} = \frac{0{,}4}{4} = 0{,}1$$ Lo smorzamento è debole ($\zeta = 0{,}1$): il moto libero è sottosmorzato, con $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2} = 2\sqrt{0{,}99} \approx 1{,}990$ rad/s.

2. L'ampiezza a regime

Poiché $c > 0$, $i\Omega$ non è mai radice del polinomio caratteristico, e la soluzione particolare è $x_p = A\cos\Omega t + B\sin\Omega t$. Con $x_p'' = -\Omega^2 x_p$, la sostituzione dà il sistema $$\begin{cases} (4 - \Omega^2)A + 0{,}4\,\Omega\,B = 1 \\ -0{,}4\,\Omega\,A + (4 - \Omega^2)B = 0 \end{cases}$$ Dalla seconda $B = \frac{0{,}4\,\Omega}{4 - \Omega^2}A$ (se $\Omega \ne 2$; per $\Omega = 2$ si ha direttamente $A = 0$ e $B = \frac{1}{0{,}8}$). Il metodo generale della nota dà, con $D(\Omega) = (4 - \Omega^2)^2 + 0{,}16\,\Omega^2$, $$A = \frac{4 - \Omega^2}{D}, \qquad B = \frac{0{,}4\,\Omega}{D}, \qquad X(\Omega) = \sqrt{A^2 + B^2} = \frac{1}{\sqrt{D(\Omega)}} = \frac{1}{\sqrt{(4 - \Omega^2)^2 + 0{,}16\,\Omega^2}}$$ Infatti $A^2 + B^2 = \frac{(4 - \Omega^2)^2 + 0{,}16\Omega^2}{D^2} = \frac1D$.

3. Alcuni valori

• Per $\Omega = 0$ la forza è costante, $F = 1$ N: lo spostamento è quello statico della molla, $\frac{F_0}{k} = 0{,}25$ m.
• Per $\Omega = \omega_0 = 2$ vale $X = \frac{F_0}{c\,\omega_0} = \frac{1}{0{,}4 \cdot 2} = 1{,}25$ m, cinque volte lo spostamento statico. In questo caso la fase è $\varphi = \frac{\pi}{2}$ (la risposta è in ritardo di un quarto di periodo), perché $A = 0$ e $B > 0$.
• Per $\Omega = 3$ la forza è troppo veloce: la massa si muove poco.

4. Il massimo

$X$ è massima quando $D$ è minimo. Con $s = \Omega^2 \ge 0$: $$D(s) = (4 - s)^2 + 0{,}16\,s = s^2 - 7{,}84\,s + 16$$ (infatti $-8s + 0{,}16s = -7{,}84s$). È una parabola con la concavità verso l'alto e il minimo nel vertice: $$D'(s) = 2s - 7{,}84 = 0 \iff s = 3{,}92 \quad\Longrightarrow\quad \Omega_r = \sqrt{3{,}92} \approx 1{,}980 \ \text{rad/s}$$ Lo stesso risultato si ottiene dalla formula della nota, $\Omega_r^2 = \frac km - \frac{c^2}{2m^2} = 4 - \frac{0{,}16}{2} = 3{,}92$ ✓. Il valore minimo di $D$ è $$D(3{,}92) = (4 - 3{,}92)^2 + 0{,}16\cdot 3{,}92 = 0{,}0064 + 0{,}6272 = 0{,}6336$$ $$X_{max} = \frac{1}{\sqrt{0{,}6336}} \approx 1{,}256 \ \text{m}$$ È appena più grande del valore $1{,}25$ in $\Omega = \omega_0$, e $\Omega_r \approx 1{,}980$ è appena sotto $\omega_0 = 2$ (e sotto $\omega_d \approx 1{,}990$). Rispetto allo spostamento statico: $$\frac{X_{max}}{F_0/k} = \frac{1{,}256}{0{,}25} \approx 5{,}03$$ Una forza di $1$ N, applicata alla frequenza giusta, produce un'oscillazione di ampiezza circa cinque volte quella che darebbe come carico fisso.

5. Quando non c'è il picco

$D(s) = (k - ms)^2 + c^2 s$ ha il vertice in $s = \frac km - \frac{c^2}{2m^2}$, che è positivo (cioè corrisponde a una pulsazione reale $\Omega > 0$) se e solo se $c^2 < \frac{2m^2 k}{m} = 2mk$. Qui $2mk = 8$, quindi il picco esiste per $c < \sqrt8 = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ N$\cdot$s/m. Per $c \ge 2\sqrt2$ la parabola $D(s)$ è crescente per $s > 0$, $X$ è decrescente in $\Omega$ e il massimo è lo spostamento statico $0{,}25$ m in $\Omega = 0$: il sistema "non risuona".

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Errori comuni

• Dire che il massimo è esattamente in $\Omega = \omega_0$: il massimo di $X$ è in $\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{c^2}{2m^2}}$, leggermente più basso (qui $1{,}980$ contro $2$). Il valore in $\omega_0$ è però molto vicino al massimo se lo smorzamento è debole.
• Calcolare $X$ come $\frac{F_0}{k - m\Omega^2}$ senza il termine $(c\Omega)^2$: è l'ampiezza del sistema senza smorzatore, che diverge per $\Omega = \omega_0$.
• Derivare $D$ rispetto a $\Omega$ senza accorgersi che conviene la variabile $s = \Omega^2$: si ottiene $4\Omega^3 - 15{,}68\,\Omega = 0$, che porta allo stesso risultato ma con più conti.