Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo

Prerequisiti: Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →, Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

Per le forme $\frac00$ serve sapere quale tra due funzioni infinitesime va a zero "più in fretta". Le gerarchie degli infinitesimi si ricavano da quella degli infiniti con due trucchi: prendere i reciproci e sostituire $x$ con $\frac1x$.

Gerarchia degli infinitesimi per $x \to +\infty$

Il trucco dei reciproci. Se $f, g \to +\infty$ e $f = o(g)$, allora $\frac1g = o\left(\frac1f\right)$, perché

$$\frac{1/g}{1/f} = \frac{f}{g} \to 0$$

Per esempio da $x^\alpha = o(a^x)$ (infiniti, $\alpha > 0$, $a > 1$) segue $a^{-x} = o\left(\frac{1}{x^\alpha}\right)$ (infinitesimi). Prendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti, l'ordine si inverte.

Principio (gerarchia degli infinitesimi per x → +∞). Gerarchia delle funzioni infinitesime per $x \to +\infty$ (in ordine di infinitesimo decrescente: ognuna è o-piccolo di tutte quelle alla sua destra): $$\frac{1}{x^x} = x^{-x}, \quad a_2^{-x}, \quad a_1^{-x}, \quad \frac{1}{x^{\alpha_2}}, \quad \frac{1}{x^{\alpha_1}}, \quad \frac{1}{\log^p x}$$ con $1 < a_1 < a_2$, $0 < \alpha_1 < \alpha_2$, $p > 0$.

La più a sinistra va a zero più in fretta. Basta ricordare: se $a > 1$ e $\alpha_2 > \alpha > 0$,

$$x^{-x},\ a^{-x},\ \frac{1}{x^{\alpha_2}} \ = \ o\left(\frac{1}{x^\alpha}\right) \qquad \text{per } x \to +\infty$$

Esempio numerico con $x = 10$: $10^{-10}$, $2^{-10} \approx 0{,}001$, $\frac{1}{10^2} = 0{,}01$, $\frac{1}{10} = 0{,}1$, $\frac{1}{\log 10} \approx 0{,}43$.

Esempio di uso: Esercizio 65 · gerarchia degli infinitesimi a più infinito e in 0⁺.

Gerarchia degli infinitesimi per $x \to 0^+$

Il trucco della sostituzione. I limiti notevoli danno asintoticità per $x \to 0$; serve anche una gerarchia per $x \to 0^+$. Se $f = o(g)$ per $x \to +\infty$, allora con $y = \frac1x$ (che tende a $0^+$ quando $x \to +\infty$):

$$0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{y \to 0^+} \frac{f(1/y)}{g(1/y)}$$

cioè $f\left(\frac1x\right) = o\left(g\left(\frac1x\right)\right)$ per $x \to 0^+$. Si prende quindi la gerarchia per $x \to +\infty$ e si mette $\frac1x$ al posto di $x$:

$$x^{-x} \ \to\ \left(\frac1x\right)^{-1/x} = x^{1/x}, \qquad a^{-x} \ \to\ a^{-1/x}, \qquad \frac{1}{x^\alpha} \ \to\ \frac{1}{(1/x)^\alpha} = x^\alpha$$

Principio (gerarchia degli infinitesimi per x → 0⁺). Gerarchia delle funzioni infinitesime per $x \to 0^+$ (in ordine di infinitesimo decrescente): $$x^{1/x}, \quad a_2^{-1/x}, \quad a_1^{-1/x}, \quad x^{\alpha_2}, \quad x^{\alpha_1}$$ con $1 < a_1 < a_2$, $0 < \alpha_1 < \alpha_2$.

Esempio. Per $x \to 0^+$: $x^2 = o(x)$ e $e^{-1/x} = o(x^2)$, perché $\frac{e^{-1/x}}{x^2} \to 0$.

Basta ricordare: se $a > 1$ e $\alpha_2 > \alpha > 0$,

$$x^{1/x},\ a^{-1/x},\ x^{\alpha_2} \ = \ o(x^\alpha) \qquad \text{per } x \to 0^+$$

Per esempio $e^{-1/x} = o(x^{100})$ per $x \to 0^+$: l'esponenziale $e^{-1/x}$ va a zero più in fretta di qualunque potenza.

Potenze per logaritmi in $0^+$

Formula (potenze per logaritmi in 0⁺). $$\lim_{x \to 0^+} x^\alpha|\log x|^p = 0 \qquad \forall \alpha > 0,\ \forall p > 0$$

Esempio. $\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0$ e $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\,\log^2 x = 0$.

È una forma $0 \cdot \infty$ ($|\log x| \to +\infty$ per $x \to 0^+$): vince la potenza.

Dimostrazione. Con $y = \frac1x \to +\infty$: $x^\alpha = \frac{1}{y^\alpha}$ e $|\log x| = \left|\log\frac1y\right| = |-\log y| = \log y$ (per $y > 1$ il logaritmo è positivo). Quindi

$$\lim_{x \to 0^+} x^\alpha|\log x|^p = \lim_{y \to +\infty} \frac{\log^p y}{y^\alpha} = 0$$

per la gerarchia degli infiniti ∎.

Confronto con le potenze pure. Con $\alpha, \beta, p > 0$:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^\alpha|\log x|^p}{x^\beta} = \lim_{x \to 0^+} x^{\alpha - \beta}|\log x|^p = \begin{cases} 0 & \alpha > \beta \\ +\infty & \alpha = \beta \\ +\infty & \alpha < \beta \end{cases}$$

(per $\alpha > \beta$ è il limite appena dimostrato; per $\alpha = \beta$ resta $|\log x|^p \to +\infty$; per $\alpha < \beta$ sono due fattori che vanno a $+\infty$). Quindi, per $x \to 0^+$:

• $x^\alpha|\log x|^p = o(x^\beta)$ se $\beta < \alpha$;
• $x^\beta = o(x^\alpha|\log x|^p)$ se $\beta \ge \alpha$.

In parole: il logaritmo "rallenta" un po' la potenza $x^\alpha$, ma meno di qualunque potenza. Esempi per $x \to 0^+$:

• $x^2 + 4x^2\log x = 4x^2\log x + o(x^2\log x)$ (stesso esponente $2$: il termine col logaritmo è più grande);
• $x + 4x^{3/2}\log x = x + o(x)$ (esponente $\frac32 > 1$: il termine col logaritmo è più piccolo).

Ordine di infinito e di infinitesimo

Si confrontano successioni e funzioni con le potenze, che fanno da "metro".

Successioni

Definizione (ordine di infinito e di infinitesimo per successioni).

• Se $a_n \to \pm\infty$, l'ordine di infinito di $(a_n)$ è, se esiste, il numero $\alpha > 0$ tale che $\displaystyle\lim_n \frac{a_n}{n^\alpha} = \ell \in \mathbb{R}$, $\ell \ne 0$, cioè $a_n \sim \ell\,n^\alpha$.
• Se $a_n \to 0$, l'ordine di infinitesimo di $(a_n)$ è, se esiste, il numero $\alpha > 0$ tale che $\displaystyle\lim_n \frac{a_n}{1/n^\alpha} = \ell \in \mathbb{R}$, $\ell \ne 0$, cioè $a_n \sim \frac{\ell}{n^\alpha}$.

Esempio. $3n^2 + n \sim 3n^2$ è un infinito di ordine $2$; $\frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^4} \sim \frac{1}{n^3}$ è un infinitesimo di ordine $3$.

Funzioni

Definizione (ordine di infinito e di infinitesimo per funzioni). Con $\ell \ne 0$:

• $f$ è infinita di ordine $\alpha > 0$ per $x \to x_0 \in \mathbb{R}$ se $f(x) \sim \frac{\ell}{|x - x_0|^\alpha}$;
• $f$ è infinitesima di ordine $\alpha > 0$ per $x \to x_0 \in \mathbb{R}$ se $f(x) \sim \ell\,|x - x_0|^\alpha$;
• $f$ è infinita di ordine $\alpha > 0$ per $x \to +\infty$ se $f(x) \sim \ell\,x^\alpha$;
• $f$ è infinitesima di ordine $\alpha > 0$ per $x \to +\infty$ se $f(x) \sim \frac{\ell}{x^\alpha}$.

Esempio. $\sin 2x \sim 2x$ per $x \to 0$ è infinitesima di ordine $1$; $\frac{1}{x^2}$ è infinita di ordine $2$ per $x \to 0$.

Esempi

1. $\sin x$ per $x \to 0$: $\sin x \sim x = x^1$, quindi è infinitesima di ordine 1.
2. $1 - \cos x$ per $x \to 0$: $1 - \cos x \sim \frac12 x^2$, quindi è infinitesima di ordine 2 (con $\ell = \frac12$).
3. $x^3\log^2 x$ per $x \to 0^+$: è infinitesima (potenza per logaritmo), ma non ha ordine: per il confronto visto sopra, il rapporto $\frac{x^3\log^2 x}{x^\beta}$ tende a $0$ se $\beta < 3$ e a $+\infty$ se $\beta \ge 3$, quindi non tende mai a un numero $\ell \ne 0$. Va a zero "un po' più lentamente di $x^3$, ma più in fretta di ogni $x^\beta$ con $\beta < 3$".

Esempio con una successione: Esercizio 66 · ordine di infinitesimo di una successione con esponenziale e arcoseno.

Errori comuni

• Invertire l'ordine passando ai reciproci: se $f$ è un infinito più grande di $g$, allora $\frac1f$ è un infinitesimo più piccolo di $\frac1g$.
• Pensare che ogni infinitesimo abbia un ordine: $x^3\log^2 x$ non ce l'ha.
• Dimenticare il modulo in $|\log x|$ per $x \to 0^+$: $\log x < 0$ lì.